第13讲解一元一次方程

第13讲解一元一次方程一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．不要把分子、分母写颠倒要点：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．二、解特殊的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．题型1：合并同类项与移项1．下面解方程结果正确的是（

）A．方程的解为 B．方程的解为C．方程的解为 D．方程的解为【答案】D【分析】根据解一元一次方程的方法逐项判断即得答案.【解析】解：A、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；B、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；C、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；D、方程的解为，故解方程结果正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确合并同类项和化系数为1是解题的关键.2．对于方程进行合并正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据合并同类项的法则进行判断即可.【解析】解：方程合并同类项，得；故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确合并同类项是关键.3．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（

）A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5【答案】C【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘即可．【解析】解：，方程两边同时乘得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．4．已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（

）A．9 B．1 C．1或 D．9或【答案】C【分析】根据题意列绝对值方程求解即可．【解析】解：∵，∴，或，∴或，∴x的相反数是或1．故选：C．【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键．题型2：去括号5．解方程，去括号的结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据去括号的法则解答即可.【解析】解：方程，去括号的结果是；故选：D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知去括号的法则是关键.6．已知关于的方程的解满足，则的值是（

）A． B．10 C． D．【答案】B【分析】先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于m的一元一次方程即可．【解析】解：∵，解得：，将代入方程得：，解得：，故选：B．【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7．方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，再解方程即可得到答案．【解析】解：把代入得，，解得．故选：A【点睛】此题考查了方程的解和解一元一次方程，准确计算是解题的关键．8．已知关于的方程的解都是正整数，则整数的所有可能的取值的积为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为正整数，分情况进行讨论即可．【解析】解：即，解得：∵的解都是正整数，∴是正整数，∴或或解得：或或，∴整数的所有可能的取值的积为，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出是正整数是解题的关键．题型3：去分母9．解方程，去分母正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据去分母的方法即可得到结果．【解析】解：去分母得，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的关键是去分母时各项都要乘以各分母的最小公倍数，尤其是常数项．10．解方程时，把分母化为整数，得（）A． B．C． D．【答案】C【分析】方程利用分数的性质化简得到结果，即可作出判断．【解析】解：方程，整理得：．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．11．将方程去分母得到错在（

）A．最简公分母找错 B．去分母时分子部分没有加括号C．去分母时漏乘某一项 D．去分母时各项所乘的数不同【答案】B【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．【解析】解：方程去分母，将方程两边同时乘6，得：，故A、C、D不符合题意，去分母时，分子部分没有加括号，B符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解．需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．题型4：一元一次方程的解法综合12．解方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；（2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；（3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；（4）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；（5）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；（6）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．【解析】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．（5）解：．（6）解：．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．13．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；（2）先将方程化为，再求解即可．【解析】（1）解：，原方程可化为，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．（2）解：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，化系数为1，得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．题型5：一元一次方程解法的应用14．已知方程与方程的解相同，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出方程的解，再把，代入，即可求解．【解析】解：，去分母得：，去括号得：，解得：，∵方程与方程的解相同，∴，解得：．故选：B【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程得基本步骤是解题的关键．15．（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？（2）取何值时，关于的方程和的解相同？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得；（2）计算方程得，解为，即可得的解为，将代入进行计算即可得．【解析】解：（1）因为与的值互为相反数，所以，解得．（2），，，，所以的解为，所以，解得．【点睛】本题考查了相反数，方程的解，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算．16．若整式的值比小1，求的值．【答案】【分析】根据题意可列出方程，解方程即可．【解析】解：根据题意，得，去分母，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．题型6：审题不清、解错方程问题17．小云在解关于x的方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将错就错，把代入中，计算求出a的值，进而求出方程的解．【解析】解：把代入方程得：，移项合并得：，解得：，代入方程得：，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义．18．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解．【答案】，【分析】根据“小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出”，分析出“是方程的解”，把代入方程中，求出的值，再把的值代入原方程中，正确去分母，求出方程正确的解即可．【解析】解：∵小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，∴是方程的解，∴把代入方程中，得：，解得：，把代入原方程中，得：，方程左右同乘、去分母，得：，移项、合并同类项，得，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，本题先根据错误运算的思路列方程求出的值是解题的关键．题型7：解一元一次方程拓展19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案．【解析】解：∵，∴，设，则，∵关于x的一元一次方程的解为，∴关于m的一元一次方程的解为，∴，∴，∴于y的一元一次方程的解为，故选D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键．20．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（

）A．5 B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k也是整数，即可判断k的取值．【解析】解：，，，，解得：，∵方程的解是整数，k也是整数，∴k可以为4或2或1或1或2或4，共有6个数，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为整数，求出当k为整数，也是整数时，k的值，是解决此题的关键．21．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（）A．2013 B． C．2023 D．【答案】C【分析】首先由方程可得，，由方程可得，，设n=y5，可得，再由方程的解为，可得方程的解为n=2018，据此即可解得．【解析】解：由方程，得，由方程可得，，得，设n=y5，则可得，方程的解为，方程的解为n=2018，，解得y=2023，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键．一、单选题1．下面解方程结果正确的是（

）A．方程的解为 B．方程的解为C．方程的解为 D．方程的解为【答案】D【分析】根据解一元一次方程的方法逐项判断即得答案.【解析】解：A、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；B、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；C、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；D、方程的解为，故解方程结果正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确合并同类项和化系数为1是解题的关键.2．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（

）A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5【答案】C【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘即可．【解析】解：，方程两边同时乘得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．3．关于x的方程变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分数的基本性质把方程的左右两边的第一项变形即可.【解析】解：方程可变形为：；故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，涉及到了分数的基本性质，即分数的分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的值不变，正确去掉分母是关键.4．下面是小明解方程的过程，但顺序被打乱，其中正确的顺序是（

）①移项、合并同类项，得；②方程两边同乘4，得；③移项、合并同类项，得；④方程两边同除以32，得．A．①②③④ B．④③②① C．②①④③ D．③④②①【答案】C【分析】根据解方程的步骤进行求解即可得到答案．【解析】解：方程两边同乘4，得，移项、合并同类项，得，方程两边同除以32，得，移项、合并同类项，得，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解是解题的关键．5．若代数式与3互为相反数，则的值是A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据相反数的定义，互为相反数的两数之和为0，可列出方程．【解析】解：根据题意列方程得：，解得：．故选：B．【点睛】解本题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．是方程的解，那么的值是A． B．4 C．2 D．【答案】B【分析】虽然是关于的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．【解析】解：把代入得：解得：故选：B．【点睛】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．7．解方程时，两边都除以，得，其错误原因是(

)A．方程本身是错的 B．方程无解C．两边都除以了 D．小于【答案】C【分析】出错的地方为：方程两边除以，没有考虑为的情况，据此判断即可．【解析】解：错误的地方为：方程两边都除以，没有考虑是否为，正确解法为：移项得：，合并得：，系数化为得：．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知关于x的方程与的解相同，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】先求出方程的解，然后代入方程，即可求出答案．【解析】解：∵，∴，把代入方程，则，解得：；故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题．9．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（

）A．8 B． C．12 D．【答案】A【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可．【解析】∵，∴，∴，∴，∵方程的解是正整数，∴，解得∴积为，故选A．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．10．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将代入关于x的一元一次方程中，得到，然后和关于y的一元一次方程对比即可求出y的值．【解析】解：关于x的一元一次方程的解为，和关于y的一元一次方程对比，可得：，解得：，故选：D．【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键．二、填空题11．已知是方程的解，则．【答案】【分析】根据是方程的解，可得：，据此求出的值是多少即可．【解析】解：是方程的解，，解得．故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程的方法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．12．关于x的方程是一元一次方程，则，方程的解是．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义可得，进而解一元一次方程即可求解．【解析】解：∵关于x的方程是一元一次方程，∴且解得：∴原方程为解得：【点睛】本题考查了元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且）13．当时，代数式的值为0．【答案】2【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案．【解析】解：，去分母得：，移项得：，系数化为1得：，∴当时，代数式的值为0，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键．14．若是的倒数，则．【答案】【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．【解析】解：∵是的倒数，∴，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了倒数及解一元一次方程，关键是掌握倒数定义．15．小石在解关于x的方程时，误将等号前的“”看成“”，得出的解为，则原方程的解为．【答案】【分析】把代入中求出a的值，再求出原方程的解即可．【解析】解：根据题意，得：是的解，∴把代入得：解得：，∴原方程为，解得：故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟练掌握运算法则，求出，是解题的关键．16．若多项式比多项式的值大5，则．【答案】【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案．【解析】解：∵多项式比多项式的值大5，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键．17．观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的x值为．【答案】3或/或3【分析】根据示意图可知，分两种情况：当输入的时，运算程序是；时，运算程序是.【解析】解：根据题意可得：当时，运算程序是，解得，符合题意；当时，运算程序是，解得：，不合题意舍去，只取，综上所述，或，故答案为：3或.【点睛】本题考查了一元一次方程的计算，分类讨论是解题的关键.18．关于x的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为．【答案】2023【分析】将关于的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到，进而可得的值．【解析】解：将关于的一元一次方程变形为，∵关于x的一元一次方程的解为，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．三、解答题19．解方程：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）将方程去分母，然后将方程移项，合并同类项，即可求解．（2）将方程去分母，然后将方程移项，合并同类项，即可求解．【解析】（1）解：，，；（2）解：，，．【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为为常数）的形式．20．解方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，系数化1可得：（2）去分母可得：，去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，系数化1可得：【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．21．解方程(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；（2）先将方程变形为，再按照去分母，去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1的步骤解方程即可．【解析】（1）解：去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．（2）解：，原方程可变为：，去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算．22．小明解一元一次方程的过程如下：第一步：将原方程化为．第二步：将原方程化为．第三步：去分母．．．(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；(2)请把以上解方程的过程补充完整．【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2(2)【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．【解析】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分母的依据是等式的性质2；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．23．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解．【答案】，【分析】根据“小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出”，分析出“是方程的解”，把代入方程中，求出的值，再把的值代入原方程中，正确去分母，求出方程正确的解即可．【解析】解：∵小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，∴是方程的解，∴把代入方程中，得：，解得：，把代入原方程中，得：，方程左右同乘、去分母，得：，移项、合并同类项，得，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，本题先根据错误运算的思路列方程求出的值是解题的关键．24．在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．（2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．【解析】（1）移项，得，整体合并，得，即，解得.（2）.移项、合并同类项得，去分母，得，去括号，