高中数学知识总结

高中数学知识总结原命题："如果a,那么逆命题：“如果那么a”.

第一章集合与命题否命题：”如果d,那么逆否命题："如果?，那么2”.

一、集合的概念

1.集合的概念：把能够确切指定的•些对象看作•个整体，这个整体就叫做集合，简称集.集合中的各个对2.推出关系：如果a这件事成立可以推出〃这件事也成立，那么就说。可以推出/，并用记号an夕表示，

象叫做这个集合的元素.任何一个对象。对于某一集合A来说，或是属于该集合(即awA),或是不属于该集合

读作“a推出夕

(即a®A).

2.集合的表示法：常用的有列举法和描述法.3.等价命题：如果A、8是两个命题，A=8,8nA,那么4、3叫做等价命题.

列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.

4.充分条件、必要条件、充要条件：用。、夕分别表示两件事，如果a这件事成立，可以推出"这件事也

描述法是在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划•条整线，在疑线后面写上集合中元素所共同

具有的特性，即从=卜及满足的性质〃}.成立，即。=>夕，那么a叫做］的充分条件,如果夕na,那么a叫做夕的必要条件.如果既有an夕，又有

ga,则a叫做户的充要条件.

3.数集的记号：通常把自然数记作N,不含有零的自然数集记作整数集记作Z,有理数记作Q,实数

第二章不等式

集记作R，复数集记作C.

一、不等式的概念和性质

4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作0.

1.不等式的基本原理：

5.集合间的关系：

(1)方的充分必要条件是。一人>0.

(1)子集：对于两个集合A与如果集合A中任何一个元素都属于集合B,那么集合A叫做集合B的子

(2)a=b的充分必要条件是。一力=0.

集，记作AUB或83A,读作"A包含于5"或"3包含A".空集是任何集合的子集.

(3)。<力的充分必要条件是

(2)两个集合相等:对于两个集合A与8,如果AqBJlBqA,那么叫做集合A与集合B相等,记作A=B,

2.不等式的基本性质：

读作“集合A等于集合3〃.

(1)传递性：如果。>b,b>c,那么a>c.

(3)真子集：对于两个集合A、B,如果4=8,并且8中至少有一个元素不属于A,那么集合4叫做集

(2)加法性质：如果。>方，那么a+c>b+c.

合8的真子集，记作AUB或5YA,读作“A真包含于5"或"8真包含A".

(3)乘法性质：如果a>〃，c>0,那么ac>0c.如果a>〃，c<0»那么acvbc.

(4)交集：由集合4和集合8的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AflB，读作“A交B”,(4)如果c>d,那么a+e>/;+d.

即Ari5={x|jeA且1w8}.(5)如果a>b>0,c>d>0,那么

(6)如果a>b>0,那么

(5)并集：由所有属于集合A或者属于集合8的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作AU8,读ab

作"A并8",即AU6={x|xeA或xwB}.(7)如果a>)>0,那么其中〃

(8)如果那么标>物，其中〃wN’，n>\.

(6)全集：在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全

集，常用符号U表示.二、不等式的证明

(7)补集：设。为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中1.证明不等式的常用方法

的补集，记作读作"4补"，即4*={耳4£。且MEA}.

(1)比较法：依据。-8>0aa>b或依据标>通过计算不等式两边的差或商，进行比较.

二、命题与条件

b>0

1.四种命题：如果用a、夕分别表示原命题的条件和结论，用石、/分别表示a、4的否定，那么四种命

(2)综合法：由已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证明的结论.

题的形式就是:(3)分析法：从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定

这些条件是否成立的问题.如果能够判定这些条件成立，那么就可以判定原结论成立.

(4)公式法：以基本不等式为基础，并利用不等式的性质进行证明的方法.八幻"

(5)反证法：是一种间接证明的方法.V/U)<g(x)转化为,g(x)>0

2.基本不等式：/Cr)<[5(x)]2

)对任意实数。和有/+从，当且仅当。时等号成立.

(16,22"=6/U)>0

”(x)>g(x)转化为卜差产，或

g(x)N0

(2)对任意正数。和6,有竺4友,当且仅当。=6时等号成立.1小)<。

2/(A)>[^(A)]2

(3)基本不等式应用：

6.解高次不等式利用标根法.

对于两个正数a和力，当积油为定值时，和。+力在。=〃时有最小值2面；7.指数不等式的解法：指数不等式，9>。叫)(。>])的解集即不等式/*)>以幻的解集：指数不等式

对于两个正数〃和b,当和a+b为定值时，积成在a=8时有最大值azu>>/"(0<«<1)的解集即不等式/(x)<例x)的解集.

三、解不等式8.对数不等式的解法：对数不等式log”/(x)>log“仪幻(a>1)的解集，即不等式组

1.一元二次不等式的解集:

方程a/+%x+c=0ax2+bx+c>0(«>0)2)的解集.对数不等式log“f(x)>1og“0(x)(O<a<l)的解集，即不等式组

ax+/*+cv0(a>0I7(x)>0(x)

的判别式的解集的解集

Kcv)>0的解集.

A=/-4ac<0R0

第三章函数

(-00,-=)U(-3,+°°)

△=6-4ac=00

2a2a一、函数概念

1.函数概念：在某个变化过程中有两个变量X、y,如果对于工在某个实数集合。内的每一个确定的值，按照

△=〃-4ac>0,

某个对应法则7,y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=/(r),KWZ).其中“叫做

内，公是方程的两个根，

(-00,内)UCq,—)(牛，七)自变量，x的取值范围。叫做函数的定义域：和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值

域.

且X,<x2

2.函数三要素：函数的定义域、对应法则、值域是构成函数的三个要素，缺一不可，当两个函数的定义域、

2.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系.和对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数.当两个函数的定义域、对应法则或值域有•个不相同时，

3.解分式不等式转化为解整式不等式：则能判定这两个函数不同.

—>0转化为f(x)g(x)>0:这<0转化为f(x)g(x)<0；3.函数的表示方法：一般地，函数有解析法、列表法和图象法三种表示方法.

g。)g(x)

4.函数的图象：函数的图象是"有序实数对"集｛(x,y)|.y=/(x),工wD｝在直角坐标系内对应的点集(图形)，

^>o转化为厂皿⑴吗g2工o转化为["'"⑴-°.其中x为自变量，。为定义域，y为x的函数值，且自变量在横轴上取值，函数值在纵轴上取值.函数的图像有

g(x)U(x)*0g(x)[g(x),0

以下的特征，经过函数定义域中任何一个点x作垂直于x轴的直线，它与函数的图像恰好有一个交点.

4.解绝对值不等式，利用绝对值的意义进行转化：5.函数的运算：已知两个函数。)，j?(x)(xeD,),设并且。不是空集，那么当xwO

|/(.v)|<a转化为一av/(x)va；|/(x)|>a转化为/(.*)>a或/(K)<-a；

时/(x)与以外都有意义，于是把函数/*)+g(x)(xw。)叫做函数75)与g。)的和，把函数/")避(尤)。€D)叫

Ma转化为-a<f(x)<a：|/(x)|>a转化为f(x)2a或f(x)<-a.

做函数/(X)与gfr)的积.

5.解无理不等式，利用不等式的性质转化为有理不等式组：

二、求函数解析式

1.已知所要求的函数类型，如一次函数、二次函数等，那么利用待定系数法来求这个函数的解析式.的最小正周期.

2.已知复合函数f(g(x))求函数，(x)的解析式，一般采用变量代换的方法.六、函数图象、图象变换和函数零点

3.涉及到实际问题求函数解析式时，就是要将实际问题转换为数学问题，即要建立数学模型.1.画函数图象主要有描点法、叠加法和图象变换三种方法，用描点法时也常要结合函数的基本性质.

三、函数的奇偶性2.函数图象变换有平移变换、对称变换和伸缩变换三种基本形式，重点是平移变换和对称变换.

1.函数奇偶性定义：如果对于函数y=/(x)的定义域。内的任意实数都有/(-〃)=(1)将函数y=/(x)的图象向左平移a个单位，得到)，=/*+〃)的图象，向右平移。个单位，得到函数

/(«).那么函数)，=/(幻叫做偶函数.y=f(x-a)的图象.

如果对于函数)，=/(1)的定义域力内的任意实数都有/(-a)=-/(〃)，那么函数(2)将函数y=/(x)的图象向上平移。个单位，得到)，-。二/(幻的图象，向下平移。个单位，得到函数

y=f(x)叫做奇函数.y+a=/(x)的图象.

2.函数y=，(x)的定义域。关于原点对称是y=/(x)为偶(奇)函数的必要条件.

(3)函数y=/(-x)与函数y=/(A)的图象关于>>轴对称；

3.函数y=f(x)的图像关于y轴轴时称的充要条件是)，=/(外为偶函数.函数y=f(x)的图像关于原点中心

对称的充要条件是y=f(x)为奇函数.函数y=-/(x)与函数y=/(x)的图象关于x轴对称；

四、函数的单调性

函数-外与函数y=f(x)的图象关于原点对称；

1.函数单调性概念：对于给定区间上的函数y=/(X)，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值A2,

互为反函数的两个函数的图象关于直线工时称.

当西<三时，都有，(*］)</(占)(或/(芭)>/(工2)),那么就说y=/(x)在这个区间上是增函数(或减函数).

(4)将函数y=/(x)的在x轴下方的图象对称到x轴的上方，去掉原x轴下方的图象，保留x轴上方的图象，

2.单调区间：如果函数)，=/(x)在某个区间/上是增(减)函数，那么就说函数y=/(x)在这个区间/上是

此时就是函数y=的图象.

单调函数，区间/叫做函数y=，(.1)的单调区间.

将函数y=/(x)的在y轴右边的图象对称到y轴的左边，去掉原y轴左边的图象，保留y轴右边的图象，此

五、反函数与函数的周期性

时就是函数y=/(|x|)的图象.

1.反函数概念：对于函数)，=/(幻，定义域是。，值域是A.如果对4中任意一个值，在。中总有惟一确

3.函数零点概念：对于函数f(x)(xeD),如果存在实数c(ceD),当x=c时，/(c)=0,那么就把x=c叫

定的工值与它对应，使得)，=/(%),这样得到的x关于y的函数叫做y=/C6的反函数，记作工=广心)。习惯做函数/(X)(%€0的零点.

七、函数的最大、最小值与值域

上自变量用工表示，而函数用y表示，所以表示为

1.函数的最大、最小值概念：设函数)，=/(工)在.%处的函数值是/(小)，如果对于定义域内任意X,不等式

y=/-'(x)UeA).

/(A)N/禺)都成立，那么/(%)叫做函数)，=/(X)的最小值，记作%in=

如果函数y=/(.v)有反函数)，=(外，那么函数y=/-'(.V)的反函数就是y=/(x),即函数y=/(x)与

/(x)；如果对于定义域内任意x,不等式八口《/(.”)都成立，那么/(•%)叫做函数y=/(x)的最大值，记作

y=/T(X)互为反函数.0

=/(/).

2.反函数性质：函数y=/(x)的定义域是它的反函数.v=_/-(x)的值域，函数y=/(x)的值域是它的反函数

2.求函数的最大、最小值与值域的几种基本方法：

y=厂,(力的定义域;

(1)研究函数的单调性等性质：定义在区间［。，以上的函数/(幻，如果函数/⑶在［。㈤上是增(减)函数，

互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称；互为反函数的两个函数具有相同的增减性.

那么这个函数的最大(小)值是/S)，最小(大)值是7(a).

3.周期函数概念：对于函数〃x),如果存在一个非零常数7,使得对于定义域内任意一个值x,都有等式

f(x+T)=f(x)成立，那么这个函数f(x)就叫做周期函数，常数7叫做函数/(%)的周期.(2)利用基本不等式〃+6之2，万(a>0/>0).

如果常数丁是函数/(X)的周期，那么&7(&wN*)也是函数/(工)的周期；(3)利用基本函数的性质，如一次函数、二次函数、需函数、指数函数、对数函数等的性质.

(4)通过变量代换的数学思想方法，将函数转化为基本函数.

对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正周期，那么这个最小的正周期就叫做这个函数

（5）利用函数与方程的关系来求函数的最大、最小值与值域.时，图象一定经过点（1，1），在（0.+8）上是减函数.

八、一次函数和二次函数

3.指数函数的定义：函数丫="（。>0,“工1）叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.

1.一次函数“外=履+〃伏工0）：当*>0时，在（F,+8）上是增函数：当A<0时，在

（一,+8）上是减函数.4.指数函数），=优（a>0.a#l）的性质：

2.二次函数/（x）=a-+Zu+c（aH0）：当〃=0时，f（x）是偶函数；当bwO时，f（x）是非奇非偶函数.（1）定义域为R.（2）值域为（0,+8）.（3）图像都在x轴的上方.

（4）指数函数），="（a>0,〃Wl）的图像过点（0,1）.

配方得"x）=a[+2]+处二竺，图象的顶点是J，/"-，],图象的对称轴是直线x=-2.

I2a）4«（2a4aJ2a

（5）当。>1时，指数函数'在（-叫+8）上是增函数：当0<。<1时，指数函数），=优在（-8,+8）上是减

当a>0时，图象的开口向上，函数/⑴的最小值是4"；；”，在（7o,g）是减函数，在卜今+8）是增函数.

（6）指数函数y=/与指数函数y=（1）的图象关于y轴对称.

函数；

当a<0时，图象的开口向下，函数/*）的最大值是竺子，在是增函数，在（-（，+8）是减十一、对数

1.对数概念：如果。（a>0且。工1〉的8次幕等于N,就是a"=N,那么实数力叫做以。为底N的对数，

函数.

记作log“N=b,其中。叫做对数的底数，N叫做其数.

九、函数的f（x）=ax+-

x（1）对数式与指数式的互化公式：—=N（a>0,awl）ob=log“N（a>0,a;tl）.

1.函数f（x）=at+2（a>0,方>0）的性质：

x（2）对数性质：log/=0,log"=l,在对数式中真数N永远大于零.

<1）定义域为（一，0）U（0,+8）.（2）奇偶性：奇函数.

（3）常用对数：常用对数logioN简记为IgN.

（3）单调性：在（7,-哙）上是增函数，1E1聆‘°）上是减函数，在1°，聆卜是减函数，在（.’+8）

（4）自然对数：自然对数log,N简记为InN.（5）a*』.

上是增函数.2.对数运算性质：如果a>0,awl,b>0,bxl,M>0,N>0,那么有

（4）值域：（-<»,-2V^]U[2\/^,+8）.

<1)log“(MN)=k)g“M+log"N.(2)log“储)=log“M-log“N.

（5）最值：无最大值与最小值.（6）周期：无.

2.函数/（x）=at-2（a>0,〃>0）的性质：

x

(3)logttM"=nlogttM.(4)log.N=.

log*

（1）定义域为（7,0）U（0,+8）.（2）奇偶性：奇函数.

fu

（3）单调性：在（-00,0）上是增函数，在（0,+8）上是增函数.(5)logb=-----.(6)logZ>log,c=logc.(7)log.bm=—log>.

fllog/,aazan

（4）值域：R.（5）最值：无最大值与最小值.

（6）周期：无.十二、对数函数

十、募函数与指数函数1.对数函数的定义：

1.基函数的定义：函数丁=Y（a为常数，acQ）叫做幕函数.函数.y=log&x(。>0且。*1)叫做对数函数.

2.暴函数y=.小的性质：当a>0时，图象一定经过点（0,0）和（31）,在（0,+8）上是增函数：当a<0时数函数y=logdx（以>0且"1）与指数函数y=a、（a>0且"1）互为反函数，他们的图象关于直线y=x

对称.

3.弧度制和角度制的换和关系是：1。=工弧度。0.017453弧度，1弧度=（图］。=57.3。.

2.对数函数y=log-r（。＞0且〃工1）的性质：180I乃J

（1）定义域为（0,+8）,对数函数），=k）g。K（〃＞0且。工1）的图像都在y轴的右方.