新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积截面与交线-小题备考微专题3立体几何中的截面与交线问题

微专题3立体几何中的截面与交线问题常考常用结论正方体的基本截面如下．正方体的截面不会出现以下图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．1.[2024·河南新乡三模]如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分，则该截面的周长为()A．3＋2B．2＋3C．D．2＋2＋22．[2024·江苏南通模拟]正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为()A．B．C．D．3.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N，P分别为棱AA1，CC1，AD的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为________．3.(1)(多选)如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为Ω，若＝，则下列结论正确的是()A．当λ∈(0，)时，Ω为四边形B．当λ＝时，Ω为等腰梯形C．当λ∈(，1)时，Ω为六边形D．当λ＝1时，Ω的面积为(2)[2024·新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．技法领悟1．找截面和交线的一般方法：(1)干脆连接法(2)作平行线法(3)作延长线找交点法2．作截面的关键在于确定截点．通过位于多面体同一表面上的两个不同截点即可连接成截线，从而得到截面．[巩固训练3](1)[2024·安徽临泉一中模拟]已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为A1B1、B1C1的中点，过M、N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为()A．2B．2C．D．(2)[2024·河南许昌试验中学二模]在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为()A．2πB．3πC．4πD．8π微专题3立体几何中的截面与交线问题保分题1．解析：如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E、F分别为棱CC1、BC的中点，则EF∥BC1，正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝，D1E＝AF＝＝，AD1＝2，所以四边形AFED1的周长为3＋2.故选A.答案：A2．解析：如图，取BC，B1C1的中点为H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且AM＝BQ＝C1H，在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H交BC于P，则NP为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H＝2∶3，由于C1H＝.故选C.答案：C3.解析：如图，取CD，B1C1，A1B1的中点分别为E，F，G，则点Q的轨迹围成图形为正六边形PENFGM，且边长为面对角线的一半，即，所以点Q的轨迹围成图形的面积为6××＝3.答案：3提分题[例3](1)解析：当0<λ<时，如图1所示，Ω是四边形，故A正确；当λ＝时，如图2所示，Ω是等腰梯形，故B正确；当<λ<1时，如图3所示，Ω是五边形，故C错误；当λ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，如图4，由正方体的性质易知，PC1∥BM∥AF，且PC1＝AF，截面Ω为APC1F为菱形，其面积为AC1·PF＝，故D正确．故选ABD.(2)解析：如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.答案：ABD(2)[巩固训练3](1)解析：如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝，AC＝2，AM＝CN＝，高为h＝＝，故面积为×(＋2)×＝.故选D.(2)解析：如图，取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N为四边形ABB1A1的中心，连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，因为AB＝AA1＝4，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E三点共线，H，N，F三点共线，MN⊥平面ABB1A1且GN＝EN＝NH＝NF＝2，因为M为CC1的中点，所以MN