高中数学导数、微积分测试题

导数、微积分

1、(2012德州二模)如图，在边长为兀的正方形内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域

记为M(图中阴影部分)，随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率

是

答案：B一安1

解析：区域M的面积为：SM=/sinra=-cosx|j=2,而正方形的面积为S=/,所以,

2

所求概率为P=-y,选B。

2、(2012济南三模)已知函数/G)=3尤2+2X+1,若//(无心=2/(。)(a>0)成立，

贝！Ja=.

答案：\

O

解析：因为「f(x)(&=「(3X2+2X+1)dx=(x3+x2+x)|-i=4,所以2(3a?+2a+l)=4

=>a=-1或a=§.

f尤2o<r<1

3、(2012莱芜3月模拟)函数/(x)=一~的图像与x轴所围成的封闭图形

2-x1<x<2

的面积为.

【答案】-

(解析】£f(x)dx=[产2公+1(2—x)dx=gx]]+(2x一g/=g

1,1

4、(2012济南三模)已知a、夕是三次函数/(x)=§d+5狈02+2"(a/ER)的两个极

值点，且aw(0,1),夕e(l,2),则上口的取值范围是()

a-2

222

A.(-00,—)B.(―,1)C.(l,+oo)D.(—00,—)^(1,+oo)

答案：B

解析：因为函数有两个极值，则/'(无)=0有两个不同的根，即A>0,又

/,(0)>02b>0

f'(x)-x2+ax+2b,又。e(0,1),/7e(1,2),所以有</'(1)<0即<1+a+2匕<0。

r⑵〉()4+2a+2b>0

b—3

——的几何意义是指动点P(a,b)到定点A(2,3)两点斜

a-2

率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经

1-3

过AB时，斜率最小，此时斜率为A=------=

-3-2

经过AD时，斜率最大，此时斜率为&=二0~-j3-

5、(2012临沂3月模拟)函数/(x)=x3-x2+x+\在点(1,2)处的切线与函数g(x)=Y

围成的图形的面积等于：

4

【答案】一vvvvw.zxx&.ca??

3

【解析】函数的导数为尸(x)=3--2x+l,所以/'(1)=3-2+1=2,即切线方程为

"2

V=X"

>—2=2(x—1),整理得y=2x。由解得交点坐标为(0,0),(2,2),所以切线与函

y-2x

数g(x)=x2围成的图形的面积为］：(2无—/a=(/_；*=4_|。

6、(2012临沂二模)已知。={(x,y)|0«x41,04y〈l},A是由直线y=0,

x=a（O<a«l）和曲线y=Y围成的曲边三角形区域，若向区域。匕随机投一点，点落在

区域A内的概率为1则。的值是

(B)-(C)-(D)-

842

【答案】D

【解析】区边三角形的面积为虬=%4］：=卜4,区域C的面积为1,若向区域。

上随机投一点，点落在区域A内的概率=,，所以。4=上，所以a=L,选D.

464162

2

7、（2012青岛二模）设。=f（1-3X2）^+4,则二项式（/+@）6展开式中不含丁项的系

数和是

A.-160B.160C.161D.-161

【答案】C

【解析】£(l-3x2)i/x=(x-x3)|^=-6,所以a=—6+4=-2,•.项式为(一一2)

2

展开式的通项为几1=C：（无2）6-*2）«,令12-3左=3,即女=3,所

X

以7；=C；%3（_2）3,所以/的系数为—23燥=—160,令X=l,得所有项的系数和为1,

所以不含V项的系数和为1—（—160）=161,选以

8、（2012青岛二模）已知函数/（X）的定义域为［一1,5］,部分对应值如下表，/（X）的导

函数y=/'（x）的图象如图所示.下列关于“X）的命题:

①函数〃x)的极大值点为0,4；

②函数/(力在［0,2］上是减函数；

③如果当用时，/(x)的最大值是2,那么f的最大值为4；

④当1<。<2时，函数y=/(x)-a有4个零点；

⑤函数y=/(x)—a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.

其中正确命题的序号是.

【答案】①②⑤

【解析】由导数图象可知，当一l<x<0或2<x<4时，/'(x)>0,函数单调递增，

当0<x<2或4<x<5,/'(x)<0,函数单调递减，当x=0和x=4,函数取得极大值

/(0)=2,/(4)=2,当x=2时，函数取得极小值，(2),所以①正确；②正确；因为在

当x=0和x=4,函数取得极大值/(0)=2,/(4)=2,要使当函数/(x)的

最大值是4,当24f<5,所以/的最大值为5,所以③不正确；由，(无)=a知，因为极小

值/(2)未知，所以无法判断函数y=/(x)-a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单

调性和极值，做出函数的图象如图,(线段只代表单调性),

根据题意函数的极小值不确定，分/(2)<1或1«/(2)<2两种情况，由图象知，函数

y=/(x)和y=a的交点个数有0,1,2,3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序

号为①②⑤。

9、(2012青岛3月模拟)直线y=2x+4与抛物线y=V+l所围成封闭图形的面积是

101603235

A.—Bn.—C.—D.—

3333

答案：C

【解析】联立方程求得交点分别为(-1,2),(3,10).

所以阴影部分的面积为S=gx4x(2+10)-£(/+1)右=2广与=弓.

3

10、(2012日照5月模拟)如图,由曲线y=sinx,直线不二万少”舞1成的阴影部分

的面积是

(A)1

(B)2

(C)2V2

(D)3

答案：D

【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于

3N34江汗

£sinAzir-J2sinAIZT=-cos+cos=3.(或3£$^^^=-3cos=3)选D.

11、(2012泰安一模)已知。=卜,"卜上1,341},A是曲线y=f与>围成的区

域，若向区域。上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为

1111

A.-B.-C.-D.—

34812

【答案】D

【解析】本题为几何概率.区域。的面积为2x2=4.区域A的面积为

1

1o21।211弓]

[(x2-x2)dx=(-x2一一x3)k=-------=一，所以点P落入区域A的概率为尸=上=一，

J。3310333412

选D.

12>(2012滨州二模)已知函数f(x)=—x2,g(x)=elnxo

2

(I)设函数F(x)=f(x)—g(x),求F(x)的单调区间；

(II)若存在常数k,m,使得f(x)2kx+m,对x£R恒成立，且g(x)Wkx+m,

对xe(0,+8)恒成立，则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”，试

问：f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，

请说明理由。

解析：(I)由于函数f(x)=—x2,g(x)=elnx,

2

1

因此，F(x)=f(x)—g(x)=一厂?一elnx,

2

则尸(x)=x——=--------=-~上2~(0,+oo)，

XXX

当0Vxe&时，F'(x)<0,所以F(x)在(0,4e)上是减函数；

当x>及时，F\x)>0,所以F(x)在(&，+oo)上是增函数；

因此，函数F(x)的单调减区间是(0,&),单调增区间是(8,+oo)»

(II)由(I)可知，当*=&时,F(x)取得最小值F(y/e)=0,

则f(x)与g(x)的图象在x=&处有公共点(五，—)o

2

假设f(X)与g(X)存在“分界线”，则其必过点(五，1)o

故设其方程为：y_]=k(x_0即y="+]—左五，

由f(x)N"+且一%五对x£R恒成立，

2

则d-2kx-e+2k&NU对x£R恒成立，

所以，△=〃？-4(2k>/e-e)=4k2-Sk\/e+4e=e{k-4e)2WO成立，

因此k=&,“分界线”的方程为：y=^x--

2

下面证明g(x)〈小一片对x£(0,+8)恒成立，

2

设G(x)=e\nx-x>/e+—f则G3=g-&二血(&

2xx

所以当0<xV加时，G'(x)>0,当x>&时，G'(x)<0,

当*=&时，G(x)取得最大值0,则g(x)对xG(0,+8)恒成立，

2

故所求“分界线”的方程为：y=&x-3

2

13、(2012德州二模)设函数/(x)=xlnx(x>0),g(x)=-x+2.

(I)求函数f(x)在点M(e,/(e))处的切线方程；

(H)设F(x)=ax2-(a+2)x+f\x){a>0),讨论函数F(x)的单调性；

(III)设函数H(x)=/(x)+g(x),是否同时存在实数m和M(机<M),使得对每一

个直线丁=『与曲线,="(幻*6己,。])都有公共点？若存在，求出最

小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

解析：(D解：/(%)=lnx+l(x>0),则函数尸(幻在点M(e"(e))处的斜率为r(e)

=2,f(e)=e,所以，所求切线方程为y—e=2(x—e),即y=2x—e

(II)尸(x)=+-(a+2)x+lnx+l(%>0),

口“、cz-12ax2-(a+2)x+\(2x-l)(ar-l)

F(%)=2ar-(Q+2)+—=--------------=-------------(x>0,4Z>0),

XXX

令尸(%)=0,则*=—或一，

2a

①当0VQV2,即！>工时，令/'(X)>0,解得OVxV，或x>，

a22a

令尸(x)V0,解得LvxV，

2a

所以，F(x)在(0,一),(一，+oo)上单调递增，在(一，一)单调递减。

2a2a

②当a=2,即,="1时，尸(幻\0恒成立，

a2

所以，F(x)在(0,+oo)上单调递增。

③当。>2,即一<一时，

a2

所以，F(x)在(0,一)，(一，+oo)上单调递增，在(一，一)单调递减

a2a2

(III)H(x)=—x+24-xlnx,H,(x)=lnx,令”'(x)=0,则x=L

当X在区间d,e)内变化时，〃'(x),H(x)的变化情况如下表：

e

X1e

(-,1)(l,e)

ee

—0+

H\x)

2二单调递减极小值1单调递增2

H(x)

e

?1

又2--<2,所以函数H5)=(xw[-,可)的值域为[1，2]o

ee

J72=]I

据经可得，若4—',则对每一个/直线y=t与曲线y="(x)(xe[—,e])

M-2e

都有公共点。

并且对每一个，e(T»,利)(M,+oo),直线y=f与曲线y="(x)(xe[Le])都没有

e

公共点。

综上，存在实数m=l和M=2,使得对每一个,直线y=t与曲线

y=//(jc)(xe[-,e])都有公共点。

e

14、(2012德州一模)己知函数=+

⑴求的单调区间；

(II)设g(X)=f-2x+l,若对任意X|W(0,+8),总存在A2G[0,1],

使得求实数a的取值范围.

解析：⑴/'(x)=a+L=^^(x>0)。

XX

①当。20时，由于x>0,故ax+l>0,/(幻>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,

+oo)。

②当〃<()时，由尸(x)=0,得》=一,，在区间(0,-1)上，/(幻>0,

aa

在区间(一,，4-00)±,f\x)<0,

a

所以，当。2()时，所以f(x)的单调递增区间为(0,+oo)o

当4<0时，f(X)的单调递增区间为(0,--),f(X)的单调递减区间为(一工,+00)

aa

(H)由已知,转化为了(幻侬*<g(X)2，又gCO1rax=g<0>=1

由(I)知，当。上0时，f(x)在(0,+oo)递增，值域为R,故不符合题意。

当。<()时，f(x)在(0,--)递增，在(一,，+oo)递减，

aa

故f(X)的极大值即为最大值，/(--)=-1+ln(--)=-1-ln(-«),

aa

所以1>—1—In(—a),解得：a<-^-

15、(2012济南3月模拟)已知函数F(x)=ax+lnx,其中。为常数，设e为自然对数的底

数.

(1)当用-1时，求/(x)的最大值；