九年级数学教案5 一次函数

第五讲一次函数

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第五讲“一次函数”.

［教学目标］

知识技能

1.初步认识平面直角坐标系，

2.理解并掌握一次函数的基本概念、图象性质，会利用待定系数法确定一次函数的解析式，并能

够画出一次函数的图象；

3.掌握一次函数图象平移的变化规律；

4.理解一次函数与正比例函数的关系，体会一次函数与二元一次方程的关系；

5.能够利用一次函数的图象求一元一次方程（组）的解及一元一次不等式（组）的解集，并能用

一次函数解决简单实际问题.

数学思考

1.通过用一次函数表述数量关系得过程，体会模型的思想，建立符号意识；

2.在研究点在平面直角坐标系中的运动，进一步发展空间观念；

3.独立思考，体会类比、数形结合等思想方法.

问题解决

1.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分

析问题和解决问题的一些基本方法.

2.在与他人合作和交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度

1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界.

2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.

［教学重点、难点］

重点：平面直角坐标系的认识、一次函数的图象与性质及应用

难点：一次函数的图象平移规律以及一次函数与一元一次方程（组）和不等式（组）的关系

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

导入

师：前面几次课我们主要复习了中考中的第一大块内容一一实数与方程，从这节课

开始那我们就开始复习中考数学的第二大块内容一一函数，同学们想一下，我们都

学习过了哪几种函数？

生：我们学习了一次函数、反比例函数和二次函数.

师：很好，初中阶段我们主要学习了这三种简单的函数模型，在复习的时候同学们

要注意进行类比复习，首先那这节课我们就一起来复习一下一次函数.

启动性问题

下象棋是同学们喜爱的事，同学们可否知道，象棋里充满着数学问题.“马能否

跳回原位”就是其中的一个问题：

象棋盘上有一只马（如图1和图2所示），它跳七步能回到原来的位置上吗？你

不论你怎么跳，都回不到原位，是吗？这是怎么回事呢？利用坐标方法可以帮

助你解决这个问题.

解析：

我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这只马所在的位置P的坐标为（孙yo）,

那么根据象棋规则“马走日字”，马跳一步后的位置的坐标应为（次+幻,泗+6）,这

里的Xi和yi的取值只有以卜可能性：xi取±1、yi取±2；xi取±2、yi取±1,所以xi+yi

的值只可能是1、T、3、-3.（下一步）

同样，跳第二步后，马位置的坐标应为（%o+xi+x2,yo+yi+y2）,这里的xi和yi的

取值只有以下可能性：X2取±1、丁2取±2；12取±2、'2取±1,所以的值只可能

是1、-1、3、-3.（下一步）

跳七步后，马位置的坐标为（X0+X1+X2+X3+/4+X5+X6+X7,》（）+丁1+*+y3+*+*+”+/）；

（下一步）

如果这时马又回到原来的位置（xo,yo）,那么有

X,+々+七+X4+*5+Xb+Xl=0，

冗0+X+%+&+工4+%5+*6+工7=工()，即《

Jo+X+%+%+”+/+%+%=即、乂+H+%+以+为+%+必=°，

两式相力口，有（Xl+jl）+（*2+了2）+（尤3+丫3）+（X4+V4）+（m+/）+（胚+”）+（X7+V7）=0;

（下一步）

因为Xl+yi,X2+）>2,X3+53,X4+y4,X5+”，尤6+卜6,xi+yi,这七个数只能取1、T、

3、-3,但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加和为奇数，所以这样取出的七个数

的和等于o是不可能的，所以马跳七步不可能回到原来的位置.

考点23平面直角坐标系

师：大家一起先来回顾平面直角坐标系的相关知识.

回顾：（一行一行出现）

L平面直角坐标系四个象限：（出现坐标系）

4

点P(x,y）在第一象限ox>0,y>Q；（出现（+,+））3

点P（x,y）在第二象限ox<0,y>0；（出现"，+））

点P(x,y）在第三象限ox<0,y<0；(出现(-,-))TO

点P(x,y）在第四象限ox>0,>,<0.（出现（+,-））-2

(-»-)

坐标轴上：点P（x,y）在x轴上oy=0,x为任意数；（闪烁x轴或者变红色）-3-

-4

点P（x,y）在y轴上ox=0,y为任意数;（闪烁y轴或者变红色）-5-

原点。的坐标为（0,0）.（闪烁原点）

注意：（1）x轴、y轴上的点不属于任何象限.

（2）坐标平面内的点与有序实数对是一--对应的.

（下一步）

2.平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征（出现坐标系）

平行于x轴：纵坐标相同，横坐标为不相等的实数；（出现平行于x轴的直线）

平行于y轴：横坐标相同，纵坐标为不相等的实数.（出现平行于y轴的直线）

6

5

4

3

234567*^

-1o

3.各象限角平分线上的点的坐标特征（出现坐标系）

第一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等；（出现产x直线）

第二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数.（出现y=-x直线）

4•点与坐标轴的距离与点的坐标的关系（出现坐标系）

（1）点P（a,。）与原点、坐标轴的距离（出现点P）

到x轴的距离：等于点P的纵坐标的绝对值，即彷|；（出现垂直于x的线段和|加）

到y轴的距离：等于点P的横坐标的绝对值，即以|；（出现垂直于y的线段和。）

到原点的距离：等于点P的横、纵坐标平方和的算术平方根，即廿.（出现

P0线段和+廿）

（2）坐标轴上两点间的距离

在X轴上两点Pl（XI,0）,P2（X2,0）间的距离P1P2I=IX2-X\;（出现P1P2线段和

P1P2I=IX2-Xl|）

在y轴上两点Q（0,yi）,。2（0,*）间的距离iQQl=l»-yiI；（出现QQ线段和

。1。2=|y2-yi|）

在x轴上的点尸|（孙0）与丁轴上的点。（0,6）之间的距离|尸10||=+.（出现

PiQi线段和|PIQI|=旧+y；）

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一求平面直角坐标系中点的坐标

例1在直角坐标平面内的机器人接受指令（aX）,0°<A<180°）后的

行动结果为：在原地沿正前方直线行走“，再顺时针旋转A.若机器人的位置在原点,

正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令［2,60°］后位置的坐标为（）

A.（-1,-73）B.（-1,~y/3）

C.（-6,-］.）D.（-V3,1）

解析：

模拟机器人（用点3表示）的运动情况如图所示；（下一步）动画显示点8的运

动过程：从原点处向下移动2个单位长度，然后顺时针旋转60°,图中标上60°；

（下一步）

求点的坐标点到坐标轴的距离（或线段的长度■解直角三角形（F

一步）

易知。8=2,过点B作），轴的垂线BC（在图中作出），

0C=-OB=1,BC=y/OB2-OC2=V22-l2=百；（下一步）

2

点B的坐标为(-75,-1).

答案：c

师：首先大家根据题目已知条件画出图形，，如何求点的坐标呢？

生：（预设）转化为求线段的长度或点到坐标轴的距离.

师：如何求线段的长度或点到坐标轴的距离？

生：（预设）解直角三角形.

师：在坐标系中求几何图形的点的坐标，通常转化为利用几何图形的性质，求该点

到两坐标轴的距离，常用到三角形，四边形，勾股定理等知识.

类似性问题

1.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是（3,4）,则顶点

M,N的坐标分别是（）

A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）

P.-----N

C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

解析:

过点P作PELOM于点E（在图中作出），则OE=3,PE=4,根据勾股定理得

OP=S]OE2+PE2=5；（下一步）根据菱形的性质可知OM=PN=OP=5,所以点M的

坐标为（5,0）,点N的坐标为（8,4）.

初步性问题

探究类型之二坐标平面内点的特征

例2已知点P（4,0-1）在平面直角坐标系的第一象限内，则a的取值范围在数轴

上可表示为（）

D.

解析：

点、P（x,y）在第一象限u>x>0,y>0；（下一步）

所以卜解得a>L

a-1>0,

答案：A

师：点在第一象限的符号特征是什么？

生：（预设）横纵坐标都大于0.

师：解此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方

程（组），把点的问题转化为不等式组或方程（组）来解决.

类似性问题

2.若点P（a,«-2）在第四象限，则a的取值范围是（）

A.-2<a<0B.0<a<2

C.a>2D.a<0

解析：

点P（x,y）在第四象限ox>0,y<0；（下一步）

所以解得0<a<2.

4一2<0,

初步性问题

探究类型之三坐标平面内点的运动

例3一只跳蚤在第一象限及x轴、），轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0,

1）,然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0,0）->（0,1）-*（1,1）-（1,0）

—且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）

解析：

记跳蚤运动到点（〃，«）需要的时间为加，其中〃与1且〃为正整数:

跳蚤跳到点（1,1）的位置，力=1X2_秒；（下一步）

跳蚤跳到点（2,2）的位置，1X2+2X2=2X3―秒；（下一步）

跳蚤跳到点（3,3）的位置，△=_2X3-2X3=3义4—秒;（下一步）

跳蚤跳到点（4,4）的位置，M=—3X1+2X4=4X5—秒；（下一步）

跳蚤跳到点（5,5）的位置，4X5+2X5=5X6秒；（下一步）

再向下跳动个单位长度，即第35秒时跳蚤到达点_1（5,0）.

答案：B

师：如何求第35秒时跳蚤所在位置的坐标？

生：（预设）通过观察寻找跳蚤运动过程中所在位置坐标的规律.

师：你发现规律了吗？

学生总结规律.

师：平面直角坐标系中的质点运动要注意观察横坐标与纵坐标随时间的变化规律.

类似性问题

3.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定，正方形的

内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：

边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3

的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为（）

A.64B.49C.36D.25一-vt后

解析：

观察图形可总结出规律：设正方形的边长为〃,

当〃为奇数时，正方形内部有/个整点；（下一步）

当〃为偶数时，正方形内部有（〃T）2个整点.

边长为8的正方形内部的整点的个数为（8-1）2=49.

师：复习完了平面直角坐标系的知识，下面我们来复习下变量与函数.

考点24变量与函数

师：首先同学们先回顾一下变量与函数的基本概念.

回顾：（先出现红色字体，再出现黄色阴影字体）

1.常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变

化的量叫变量.

2.函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量，例如lx与y,对于x的

每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，也称

y是x的函数.

3.函数的表示：（1）解析式法；（2）列表法；（3）图象法.

4.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别

作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的

图象.

描点法画函数图象的一般步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一函数的概念

例1下列函数中，自变量x的取值范围为x<l的是（）

a1n,1

A.y=---B.y=]__

1-xx

解析：

求函数自变量的取值范围，要满足以下两个条件:

（1）分母不为0；

（2）被开方数非负.（下一步）

如图1:表示离出发点的距离S与时间/的函数图象中，①代表物体匀速运动远

离出发点，②代表物体停止，③代表物体反向匀速运动直至回到原出发

点.（出现图1,下一步）

如图2：表示速度V与时间/的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②

代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止.（出现图2）

图1图2

答案：D

师：如何根据函数关系判断函数图像？

生：（预设）观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，分析图象的变化趋

势，结合实际问题的意义进行判断.

师：如图，在表示离出发点的距离s与时间f的函数图象中，每一段分别表示什么？

生：（预设）①代表物体匀速运动远离出发点，②代表物体停止，③代表物体反向匀

速运动直至回到原出发点..

师：这样我们是否就可以判断了呢，对比下面的函数图像，每一段各代表什么呢？

生：（预设）①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速

运动到停止.

类似性问题

2.小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了咳I」钟吃完早餐后，按原

路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是

（）

解析：

在吃饭的一刻钟时间内距离保持不变，故可排除A、D,由于学校离家的距离比

第4步

注意：画一次函数图象时，只要取两个点即可.

（下一步）

3.一次函数图象及性质：（先出现蓝色字体，再两行两行出现）

函数k,取值大致图象经过的象限函数性质

yJ[

k>0

——、二y随x增大而增大

/'Ox

y=kx（原0）yi

k<Q

7二、四y随x增大而减小

O

k>0y一、二、三

才

b>00X

iiyy随x增大而增大

k>Q/.X一、三、四

0,

b<0/\

y=kx+b（后0）

y

k<07一、二、四

b>0

k<0二、三、四y随尤增大而减小

b<0

4.待定系数法：先设表达式中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写

出函数的解析式.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一一次函数的图象与性质

例1已知一次函数〃-2的图象如图所示，则机，〃的取值范围是（）

A.m>0,71V2B.m>0,n>2y

\

C.m<0,n<2D.m<0,n>2\.

O\X

解析：r斜率左的符号决定函数的增减性

y=kx+b（后0）

截距b的符号决定函数图像与y轴交点在上方还是下方

（下一步）

m<0,m<0,

所以解得4

/?—2>0,n>2.

答案：D

师：如何求一次函数中字母系数的取值范围呢？

生：（预设）根据函数的增减性判断斜率攵的符号，截距人的符号决定函数图像与y

轴交点在上方还是下方.

类似性问题

1.已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则人的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

2.已知关于x的一次函数产依+4&-2（原0）.若其图象经过原点，则上；若y随x

的增大而减小，则k的取值范围是.

解析:

一次函数产乙+饮-2（原0）的图象经过原点，则4&-2=0,解得上;；（下一步）

一次函数）=依+462（原0）,），随犬的增大而减小，则ZV0.

初步性问题

探究类型之二用待定系数法求一次函数的解析式

例2如图所示,在平面直角坐标系中,A,B均在边长为1的正方形网格格点上.

（1）求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当0乡£2时，自变量x的取值范围；

（2）将线段A8绕点8逆时针旋转90。，得到线段8C,请在图中画出线段BC.若直

线BC的函数解析式为y=kx+h,则y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）.

解析：

（l）A（l,0）,8（0,2）,设直线A8的函数解析式为用待定系数法求解;

（下一步）

（2）动画展示将线段A3绕点8逆时针旋转90°,得到线段8c的过程.从图象

上观察可得出结果.

答案：

解：（1）观察图象可知A（l,0）,8（0,2）,设直线A3的函数解析式为产履+。，

b=C（k=-?

根据题意得一'解得''

h=2,[b=2.

所以y=-2x+2,当0gg2时，00烂1.（下一步）

（2）增大（直接填在空处）

师：如何求直线的函数解析式？

生：（预设）待定系数法.

师：待定系数法的一般步骤是？

生：（预设）（1）设一次函数的解析式为产气+从原0）；（2）把已知两点坐标

Pi（m,h）,P2（a2,岳）代入得（3）解方程组求出k,b的值；⑷将求出

b2=a2k+b;

的待定系数代回所求的函数解析式.

师：通过图像观察能否得到函数的增减性呢？

生：（预设）从左往右看，上山就是递增的，下山就是递减的.

类似性问题

3.已知：一次函数），=辰+力的图象经过M（0,2）,N33）两点.

（1）求上。的值；

（2）若一次函数>=入+。的图象与x轴的交点为A（a,0）,求。的值.

解析：

h=2（k=\

（1）将点M,N的坐标代入产履+分得"‘解得一’（下一步）

-k+b=3,[b=2-,

（2）由（1）可知y=x+2,把点A的坐标代入得a+2=0,即。=-2.

第二课时

教学路径

师：下面这节课我们主要来复习一下一次函数图象的平移，一次函数与一元一次方

程（组）、不等式（组）的关系及一次函数应用问题.

考点26一次函数图象的平移

师：我们首先来回忆一下一次函数），=依+匕的图象可由正比例函数y=区的图象如何

平移得到？

回顾：

一次函数图象的平移：一次函数产履+。的图象可由正比例函数严质的图象平移得

到，b>0,上移。个单位；b<0,下移㈤个单位.（下一步）

例如：y=2x+3

y=2x

（下一步）j=2x-3

师：接下来我们来看一道例题.

初步性问题

探究类型一次函数图象的平移

例1已知一次函数>=依-4,当x=2时，y=-3.

（1）求一次函数的解析式；

（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标.

解析：

（1）将x=2,y=-3代入求出k的值；（下一步）

（2）将一次函数），=依-4的图象向上平移6个单位，得到的函数图象对应的解

析式为_y=hc-4+6=y=kx+2.

答案：

解：（1）根据题意得-3=2公*4,解得Z=L

2

所以一次函数的解析式为产;k4.（下一步）

（2）将一次函数厂4的图象向上平移6个单位，得到的函数图象对应

的解析式为y=；x+2.

令y=0,得0='x+2,解得x=-4,

2

所以平移后的图象与x轴交点的坐标为（-4,0）.

师：图像平移求解析式的口诀是？

生：（预设）上加下减，左加右减.

师：直线丁=履+力（灯0）在平移过程中％值不变.平移的规律是若上下平移，则直接

在常数。后加上或减去平移的单位数;若向左（或向右）平移机个单位，则直线）=依+匕

(Z^O)变为y=k(x±m)+b.

类似性问题

(1)在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+l向下平移4个单位长度后所得直线的解

析式为.

(2)在平面直角坐标系中，将直线y=-2x+l向左平移4个单位长度后所得直线的解

析式为.

解析：

根据“上加下减，左加右减”的口诀求解.

考点27一次函数与一次方程(组)与不等式(组)

师：一次函数与一次方程(组)与不等式(组)之间有什么样的关系呢？同学们思

考一下如何利用一次函数的图象来求一次方程(组)的解及一次不等式(组)的解

集？

回顾：

一元一次不等式一元一次方程

kx+b>0kx+b=a

(y0)(20)

是不等式解集

解

方

程

组

求

两

条

直

线

的

交

点

y=kjx+bt

y=k2x+bz

（下一步）

L一次函数与一次方程（组）与不等式（组）（下一步）

（1）一次函数值为0时，相应的自变量的值为方程的根；（下一步）

（2）-次函数值大于（或小于）0,相应的自变量的值为不等式的解集；（下一步）

（3）两直线的交点是两个一次函数解析式所组成的方程组的解.（下一步）

2.两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积（下一步）

（1）一次函数与x轴交点坐标：设），=0,求出对应的x值；（下一步）

（2）一次函数与y轴交点坐标：设x=0,求出对应的y值；（下一步）

（3）一次函数与其他函数图象的交点坐标：解由两个函数解析式组成的二元方程组,

方程的解即两函数的交点坐标；（下一步）

（4）直线产气+6与x轴交点为（--,0）,与y轴交点为（0,力，且这两个交点与坐

k

标原点构成的三角形面积为s=x|b|=二.（下一步）

2k2网

师：下面我们一起来看两道例题.

初步性问题

探究类型之一利用函数图象解解一元一次不等式（组）

例1如图所示，直线yi=依+〃过点A（0,2）,且与直线”="比交于点P（1,根）,

则不等式组nix>kx+b>mx-2的解集是

解析：

由P（l,/〃）知依+。成立时对应的x>l；（下一步）

将直线yi=mx向下平移2个单位，得到直线>,3=/nr—2,与y轴交于点B,与直

线y交于点C,如图所示（在原图上画出图形）；（下一步）

过点P作PELy轴于E,过点C作CFLy轴于F（在图中作出，并突出下列两

PFApAn

个A型），则借助两个“A型相似形"得上=竺=丝，易知PE=1,AO=2,A8=4,

CFACAB

12

所以」一=±,所以b=2,即点C的横坐标为2；（下一步）

CF4

kx+b>mx-2成立时对应的x<2,故不等式组mx>kx+b>mx-2的解集是1<

答案：Kx<2

师：如何求不等式组的解集大家都已经掌握了，那我们就看看如何求下面两个不等

式，第一个不等式丘+。的解集是？

生：（预设）首先找到两条直线的交点，根据一次函数和不等式的关系知：可以从直

线y=mx在直线y=kx+b上方的部分找到不等式mx>kx+b的解集.

师：第二个不等式呢？

生：（预设）关键是找到两条直线交点的横坐标.

师：如何求交点坐标呢？

生：（预设）过点作坐标轴的垂线，借助两个A型相似形得到交点的横坐标.

类似性问题

1.已知一次函数y=^+3的图象如图所示，则不等式依+3<0的解集是.

求不等式匕+3<0的解集即为求当函数值产"+3小于0时自变量x的取值范围,

表现在图象上即为直线y=^+3在无轴下方部分（在图中变色，如右图），（下

一步）观察图象可知不等式依+3<0的解集为x>1.5.

初步性问题

探究类型之二一次函数与坐标轴围成的面积

例2如图所示，直线）=2尤+3与x轴交于点A,与y轴交于点8.

（1）求A,8两点的坐标；

（2）过8点作直线与x轴交于点P,且使0P=2QA,求的面积.

（1）由x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0,代入直线产2%+3易求

出A,8点的坐标；（下一步）

（2）求出OP的长度，转化为P点的坐标，注意分P点在原点。两侧两种情况

来计算△A8P的面积，（画出两种情况下的直线BP）（下一步）SzxA8P=SziOBP±SAOBA.

（颜色标出两个三角形的面积）

答案：

解：（1）令y=0,得0=2x+3,解得x=-2,故点A的坐标为（-士，0）.

22

令x=0,得y=3,故点8的坐标为（0,3）.（下一步）

（2）由（1）可知。4=一，08=3,所以OP=2OA=3.（下一步）

2

1139

SAOBA=-OA-OB=-X-X3=—,

2224

iIo

SAOBP=-OP-OB=-X3X3=-,（下一步）

222

QQQ

若点P在原点。的左侧，如图所不，SMBP=S&OBP~SAOBA=—,（b

244

一步）

9927

若点P在原点O的右侧，如图所不，SAA8P=SAOBP+SAOBA=—+—=—.（F

244

师：如何求直线和坐标轴交点的坐标？

生：（预设）根据交点坐标的特征，与x轴交点的横坐标为0,与y轴交点的纵坐标

为0.

师：第二问，根据题目条件首先应该画出图形，如何求△A8P的面积？

生：（预设）利用面积的割补法求三角形的面积，当点尸在原点。的左侧时，

的面积等于两个面积的差，当点P在原点。的右侧时，AABP的面积等于两个面积

的和.

师：还有别的方法吗？

生：（预设）直接用面积公式，求出三角形的底和高.

类似性问题

2.已知梯形A3CO的四个顶点的坐标分别为A（-1,0）,B（5,0）,C（2,2）,D

（0,2）,直线y=^+2将梯形分成面积相等的两部分，则々的值为（）

22八4八2

AA.——Bn.——C.——D.——

3977

y=kx-r23个

解析：\DC

画出图形如图所示（给出图形），设直线y=^+2______

AO£'Bx

与x轴交于点E,易知A8=6,CD=2,0D=2,

S梯修（AB+CD）•00=8；（下一步）

2

由“直线），=心+2将梯形分成面积相等的两部分”可知S“DE=gS|wABCD=4,

所以LAEX2=4,得AE=4,故OE=3,即E（3,0）；（下一步）

一2

2

把点E的坐标代入y=kx+2,得0=3k+2,解得k=~—.

'3

考点28一次函数的应用

师：复习完了一次函数的基本知识，那么我们该如何利用一次函数来解决实际问题

呢？

回顾：

用一次函数模型解决实际生活问题（下一步）

方法：从给定的信息中抽象出一次函数关系，再利用一次函数的图象和性质求解，

一般需要求出自变量的取值范围.（下一步）

常见类型：（1）求一次函数的解析式；

（2）利用一次函数图象与性质解决某些问题，如最大（最小）值问题等.

师：下面我们就一起来看一下利用一次函数模型可以解决哪些实际问题.

初步性问题

探究类型之一利用一次函数进行方案选择

例1某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，

另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数

关系如图所示.伊元）

o\100200300400500分钟）

（1）有月租费的收费方式是一（填①或②），月租费是____元；

（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；

（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议.

解析：

（1）当x=0,y=30,即表示有月租30元；（F一步）

（2）设①收费方式中函数解析式为“产立什30,②收费方式中函数解析式为y

元=%»,用待定系数法求解；（下一步）

（3）y〃=y尤时，即选择收费方式①、②一样实惠，再讨论不等关系.

注：根据图像得到实际问题中的有用信息，如下图，直接列算式计算：

费用方案①方案②

月租费（元）300

单价（元/分钟）(80-30)4-500=0.11004-500=0.2

设通话时间为X分钟，费用为y元，根据收费标准得：

方案①：y=30+0.lx；

方案②：y=0.2x.

答案：

解：（1）①；30（直接填在横线上）（下一步）

（2）设①收费方式中函数解析式为y〃=%ix+3O,把（500,80）代入，

得80=500M+30,解得力=-L,所以y『J-x+30.

1010

设②收费方式中函数解析式为产元=以，把（500,100）代入，

得100=50022,解得女2=（,所以y尤=（x.（下一步）

（3）令尤，BP—x+30=-x,解得x=300.

105

观察函数图象可知：当用户通讯时间小于300分钟时，选择②收费方式比较

经济实惠；当用户通讯时间大于300分钟时，选择①收费方式比较经济实惠；

当用户通讯时间等于300分钟时，选择两种收费方式一样.

师：横轴表示时间，纵轴表示费用，如何求两种方案下函数关系式呢？

生：（预设）待定系数法求函数解析式.

师：还有别的方法吗？

生：（预设）根据图像求出两种方案下每分钟的花费，然后再根据实际意义求解析式.

师：如何判断哪个方案更优惠？

生：（预设）关键是找到两条直线的交点，交点就是分界点.

师：（1）方案比较问题，一般都有两个一次函数式，且随着自变量取值的不同，其

函数值也不同.利用它们的这种变化过程，找到界点，便可加以比较.

（2）销售或调运问题，数据较多，通过列表分析，使数量关系清晰明朗，易得函数

表达式，再根据实际问题有意义的条件确定自变量的取值范围，利用一次函数的性

质可求其最值来解决实际问题最值问题.

类似性问题

1.甲、乙两人沿相同的路线由A地到8地匀速前进，A,8两地间的路程为20千米,

他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为r（单位：小时），甲、乙前

进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是（）

A.甲的速度是4千米/时$/千米t

B.乙的速度是10千米/时\

C.乙比甲晚出发1小时'

D.甲比乙晚到B地3小时；34）小时

解析：

观察图象可知：乙比甲晚出发1小时，早到达4-2=2（小时）；（下一步）

甲从A地到8地，共用了4小时，故速度为20y=5（千米/时）；乙从A地到8

地，共用了1小时，故速度为20千米/时.

初步性问题

探究类型之二利用一次函数进行资源收费

例2今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，我市自来水公司

（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，问四月

份比三月份节约用水多少吨？

解析：

分别表示出当0%口0和x>10时所对应的的函数解析式；（下一步）

（1）当x=7时，求出对应的），值即可；（下一步）

（2）当y=29时对应的尤>10,当y=19.8时对应的grWO,分别代入对应的函数

解析式求出x的值，然后作差即可.

注：根据图像得到实际问题中的有用信息，如下图，直接列算式计算:

用水量（吨）水费（元/吨）

用水量不超过10吨的部分224-10=2.2

用水量超过10吨的部分(57-22)4-(20-10)=3.5

设用水量为九吨，水费为y元，根据收费标准得:

当0夕00时，y=2.2x；

当x>10时，y=3.5x-（3.5-2.2）X10=3.5x-l3.

（或y=2.2X10+3.5（尸10）=3.5xT3.）

用水7吨需交的水费是:2.2X7=15.4（元），

当三月份水费为29元时，用水量为：10+（29-22）+3.5=12（吨）,

当四月份水费为19.8元时，用水量为：19.8+2.2=9（吨）.

答案:

解：当grglO时，设产qx,把（10,22）代入，

得22=10心，解得h=2.2,所以y=2.2x.（下一步）

当x>10时，设产&2X+4把（10,22）和（20,57）代入,

22=1O&+加解得,3=3.5,

得所以y=3.5x-13.

57—20k-,+b,b=—13,

2.2x(O<x<10)

所以y=,（下一步）

3.5x-13(%>10)

(1)当x=7时，y=2.2X7=15.4,即应交水费15.4元.（下一步）

(2)当y=29时，x>10,故29=3.5xT3,解得x=12.

当y=19.8时,0勺00,故19.8=2.2x,解得x=9.

12-9=3（吨）,即四月份比三月份节约用水3吨.

师：首先明确横轴纵轴的意义？

生：（预设）横轴表示用水量，纵轴表示水费.

师：当用水量超过10吨后，直线上扬，说明什么？

生：（预设）水价提高.

师：我们如何求水费和用水量之间的函数关系式呢？

生：（预设）待定系数法.

师：还有别的方法吗？

生：（预设）求出水的单价，根据实际意义求函数解析式.

师：解有关分段函数问题，要善于利用图象发现有用的信息，再利用待定系数法求

解.数形结合是解决这类问题最重要的数学思想.

类似性问题

2.今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，

某校数学教师编造了一道应用题：

为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下

规定：

月用水量（吨）单价（元/吨）

不大于10吨部分1.5

大于10吨不大于m吨部分（20勺?W50）2

大于m吨部分3

（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；

（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；

（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70gs90,试求〃?

的取值范围.

解析：

（1）用水18吨交费时包括两部分：10吨以内和超过10吨部分；（下一步）

（2）利用水费的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可；（下一步）

（3）用40代替（2）中求得的函数解析式中的x,利用缴纳水费y元的取值范

围为709mo得到有关机的不等式组，解得即可，要注意分406W50和

20sM<40两种情况讨论.

答案：

【类似性问题】

考点23

1.A

2.B

3.B

考点24

1.D

2.B

考点25

1.D

2.-；k<Q

2

3.解：(1)将点M,N的坐标代入>=区+6得1'解得1'

k+b=3,[b=2;

(2)由(1)可知y=x+2,把点A的坐标代入得a+2=0,即a=-2.

考点26

(1)y=-2x~3

(2)y=~2x-7

考点27

1.x>l.5

2.A

考点28

1.C

2.解：(1)•.T8<m,.•.此时前面10吨每吨收1.5元，后面8吨每吨收2元,

则应缴纳的水费为10X1.5+(18-10)X2=31(元).