2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.14　圆锥曲线中探索性与综合性问题(学生版+解析)

§9.14圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一探索性问题例1(2023·南通模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2))).(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二圆锥曲线的综合问题例2(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝eq\f(1,2).(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§9.14圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一探索性问题例1(2023·南通模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2))).(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,\f(5,3a2)－\f(2,b2)＝1，))结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2.所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0)．当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－eq\f(y0,x0－2)，tan∠QMF＝kQM＝eq\f(y0,x0－t).因为∠QFM＝2∠QMF，所以－eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(2×\f(y0,x0－t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0－t)))2).将yeq\o\al(2,0)＝3xeq\o\al(2,0)－3代入并整理得－2xeq\o\al(2,0)＋(4＋2t)x0－4t＝－2xeq\o\al(2,0)－2tx0＋t2＋3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2t＝－2t，,－4t＝t2＋3，))解得t＝－1.即M(－1,0)．综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．解(1)由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，由抛物线的定义，得m＋eq\f(p,2)＝2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2)＝2，,22＝2pm，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,p＝2，))所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)由(1)得M(2,1)，设点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，则kMA＝eq\f(x1＋2,4)，kMB＝eq\f(x2＋2,4)，所以kMAkMB＝eq\f(x1＋2,4)×eq\f(x2＋2,4)＝－2，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))得x2－4kx－4b＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时k＝－eq\f(1,kMN)＝eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x＋10.题型二圆锥曲线的综合问题例2(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝eq\f(1,2).(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知，a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝2eq\r(3)，p＝4.所以抛物线C1的方程为y2＝8x，椭圆C2的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.则联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝my＋4，))得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.所以eq\f(S2,S1)＝eq\f(\f(1,2)|OC|·|OD|sin∠COD,\f(1,2)|OE|·|OF|sin∠EOF)＝eq\f(|OC|·|OD|,|OE|·|OF|)＝eq\f(|y1|·|y2|,|yE|·|yF|)＝eq\f(32,|yE|·|yF|)，因为直线OC的斜率为eq\f(y1,x1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),8))＝eq\f(8,y1)，所以直线OC的方程为y＝eq\f(8,y1)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(8,y1)x，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))得y2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),64×16)＋\f(1,12)))＝1，则yeq\o\al(2,E)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),64×16)＋\f(1,12)))＝1，同理可得yeq\o\al(2,F)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),64×16)＋\f(1,12)))＝1，所以yeq\o\al(2,E)·yeq\o\al(2,F)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),64×16)＋\f(1,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),64×16)＋\f(1,12)))＝1，所以yeq\o\al(2,E)·yeq\o\al(2,F)＝eq\f(36×256,121＋48m2)，要使S1∶S2＝3∶13，只需eq\f(322×121＋48m2,36×256)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)))2，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．解(1)当直线AB的斜率不存在时，此时Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，∴|AB|＝2p，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(k2p2,4)＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(k2p＋2p,k2)＝eq\f(2p,k2)＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,k2)＋2p>2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，则直线OA的方程：y＝eq\f(4,y1)x，直线OB的方程：y＝eq\f(4,y2)x，由(1)知，x1x2＝eq\f(p2,4)，∴y1y2＝－2p＝－4，∴y3＝eq\f(－16,y1)，y4＝eq\f(－16,y2)＝eq\f(－16,\f(－4,y1))＝4y1，设圆心M(x0，y0)，则y0＝eq\f(y3＋y4,2)＝2y1－eq\f(8,y1).若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，则x0＝eq\f(t＋m,2).由|MD|＝|MG|，得(x0＋4)2＋(y0－y4)2＝(x0－t)2＋yeq\o\al(2,0)，∴4t＋4m＋80＝－tm，由于t≠－4，∴m＝eq\f(－4t－80,t＋4)也为定值．∴H也为定点．若t＝－8，则m＝12，S＝eq\f(1,2)|FH||y1－y2|＝eq\f(11,2)|y1－y2|＝eq\f(11,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(4,y1)))≥eq\f(11,2)×4＝22，当且仅当y1＝±2时取到最小值．故△ABH的面积的最小值为22.课时精练1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为eq\r(2).(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．解(1)由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),3)，,\f(1,2)bc＝\r(2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(6)，,b＝2，,c＝\r(2)，))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假设满足条件的直线l存在，由E(0，－2)，F(eq\r(2)，0)，得kEF＝eq\r(2)，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，所以kAB＝－eq\f(\r(2),2)，设直线l的方程为y＝－eq\f(\r(2),2)x＋t，代入eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，得7x2－6eq\r(2)tx＋6(t2－4)＝0，Δ＝(－6eq\r(2)t)2－4×7×6(t2－4)＝－96t2＋672>0，即－eq\r(7)<t<eq\r(7).记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(6\r(2),7)t，,x1x2＝\f(6t2－4,7)，))由AF⊥BE得eq\f(y1,x1－\r(2))·eq\f(y2＋2,x2)＝－1，所以y1y2＋2y1＋x1x2－eq\r(2)x2＝0，将y1＝－eq\f(\r(2),2)x1＋t，y2＝－eq\f(\r(2),2)x2＋t代入上式，得3x1x2－eq\r(2)(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，所以3×eq\f(6t2－4,7)－eq\r(2)(t＋2)·eq\f(6\r(2)t,7)＋(2t2＋4t)＝0，所以5t2＋t－18＝0，解得t＝eq\f(9,5)(t＝－2舍去)，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝－eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(9,5).2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为eq\f(\r(3),2).设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝eq\f(a2＋m2,2m)，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.(1)求椭圆C的方程；(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解(1)由题意可知b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝eq\r(3).∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋m2,2m)，0))，则|AA′|·|BB′|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋m2,2m)－a))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋m2,2m)＋a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a4＋m4＋2a2m2,4m2)－a2))＝eq\f(a2－m22,4m2)＝eq\f(4－m22,4m2)，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ>0时，x1＋x2＝eq\f(8m,4＋k2)，x1x2＝eq\f(4m2－4k2,4＋k2)，∴|AA′|·|BB′|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4＋m2,2m)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4＋m2,2m)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1x2－\f(4＋m2,2m)x1＋x2＋\f(4＋m22,4m2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(4＋m22,4m2)))＝eq\f(4－m22,4m2).综上，|AA′|·|BB′|为定值eq\f(4－m22,4m2).3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1