2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)1.3建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法1空间向量的直角坐标系(1)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量(2)空间向量的直角坐标运算律①若a=(a1则a+b=λaa⋅aa⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中⑤两点间的距离公式若A(则|或d2建立直角坐标系的方法(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系(2)利用线面垂直关系构建直角坐标系(3)利用面面垂直关系构建直角坐标系3确定空间直角坐标系中点坐标的方法求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下(1)射影法看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值.如求点P横坐标x，过点P作PP1⊥平面xoy，再过点P1作P1或直接构造长方体OP，即求出线段P1P3一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；(2)公式法对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；若点Ax则线段AB的中点坐标(x1+x2点P在线段AB上且AP=λPB，则P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；(ii)利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；(iii)三点共线问题：如若点Ax1,y1,z1,Bx2(4)几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.(5)待定系数法：设点P(x,y,z)，利用已知条件求出x,y,z.(6)函数法：常用于设动点坐标；动点P(a,b,c)在定直线AB上，把AB投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面xoy，得到投影直线A'B'方程，从而达到动点P投影P'(a,b)中a,b的关系.以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.

【题型一】建立直角坐标系的方法利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系【典题1】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB=4利用线面垂直关系构建直角坐标系【典题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1利用面面垂直关系构建直角坐标系【典题3】如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．巩固练习1(★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，2(★★)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，如何建立空间直角坐标系呢？3(★★)如图，三棱锥V－ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法情况1求点的坐标【典题1】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面体高为23，顶点D(1)A1、B1、A、D1；(2)G；(3)B；(4)若【典题2】如图，矩形ABCD中，2BC=CD，E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．建系求点P的坐标.情况2设点坐标【典题3】长方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中点(图1)，将∆ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(图2)在图2中(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在线段BD上是否存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55巩固练习1(★★)一张平行四边形的硬纸ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的对角线BD折起，使点C02(★★)四棱锥S−ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求点S的坐标.3(★★)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，F在PB上，若EF⊥PB于点F，试求点F的坐标.建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法1空间向量的直角坐标系(1)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量(2)空间向量的直角坐标运算律①若a=(a1则a+b=λaa⋅aa⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中⑤两点间的距离公式若A(则|或d2建立直角坐标系的方法(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系(2)利用线面垂直关系构建直角坐标系(3)利用面面垂直关系构建直角坐标系3确定空间直角坐标系中点坐标的方法求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下(1)射影法看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值.如求点P横坐标x，过点P作PP1⊥平面xoy，再过点P1作P1或直接构造长方体OP，即求出线段P1P3一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；(2)公式法对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；若点Ax则线段AB的中点坐标(x1+x2点P在线段AB上且AP=λPB，则P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；(ii)利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；(iii)三点共线问题：如若点Ax1,y1,z1,Bx2(4)几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.(5)待定系数法：设点P(x,y,z)，利用已知条件求出x,y,z.(6)函数法：常用于设动点坐标；动点P(a,b,c)在定直线AB上，把AB投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面xoy，得到投影直线A'B'方程，从而达到动点P投影P'(a,b)中a,b的关系.以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.

【题型一】建立直角坐标系的方法利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系【典题1】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD【解析】易得DA、DC、DD1三线两两垂直，如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为(后面解析省略)利用线面垂直关系构建直角坐标系【典题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1【解析】AB⊥侧面BB1C1C而BC与BB1不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面B如图，以B为原点，分别以BD、BB1、BA(后面解析省略)利用面面垂直关系构建直角坐标系【典题3】如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．【解析】取AD的中点O，连接VO，∵∆VAD是正三角形，∴VO⊥AD又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD则以点O为原点，分别以OA、OV所在直线为x、z轴，以过点O作AD的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．【点拨】①同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；②建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，(1)垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；(2)若有线面垂直，则可考虑该面为平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，则可考虑两面为平面xOy、xOz、yOz其中两个.③若是分别以OA、OB、OC所所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则要先证明OA、OB、OC三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.巩固练习1(★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，【答案】以D为原点，分别以BD、DA、DF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.2(★★)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，如何建立空间直角坐标系呢？【答案】以O为原点，分别以OB、OA、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.3(★★)如图，三棱锥V－ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？【答案】取AC中点E，以E为原点，分别以EB、EC、EV所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法情况1求点的坐标【典题1】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面体高为23，顶点D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N为DD1上点，且ON⊥DD【解析】如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为y,z轴，以过点O作B(1)射影法求点A1(x,y,z)，在平面xoy上则由图可知它到y轴投影D1对应数值−2，则y=−2，到x轴投影对应数值为2，则x=2，即A1同理得B1(2)公式法∵G是△AB∴G=(由三角形重心公式(x(3)向量法设B(x,y,z)，则B1B=又∵B1比较得x=2,y=4,z=23∴点B坐标为2,4,23(4)∵D1、N、D即D1∴ON∴N0,2λ−2,2∵ON∴0+4λ−1+12λ=0解得故N0,−【点拨】(1)射影法：看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值；一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；②公式法：对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用.【典题2】如图，矩形ABCD中，2BC=CD，E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．建系求点P的坐标.【解析】设BC=2，则BN=CN=1，CF=EF=1，以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，过C作平面BCE的垂直CQ为z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，E(0,2,0)，F(0,1,0)，设P(x,y,z)，PB=CD=2BC=4，则PE=PD2∴(x−2)2+y2+∴P(0,2,22【点拨】利用待定系数法，设P(x,y,z)，再利用两点距离公式求得点的坐标.情况2设点坐标【典题3】长方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中点(图1)，将∆ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(图2)在图2中(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在线段BD上是否存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55【解析】(1)证明：在长方形ABCD中，由AB=2AD=22，M是DC得AM=BM=2，而AB=22，∴AM2又AD⊥BM，且AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，而BM⊂平面ABCD，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)思路：先根据“点E(a,b,c)在线段BD上”，得到其坐标形式(即找到a,b,c的关系)，再利用二面角余弦值求出点E的坐标；那怎么引入参数设出点E坐标呢？解：取AB中点N，以M为坐标原点，分别以MN，MC所在直线为x，y轴，在平面ADM内，过M作底面垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，A(2,−1,0)，D(MA=(2方法1向量法设E为线段BD上的点，则DE=λME=DE−(以上是由共线关系利用向量法引入参数λ设点E坐标)(PS以下求λ的过程学完求二面角的向量法方能理解)设平面AMD的一个法向量为m=(x1,y由m⋅MA=2x由n⋅取y2=2由cos<m解得λ=3+6(舍)或∴在线段BD上存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55方法2函数法设E(a,b,c)，∵D(22,−∴点B、D、E在平面xoy上投影为B'2,1、D'((相当于把直线BD投影到平面xoy上，空间问题化为平面问题，降维处理)求得直线B'D'的方程为y=322点B、D、E在平面yoz上投影为B''1,0求得直线B''D''的方程为z=−23y+所以E的坐标可设为(a,3以下求解类似方法1！【点拨】①本题在处理“点E在线段BD上”这一条件时，想设点Ea,b,c找到a,b,c的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量λ表示a,b,c，而函数法变量是a，用其表示b,c②有时也可用几何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的关系，如下图，过点D''、E分别作D''H⊥x轴，由∆D''H