高中数学1理 第十章

第十章

DISHIZHANG统计与统计案例

1.小题主要考查随机抽样及统计的初步内容：考查内容命题特点

小题以号查抽样方法.统il■图表为主,解

2.大题统计方面主要考查用样本估计总体.另外

答题以各种统计图与概率结合或与统计案

注意概率与统计的综合问题.

例结合考查.

通常有2道题.分值为17分.；考频型赋分y命题规律老心素养以数学运算、数据分析,逻辑推理为主.

题型既有选择题.填空题.乂有解答题.难度为题型难度备考建议工一，~.

容易或中等.、重基础、币:能力i：.意探究与创新.

第一节随机抽样

■梳裁的•固基础,基固为根必备知识

I基础自梳］

1.简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为

样本(〃<M，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单

随机抽样.

(2)常用方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；

②根据样本容量〃，当?是整数时，取分段间隔4

③在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号/(/W©；

④按照一定的规则抽取样本.

(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时.

点拨当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中

剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽

样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立

地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽

样.

(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.

［基础自测］

1.(教材改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从

中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全

体是()

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

［答案］A

2a(易错点：随机抽样的等可能性)利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个

容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是()

A-iB3C6D4

।答案|A

3°(易错点：随机数表的应用)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…，

32,33这33个二位号码中选取，小明利用如表所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取

方法是从第1行第15列和第16列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中

的红色球号码为()

8147236863931790126986816293506091337585613985

0632359246225410027849821886704805468815192049

A.12B.32C.06D.16

［答案］B

4.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，

则分段的间隔为.

［答案］25

5.(教材改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100

件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应

从丙种型号的产品中抽取件.

I答案I18

・研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一简单随机抽样

［例1］(1)下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是()

A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本

B.盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地随机抽取5个零件进行质量检验

C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验

D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛

(2)某班对期中考试成绩进行分析，利用随机数法从全班64名同学中抽取7人进行分析,

先将64名同学按01,02,03,…，64进行编号，然后从所给随机数表第1行第8列的数开始向

右读，则选出的7名同学的编号为.

630163785916955567199810507175

12867358074439523879

332112342978645607825242074438

15510013429966027954

|解析|(1)A.不是简单随机抽样，因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有

限的，B.是简单随机抽样，符合简单随机抽样的定义.C.不是简单随机抽样，因为这是“一

次性”抽取，而不是“逐个”抽取.D.不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样，故选B.

(2)从随机数表第1行第8列的数字8开始向右读，选出的7名同学的编号为

55,56,05,07,17,51,28.

［答案］(1)B⑵55,56,05,07,17,51,28

(3)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余

F的每个个体被抽到的概率为点则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()

A-4BqC.yD万

C［根据题意，号=J,解得”=28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为要=

n—1Jzb

卬

方法指导抽签法与随机数法的适用情况

(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.

(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可

用抽签法.

I思维变式］

J3列抽样试验中，适合用抽签法的是()

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

B［因为A,D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质

量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容

量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.］

2.简单随机抽样是逐个不放回的抽样，则某一个个体被抽中的可能性()

A.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等

B.与第儿次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些

C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些

D.与第几次抽样有关，虽然每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样

A［因为在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，所

以A正确.］考点二系统抽样

［例2］(1)乒乓球是我国的国球，是一种流行的球类体育项目.为了解某市民众对乒乓

球这项运动的关注程度，某记者随机对该市60名群众进行了测试，将他们进行编号，分别为

1,2,60,采用系统抽样的方法从这60人中抽取6人，若从第一组中抽到了4号，则从

第五组中抽到的号码是.

［解析］由题意可知抽取的号妈依次为4,14,24,34,44,54,故从第五组中抽到的号码为44.

［答案］44

(2)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2,…，99.依编号顺序平均分成10个小组,

组号依次为一，二，三，…，十.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一

组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数相同.若m

=6,则在第七组中抽取的号码是()

A.63B.64C.65D.66

A［因为m=6,所以在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组

中的编号依次为60,61,62,63,…，69,故在第7组中抽取的号码是63.］

(3)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行

座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除个个体，

抽样间隔为.

［解析］把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10,余数是2,所以每

组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从

502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3,…，

500,并均匀分成50段，每段含瑞=10个个体，所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.

［答案］210

方法指导系统抽样的三个关注点

(1)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号

码，公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.

(2)若抽样规则改变，则应注意每组抽取一个个体这一特性不变.

(3)如果总体容量N不能被样本容量〃整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统

抽样的方法抽样.

［思维变式］

;若本例⑴变为“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到编号之和为185”，则抽

到的最小编号为.

［解析］系统抽样的抽取间隔为忆=曰=16.

设抽到的最小编号为x,则x+(16+x)+(32+x)+(48+x)+(64+x)=185,所以x=5.

［答案］5

2.从编号为001,002,…,800的800个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，己知样

本中最小的两个编号分别为008,033,则样本中最大的编号应该是.

［解析］因为样本中编号最小的两个编号分别为008,033,所以样本数据组距为33-8=

25,则样本容量为甯=32,则对应的号码数x=8+25(〃-l),当"=32时，x取最大值为x

=8+25X31=783.

［答案］783

考点三分层抽样

［例3］(1)某报社做了一次关于“什£与新时代的雷锋精神”的问卷调查，在4B,C,

。四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问

卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷数

是()

A.40B.50C.60D.70

(2)一支田径队有男运动员56人，女运动员“人，用分层抽样抽出一个容量为〃的样本，

在这个样本中随机取一个人当队长的概率为《，且样本中的男队员比女队员多4人，则皿=

［解析］(1)由题意设在A,B,C,。四个单位回收的问卷数分别为⑷，a2,43,04,在。

单位抽取的问卷数为%则有四解得42=200,又0+a2+〃3+“4=1000,即3s+

C121UUU

。4=1000,所以々4=400,所以400—16()0,解得〃=60.

(2)由题意知〃=28,设其中有男队员x人，女队员有y人.

%+y=28,

则＜')4'解得1=]6,y=12,m=42.

56x

、加一y

［答案］(］)c(2)42

［例4］(1)(2021・武汉模拟)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名

学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的

人数为()

A.2400B.2700C.3000D,3600

2020—14

C［设全校学生的人数为%则.=onn,解得〃=3000.］

(2)［一题多解］某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分

层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为

()

A.100B.150C.200D.250

A［解法一：由题意可得一%=芸黑，解得〃=10。

n—/U1DUU

解法二：由题意，抽样比为彳*=*，总体容量为3500+1500=5000,故〃=5000X=

=100.］

方法指导

分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

(2)已知某层个体数量，求总体容量，则根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计

算.

⑶分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比样=本蒸容菱量=

各层样本数量,,

各层个体数量

［注意］分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取“=*那0=1,2,…,

左）个个体（其中i是层数，”是抽取的样本容量，M是第i层中个体的个数，N是总体容量）.

［思维变式］

11某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7,现用分层抽样的

方法抽出容量为"的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量〃=.

3

［解析］依题意得3+5+7乂〃=18,解得”=90,

即样本容量为90.

［答案］90

2.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统

计员制作了如下的统计表格：

产品类别ABC

产品数量（件）1300

样本容量（件）130

由于不小心，表格中A,C产品的有关数据已被损坏，统计员记得A产品的样本容量比

C产品的样本容量多10,根据以上信息，可得C产品的数量是.

X

［解析］设样本的总容量为x,则获面XI300=130,所以x=300.所以A产品和C产品

在样本中共有300-130=170（件），设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,所以），=

80.所以C产品的数量为嗡^X8O=8OO.

［答案］800

■镇高考•提素养————素养为本创新应用

［再研高考］

（2020.新高考全国I卷，5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足

球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的

学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

C［用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜

欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则（60%-x）+（82%-X）+x=96%,

解得x=46%.故选C.

广一足球乙、

<6（）%-*82%-xJ、

［创新应用］

抽样方法与其他知识的交汇，在高考中，抽样方法常与数列、函数，概率及数学文化等

知识交汇命题，多以客观题型出现.

1.（2021・吉林通化模拟）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从

各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”

中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关,

关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各儿何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙

持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税,

问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（）

A.甲应付51卷钱

24

B.乙应付32砺钱

C.丙应付16斋钱

D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

B［依题意由分层抽样可知，100-（560+350+180）=耨,

则甲应付：器X560=51卷（钱）；

乙应付：器X350=32告（钱）；

C［设靠左、右窗的座位号码分别为a,„b,„则由火车上的座位号码规律可得，a„=5n

-4,乩=5〃.因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B和D均不符合；25号与

65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的，故选

C.］

3.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其

中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈

摄影，如果选出5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态

度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.

I解析］设班里“喜欢”摄影的同学有y人，“一般”的有x人，''不喜欢"的有（工一12）

x~121

x-3,fx=18,54

解得所以全班共有30+18+6=54（人），又30—干=3（人）.所

3=302

{犬―3，

以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人.

I答案I3

课时作业（五十一）

A级基础达标

1.对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分

层抽样三种不同方程抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为0,〃，「3,则（）

A.Pl=P2〈P3B.P1=P3<p\

C.P1=P3<P2D.P\=P2=P3

D［由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概，率都是相等的，因此pi=p2=P3.］

2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该

校女教师的人数为（）

A.93B.123C.137D.167

C［初中部的女教师人数为110X70%=77（人）,高中部的女教师人数为150X（1—60%）

=60（人），该校女教师的人数为77+60=137,故选C.］

3.现用系统抽样方法从已编号（1〜60）的60枚新型号导弹中，随机抽取6枚进行试验，

则所选取的6枚导弹的编号可能是（）

A.5,10,15,20,25,30B.2,4,8/6,32,48

C.5,15,25,35,45,55D.1,12,34,47,51,60

C［从60枚新型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为第=10,只有C选项中

导弹的编号间隔为10.］

4.某班有34位同学，座位号记为01,02,…，34,用下面随机数表选取5组数作为参加

青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机表第一行的第6列数字开始，由左到

右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座号是（）

495443548217379323788735

209643842634916457245506

887704744767217633502583

921206

A.23B.09C.02D.16

D［从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34

的依次为21,32,09,16,17,故第4个志愿者的座号为16.］

5.（2019・全国I卷）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…，

1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽

到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A.8号学生B.200号学生

C.616号学生D.815号学生

C［根据题意，系统抽样是等距抽样,

所以抽样间隔为■^罂=10.

因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选

C.］

6.（2018•全国III卷）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为

了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽

样和系统抽样，则最合适的抽样方法是.

［解析］因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适

的抽样方法是分层抽样.

［答案］分层抽样

7.（2021・四川绵阳模拟）为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001,0002,…，

2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小

到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003,则最后一个样本编号是（）

A.0047B.1663C.1960D.1963

D［2000+50=40,故最后一个样本编号为3+49X40=1963,故选D」

8.某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采

用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,'c

构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）

A.800双B.1000双

C.1200双D.1500双

C［因为a,b,c成等差数列，所以2b=“+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总

数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分

之一，即为I200双皮靴.］

9.某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1200名考生进行抽样调

查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考

生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②,

则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）

A.分层抽样法，系统抽样法

B.分层抽样法，简单随机抽样法

C.系统抽样法，分层抽样法

D.简单随机抽样法，分层抽样法

B［在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较

好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法.］

10.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成

绩在区间［139」51］上的运动员人数是.

［解析］依题意，应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组，每组5人.然后从

每组中抽取1人，其中成绩在区间［139,151］上的运动员恰好是第3,4,5,6组，因此，成绩在该

区间上的运动员人数是4.

［答案］4

11.（2021•开封市定位考试）某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比为

&：5：3,现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知4种型号产品共抽取了24

件，则C种型号产品抽取的件数为.

24k3

［解析］依题意得正行=五。7，解得k=2,所以C种型号产品抽取的件数为不

JLNUKIDIJZ.IDIJ

X120=36.

［答案］36

12.为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样

本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔上为.

|解析|在系统抽样中，确定分段间隔k,对编号进行分段，k/（N为总体的容量，n

为样本的容量），所以上=?=矮^=40.

［答案］40

B级能力提升

13.（2021・唐山模拟）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为

5的样本，则个体M被抽到的概率为（）

Al00B99C*D=

C［一个总体含有100个个体，每个个体被抽到的概率为看，用简单随机抽样方法从该

总体中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为不冢乂5==.］

14.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，国家卫生部、国家教育部、

团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6

日为“全国爱眼日”.某校高二⑴班有40名学生，学号为01到40,现采用随机数表法从该

班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动.已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）

A.17B.23C.35D.37

C［根据随机数表，抽取的5名学生的学号分别为39,17,37,23,35,所以抽取的第5名学

生的学号为35.］

15.在某大学数学专业的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为

01,02,03,…，160,采用系统抽样的方法抽取样本，己知抽取的学生中最小的两个编号为07,23,

那么抽取的学生中最大编号应该是（）

A.150B.151C.142D.143

B［由最小的两个编号为07,23可知，抽样间距为16,因此抽取人数的比例为专，即抽

取10名学生，其编号构成首项为7,公差为16的等差数列，故抽取的学生中最大编号为7

+9X16=151.］

16.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,…，

840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为.

［解析］抽样间隔为普=20.设在1,2,…，20中抽取号码在［481,720］之

间抽取的号码记为2Ok+xo,则481W2O/+xoW72O,kGN*.

/.24*WZ+瑞W36.

V20GL20,",二&=24,25,26,…，35,

值共有35—24+1=12(个)，即所求人数为12.

［答案I12

第二节用样本估计总体

■梳教的•固基础一——基固为根必备知识

［基础自梳］

1.统计图表的含义

(1)频率分布表

①含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.

②频率分布表的画法步骤

第一步：求极差，决定组数和组距，组距=瀛极差；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.

(2)频率分布直方图：能够反映样本的频率分布规律的直方图.

(3)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起

来，就得到频率分布折线图.

(4)茎叶图的画法步骤

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.

2.样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把"个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间的两

个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

(3)平均数：把.称为0,。2,…，如这〃个数的平均数.

(4)标准差与方差：设一组数据为，及，黑，…，龙”的平均数为工，则这组数据的标准差

和方差分别%__________________________________

s=^［(%1—X)2+(%2—x)2-1--------F(X"—X)2］,

1——一

s2=-^(x\—X)2+(X2-X)2H-------F(即-X)2］.

思考拓展

(1)若X］,尤2，…，X〃的平均数为X,那么必|+a,m¥2+〃，…，+〃的平均数为〃2X

+〃；

（2）数据元I,X2,…,%与数据Xi'=X\+a,X2f=M+〃，…，Xn=为1+〃的方差相等，

即数据经过平移后方差不变；

（3）若为,xi、…，X〃的方差为$2,那么ari+b,小+瓦…,ax〃+b的方差为a2?；

［基础自测］

1.（教材改编）一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数

为（）

A.4B.8C.12D.16

［答案］B

2.（教材改编）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的

中位数和平均数分别是（）

879

9012346

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

［答案］A

3.（易错点：频数与频率的关系）某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关

系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为［35,40）,［40,45）,［45,50）,［50,55）,

［55,60J,由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有人.

［答案］48

4.（教材改编）为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验用.这〃块地的亩产量

（单位：kg）分别为制，X2,…，X"，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程

度的是（）

A.Xl,X2，…，X”的平均数B.X）,X2，…，X”的标准差

C.X）,X2,•••,X”的最大值D.X］,X2，…，X"的中位数

［答案］B

5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.

［答案］（

・研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一茎叶图

［例1］某车间20名工人年龄数据如下表:_______________

年龄（岁）工人数（人）

191

283

293

305

314

323

401

合计20

（1）求这20名工人年龄的众数与极差;

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

(3)求这20名工人年龄的方差.

［解］(1)这20名工人年龄的众数为：30;这20名工人年龄的极差为：40-19=21.

(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：

19

2888999

3000001111222

40

(3)这2()名工人年龄的平均数为：(19+28X3+29X3+30X5+31X4+32X3+40)-20

=30.

所以这20名工人年龄的方差为：

1335431

2Q(30—19)2+而(30—28)2+而(30—29)?+而(30—30>+疝(30—31)2+^Q(30—32.+而

(30—40)2=12.6.

［例2］(2021.河北石家庄教学质量检测)某学校A、3两个班的兴趣小组在一次对抗赛中

的成绩如下茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差.

①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；

②5班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；

③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；

④3班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差.

其中正确结论的编号为()

£班

4B

845

68

35136

426245

68467334

2851832

5291

A.①④B.②③C.②④D.①③

,、…一人…53+62+64+-92+95

A[A班兴趣小组的平均成绩为：---------大----------=78,

其方差为七X［(53—78)2+(62—78尸+…+(95—78)2］=121.6,

则其标准差为小21.6弋11.03:

B班兴趣小组的平均成绩为：

45+48+51+-+91

=66,

其方差为七义［(45-66)2+(48-66)2+-+(91-66)2］=169.2,

则其标准差为-169.2%13.01.故选A.］

方法指导

茎叶图的三个关注点

(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.

(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.

(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下

移者平均数较大，数据集中者方差较小.

［思维变式］

1.(2021福州市抽测)随机抽取某中学甲班9名学生、乙班10名学生的期中考试数学成绩,

获得茎叶图如图,估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是()

甲班乙班

-2

6

8664268

24568

6

A.75,84B.76,83C.76,84D.75,83

B［甲班9名学生的期中考试数学成绩分别为52,66,72,74,76,76,78,82,96,中位数为76,

82+84

乙班10名学生的期中考试数学成绩分别为62,74,76,78,82,84,85,86,88,92,中位数为一〜—=

83,所以估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是76,83,故选B.］

2.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分如茎叶图所示.下列结论错误的是()

甲

80

4631

3682

3893161679

449

250

A.乙运动员得分的中位数是36

B.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差

C.甲运动员的平均分为27分

D.乙运动员的得分有备集中在茎3上

C［从题中茎叶图知，A,D是正确的，乙运动员的得分较集中，甲运动员得分较分散,

故B是正确的，甲运动员得分的平均分为等<27.故选C.］考点二频率分布直方图

［ST］利用频率分布直方图求频率、频数及数字特征

［例3］(2019・全国川卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠

给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科

学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

甲离子残留百分比直方图

乙离子残留百分比直方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(O的估计

值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中m〃的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表).

［解］(1)由已知得0.70=4+0.20+0.15,

故a=0.35,

/>=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)解：甲离子残留