讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第四章综合检测

第四章综合检测

时间：120分钟分值：150分

第I卷(选择题，共6。分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的)

1.若/(x)=k)ga(x—序一〃+6)是对数函数，则。的值为(B)

A.一3B.2C.-2D.3

解析：若/(幻=10故仆一苏一。+6)是对数函数，则一4一。+6=0,所以a=—3或〃=2,又所以。=2,故

选B.

⑵，94,

2.已知函数")=L,ix,则/(2+log23)的值为(A)

g+l),x<4,

A.24B.16C.12D.8

93*fc«23_R乂卢♦

解析：因为3<2+k)g23<4,所以共2+log23)=/(3+log23)=4~0z=24.

3.已知a=log],〃=(；,，c=log|I，则a,b,c的大小关系为(D)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>h

i7

解析：log！5=log3[5，=log35,因为函数y=log?A•在(0,+8)上为增函数，所以Iog35>log3，>log33=1,因为函

数产田'在(—8'+8)上为减函数,所以即<(1)U=1.故c>a>b.

4.在同•直角坐标系中，函数,/(x)=2—av,g(x)=log«(x+2)(a>0,且a#l)的图象大致为(A)

ABCD

解析：由题意，知函数/(x)=2—av(a>0,且aWl)为减函数，排除C;当0<aVl时，函数/(x)=2—以的零点x

=|>2,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+8)上为减函数，排除D；当时，函数外)=2—av的零点K=}<2,且

2

A=->0,又双.1)=10&,(无+2)在(一2,+8)上是增函数，排除B,综上只有A满足.

5.已知|x)=lg(10+x)+lg(10—x),则(D)

A.«幻是奇函数，且在(0/0)上是增函数

B.犬x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数

C.是奇函数，且在(0,10)上是减函数

D.是偶函数，且在(0J0)上是减函数

f!0+x>0,

解析：由,八人得工£(一1010),且危)=lg(1001F),二危)是偶函数，又，=100一好在(0,10)上单调递减，

[10—,v>0,

y=lg/在(0,+8)上单调递增，故函数J(x)在(0,10)上单调递减.

22

6.已知函数贝x)=|lnx|,若大巾)=贝〃)(/〃>〃>0),则在y+筋?[=(C)

A]B.1C.2D.4

解析：由&〃)=<〃)，nt>n>0,可知

Ain/»=-In/?,则mn=1.

所以一！_+，_=且吐也_=驷土出②=2

“勺〃+1十〃+1〃皿+/〃+〃+1m+n+2乙

7.已知a>0且函数7.0=lo&(x+,+b)在区间(一8,+8)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)=loga||x|

一切的图象是(A)

解析：函数/x)=logz,(x+M?T^)在区间(-8,+8)上是奇函虬.•.胆)=0,.•.〃=1,又函数=lo&(.t+y/x2+垃

在区间(-8,+8)上是增函数，所以a>[.所以g(x)=]ogjm—1],当人>1时，g(x)=[og4L1)为增函数，排除B,D:

当0〃<1时，g(x)=log«(l-x)为减函数，排除C;故选A.

8.设x,y,z为正数，且2*=3，=5：,贝女D)

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3><5z<ZvD.3)y2x<5z

解析：令1=2'=3，=5；,Vx,y,z为正数，

则x=logk爵同理，尸翳z=翳.

....2lgI31gtIg?(2lg3-31g2)

3>

lg2Ig3-lg2Xlg3-

1g/Qg9-lg8)

lg2Xlg3>0,/.2x>3y.

父..6T-=也_理二环35—5至2)=

又・2A5,一怆2lg5-ig2X|g5一

lg/(1g25~lg32)

lg2Xlg5'

/.2x<5z,3V<2A<5Z.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.已知〃>0,b>0Ha^\,b于3若log加>1,则下列不等式可能正确的是(AD)

A.(b-\)(b~a)>0B.(a~\)(a~b)>0

C.(«-l)(b-l)<0D.(a—1)仍一4)>0

解析：Vloga/?>l=logz,fl,・•・若a>l,则力>a,即。>a>l..\(。一l)(Z>—a)>0,故A正确；(a—l)(b—a)>0,故D正

确：若0<avl,则0<Xa<l,・・.(。一1)(。一份<0,(0—1)仍-l)X),故B、C错误，故选AD.

炉+1

10.关于函数&r)=lgn(xW0),有卜列结论，其中正确的是(ABD)

A.其图象关于)，轴对称

B._/(入)的最小值是ig2

当心>0时，人工)是增函数；当F0时，K0是减函数

D.的增区间是［1,+8)

解析：,A—x)=lg'1」月=贝幻，JU)是偶函数,选项A正确；令，=一百一=凶+俣jN2,y=lgr在(0,+8)上是单

/+11

调递增，y=lg/21g2,所以/(x)的最小值为lg2,选项B正确：当Q0时，/=二^一="十丁根据对勾函数可得，/=*

+：单调递减区间是(0,1］,单调递增区间是［1,+8),),=lgf在(0,+8)上是单调递增，所以./U)在(0,1］单调递减，在

［1,+8)上单调递增，选项C错误：根据偶函数的对称性，火X)在(-8,—1］上单调递减，在［-1,0)上单调递增，*工)

的增区间是［一［,0),［1,+8),选项D正确.故选ABD.

11.已知函数_Ax)=lg，+ax—a—1),给出下述论述，其中正确的是(AC)

A.当a=0时，兀r)的定义域为(-8,-1)U(1,4-«>)

B.小)一定有最小值

C.当a=0时，7(x)的值域为R

D.若JU)在区间［2,+8)上单调递增，则实数”的取值范围是｛a|a2-4)

解析：对A,当4=0时，解/-］>()有*£(-8,-1)U(1,+8),故A正确；对B、C,当a=0时，.人幻=馆俨

-1),此时/W(—8,-1)U(1,+8),^-ie(0,4-oo),此时<x)=lg(『一|)值域为R,故B错误，C正确；对D,

若4x)在区间［2,+8)上单调递增，此时a—1对称轴x=—/W2.解得aN—4.但当a=-4时,"0二电。2

一抵+3)在x=2处无定义，故D错误.故选AC.

1-r

12.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数凡6=1即4为基本

素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是(BC)

A.同学甲发现：函数的定义域为且大幻是偶函数

B.同学乙发现：对于任意的xW(-lJ),都有《聋力=2人*

C.同学丙发现：对于任意的”，〃丘(一1.1),都有八。)+4》=彳(篝)

D.同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数M,X2,总满足曲匕酗X)

X\~X2

|x1x1+x1~~X

解析：对A,1x)=lgj^定义域为yqj>0=(l—x)(l+x)>0,解得x£(—l,l).又川一刈二电厂又二一怆^^二二一贝外，

\—(2xyf+lj2—2r+l

故«¥)=lgR；x为奇函敷・故A错误；对B,4百1=18----于=lg：F+2v+]=

1+7+7

《：+:%=2lg^^=2肛)，x€(-lJ)一故B正确；对C，〃a)+,R，)=Ig|q^+lg1：p|，

,_«±1

(1—a)(l—/?)(a+b\_1+ab_

植(1+〃)(1+妨，\\+ab)lg.a+b=

1+T+^

%1+a〃b-+((a“++〃〃))=怆(1(—1a+)(0l-(1/?)+4,故4。)+,•他)乜(a不/^成工-.故bC正确]：对,D，<0)=1诉1—0=0,

/Ij-AO)

I所以V----<0,故D错误.故选BC.

厂0

第II卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.g+21g2-即=二1.

解析：lg|+21g2-百i=lg|+lg22-2=

2=1—2=—1.

14.设兀0=怆(高+。)是奇函数，则使而)<0的x的取值范围是(一L0).

解析：由_/(x)是奇函数可得。=-1,

I+x

••JU)=lg；二X，定义域为(一1,1).

由/(x)vO,可得0<：v1,—1<r<0.

15.设凡r)是定义在R上的函数，它的图象关于点(1,0)对称，当xWl时，次x)=2xei(e为自然对数的底数)，则

42+3坨2)的值为跑②

解析：由题设得逃2—x)+/U)=0=危)=-/(2—.0,令第>1=>2—K1,则“v)=~A2—刈=-2(2—此k2=2(入―2把，

P,所以42+31n2)=2X3In2Xe3,n2=6in2X(e,n2)3=481n2.

16.J(x)=^—c*+ln1^+1,若<a)+/(l+a)>2,则a的取值范围是(一0).

I+,t

解析：由题得J(x)的定义域为(-1,1),设g(x)=/(x)—1e-*+h】y=,则g(—x)+g(x)=0,所以g(x)是守函数,

因为火。)+川+。)>2,则川+a)—1>—/(a)+1,所以<1+a)-1>—[/(a)—1],即g(l+a)>—g(a)=g(—a),因为〉=e，

一e0单调递增，y=

I+x

InQ单调递增，所以g(x)单调递增，则

—\<a<1,

«—1<14-«<1,即一；<a<0.

、1+a>-a,

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设段)=10即(l+x)+lo/(3—x)(a>0,且aWl),且-1)=2.

(1)求a的值及Ar)的定义域；

(2)求人处在区间[。，1上的最大值.

解:(1)—川)=2,AloM=2(«>0,—

，a=2.

11+x>0,

由[rX),得一1VXV3,

J函数/U)的定义域为(一1,3).

(2次"=log2(1+x)+log2(3—x)=log2((l4-A-)(3-A)]=log2(—(X—1)2+4],

・•・当x£[O,l]时，/x)是增函数：

当jG,/U)是减函数,

故函数兀0在[o,上的最大值是川)=log24=2.

18.(12分)已知函数火x)是定义在R上的偶函数，且1Ao)=0,当Q0时，<x)=logj,尤

2

(1)求函数,/(x)的解析式；

(2)解不等式式/—1)>一2.

解：(1)当x<0时，一x>0,则«-x)=log](一劝.

2

因为函数人工)是偶函数，所以—X)=log!(―X),

2

log±x,x>0,

所以函数/(第)的解析式为/(%)=kv=0

Jog±(-x),x<0.

(2)因为/(4)=logi4=-2,J(x)是偶函数，

2

所以不等式/(x2—1)>-2转化为1|)》(4).

又因为函数人外在(0,+8)上是减函数，

所以当x2—1关0时，M-1|<4,解得一小《V小且x#±l,而当/一1=0时，犬0)=0>-2成立，所以一书<E巾,

即不等式的解集为(一书，币).

19.(12分)已知〃>0且满足不等式2小|>2”工

⑴求不等式k>g“(3x+l)<log〃(7—5x)；

⑵若函数y=log”(2r—1)在区间[3,6]上有最小值为一2,求实数。的值.

解：(1)因为22。+|>2"",所以2a+l>5a—2,即3a<3,所以avl.又因为aX),所以(ka<l.

则不等式loga(3x+l)<logu(7—5^),

3x4-1>0,

等价为{7—51>0,7

于

.3x+l>7-5x,

3

不

所以(<若，即不等式10&(31+1)<lo&(7-5%)的解集为《，

⑵由⑴得Ovavl,

所以函数y=lo&(2x-1)在区间[3,6]上为减函数，

所以当工=6时，y有最小值为一2,即log“ll=-2,

所以。2=5=]],解得。=*¥

20.(12分)已知函数AM)=ln二p

(1)求函数人的的定义域，并判断函数;(x)的奇偶性；

,十x+1m

⑵对于1引2,6],几0=仄曰>1[1*_])(7—©

恒成立，求实数小的取值范围.

JV+1

解：⑴由:---7>0,解得XV—1,或X>1,

X-I

，函数4.0的定义域为(-8,-1)U(1,4-00),

—x+1r—1(x+\}x+1

:1In=

当"(-8,-1)U(1,+00)8t,/(-x)=ln_v_|=ln^rj-==~7^7

x+1

=In;Y是奇函数.

⑵由于x£[2,6]时，

Kx)=ln』>ln"—x)恒成工，

,♦+1「〃

1)(7-X)>0,

VxG[2,6],・・.Ovw<(x+1)(7—x)在xG[2,6]上恒成立.

令g(%)=(x+l)(7—©=一(X—3)2+16,xe[2,6],

由一元二次函数的性质可知,x£[2,3]时函数g(x)单调递增，x£[3,6]时函数g(x)单调递减，即x£[2,6]时,

g(X)min=g⑹=7,：.0<m<7.

故实数w的取值疱围为。7).

1-(IX

21.(12分)已分函数几t)=log1〃_；，a为常数.

(1)若〃=-2,求证儿0为奇函数：并指出应©的单调区间；

(2)若对于工可|,",不等式log[(2x+l)—〃介做一log2(Zr—1)恒成立，求实数，〃的取值范围.

2x+1

解：(1)证明：当。=—2时，氏r)=log[玄二p

贝X)的定义域为(一8,一；)U(；,+8).

当xW1—8,一；)U(；,+8)时，

—2x+l2x+1

贡-*+/)=吗r^ry+iogi目

r-2A-H

=1。电=log|1=0.

2y—2x—12

•M—x)+/(x)=O,・・JU)是奇函数.

y(x)的单调递增区间为(一8,一0和(今+8).

⑵由log1(2x+l)——log2(2x—l),

人〃+1⑴一工

令g(x)=1og：五二7一㈤,只需要g(X)min>%

由⑴知g(x)在自，|]上是增函数,

3

-9

所以（）2

gA-min=,8-

9

则m的取值范,围是m<—Q.

O

22.(12分)已知函数4x)=log4(4'+l)+质优WR)是偶函数.

⑴求攵的值：

⑵设g(x)=log(s2，一封，若函数外)与g(x)的图象有且只有一■个公共点，求实数。的取值范围;

(3)若函数〃(工)=471'1+m"2"-1,xe[0,log,3]，是

否存在实数m使得/>(x)最小值为0,若存在，求出m的值；

若不存在,请说明理由.

解：（1）；函数/（x）=log«4*+1）+心跳€R）是偶函数,

（1+4R

•**/（-x）=log4（4x+l）—^x=logj-JT-1—Ax

=log4（4v+1）—（/：4-lXr=log4（4x+1）+履恒成立，

（A+l）=4,则4=-g.

（2）g（x）=logja2，_，，，函数人v）与

g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程|x)=g(x)只有一个解