2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练13　初等函数模型的应用

考点规范练13初等函数模型的应用一、基础巩固1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位:台)与投放市场的月数x之间函数关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100答案:C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 B.4C.6 D.12答案:A解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时3.一股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案:B解析:设该股民购买这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.4.某市盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位:小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y=11000t2,0≤t<10,mat,10≤t≤100A.20小时 B.25小时 C.28小时 D.35小时答案:C解析:当10≤t≤100时,y=mat,由题意可得10%=为使新鲜度不低于85%,即不能失去超过15%的新鲜度,则有15%≥110×2-13×2因此log22t30≤log23×2-23=log23-23,即t30≤log23-23,则t≤30log23-20≈48-205.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.

答案:16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0<x<100,x∈N因为x∈N*,所以x的最大值为16.6.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.解(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p>0)故依据题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=3(2)由(1)知,当x=0时,y=8.由经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,得8×32x=8×1000,解得x=log321000=lg1故原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.二、综合应用7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),则A=t2,则D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2,当t=12a,即8.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.(2)由题表中数据可知16a+4得函数模型为y=14x2-10x+126=14(x-20)2+故当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,则14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有两个相异实数根,即Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-2m<k2+20k+由于k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,得-2m<-6,m>3.故m的取值范围是(3,+∞).三、探究创新9.某企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加,且y>0,奖金金额不超过20万元.(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y=150x+1,解:(1)答案不唯一.构造出一个函数,说明是单调递增函数,函数的取值满足要求.如,y=1100x+1,x∈[50,1500],就是符合企业奖励的一个函数模型理由:根据一次函数的性质,易知y随x的增大而增大,当x=50时,y=1100×50+1=32当x=1500时,y=1100×1500+1=16<20,即奖金金额y>0且不超过20万元故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当50≤x≤500时,易知y=150x+1单调递增,且当x=50时,y=150×50+1=2当x=500时,y=150×500+1=11<20,即满足奖金y>0且不超过20万的要求故当50≤x≤500时,y=150x+1符合企业奖励要求当500<x≤1500时,函数f(x)=19+1-a即对任意x1,x2∈(500,1500],且x1<x2时,f(x1)-f(x2)=(1-a)x2-x1故当且仅当1-a<0,即a>1时,此时函数在区间(500,15