高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题18函数的应用(原卷版+解析)

微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1、一次函数模型：（，为常数，）2、二次函数模型：（为常数，）3、指数函数模型：（为常数，，且）4、对数函数模型：（为常数，，且）5、幂函数模型：（为常数，）6、分段函数模型：知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．【题型归纳目录】题型一：几类不同增长的函数模型题型二：二次函数模型题型三：分段函数模型题型四：分式型函数模型题型五：对数函数模型题型六：幂函数模型题型七：利用给定函数模型解决实际问题【典型例题】题型一：几类不同增长的函数模型例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间50120150种植成本26005002600由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（

）A． B．C． D．例2．(2023·全国·高一课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：12468…241664256…14163664…0122.5853…则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例3．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（）A． B． C． D．变式1．(2023·全国·高一课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（

）A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快变式2．(2023·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：－2－101230.240.5112.023.988.02则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（

）A． B． C． D．题型二：二次函数模型例4．(2023·上海市莘庄中学高一阶段练习）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．(1)求的值；(2)要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？例5．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为，其中是仪器的产量（单位：台）(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数（利润＝总收益－总成本）；(2)当产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？例6．(2023·江苏·常熟中学高一阶段练习）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设长为米，面积为平方米．(1)求与的函数关系式及的取值范围；(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？变式3．(2023·广东汕头·高一期末）为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．(1)求函数；(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？题型三：分段函数模型例7．(2023·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？例8．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．(1)将利润y表示为月产量x的函数；(2)当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？例9．(2023·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.变式4．(2023·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.(1)求x的值；(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.题型四：分式型函数模型例10．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）甲乙两地相距，汽车从甲地以的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元，可变成本与速度的平方成正比，比例系数为.已知当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本元.(1)求全程运输成本关于速度的函数关系式；(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？例11．(2023·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．例12．(2023·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为().(1)写出与之间的关系式，并写出的取值范围∶(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长的取值范围.变式5．(2023·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.A企业在收到政府x（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时A企业生产t（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求企业国庆节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？题型五：对数函数模型例13．(2023·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：）例14．(2023·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的.(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型（为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；(2)设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：.变式6．(2023·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．参考数据：，．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？变式7．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本35917…年利润1234…给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.题型六：幂函数模型例16．(2023·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）例17．(2023·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？例18．(2023·全国·高一专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？变式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.题型七：利用给定函数模型解决实际问题例19．(2023·浙江省衢州第三中学高一阶段练习）今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.(1)求的表达式；(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.例20．(2023·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?变式9．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．(1)写出k关于x的函数关系式；(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）变式10．(2023·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.【过关测试】一、单选题1．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．2．(2023·云南·高一阶段练习）某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为100元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（

）A．2250元 B．2300元 C．2350元 D．2400元3．(2023·甘肃·天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（

）A．元 B．元 C．元 D．元4．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（

）A．40 B．100 C．40000 D．100005．(2023·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（

）A．40 B．41 C．42 D．436．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，的增长速度一直快于D．当时，7．(2023·全国·高一单元测试）春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（

）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天8．(2023·贵州·遵义四中高一期末）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（

）分档户年用水量综合用水单价/（元）第一阶梯（含）第二阶梯（含）第三阶梯以上A． B． C． D．二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（

）A．B．第5个月时，浮萍面积就会超过C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月D．浮萍每月增加的面积都相等10．(2023·全国·高一课时练习）某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（

）A．当对折4次时，的最小值为64B．当对折4次时，的最小值为32C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次11．(2023·全国·高一课时练习）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（

）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元三、填空题12．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________13．(2023·全国·高一单元测试）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．14．(2023·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）四、解答题15．(2023·四川·成都市新都香城中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本（万元）与月产量（吨）之间的关系式为：，已知此生产线月产量最大为20吨．(1)求月产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；(2)经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为32万元，且最大利润不超过200万元，由该生产线月产量的最大值应为多少？16．(2023·浙江宁波·高一期中）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入成本500万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等成本共为万元，每年的销售收入为260万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利？（利润=销售收入-总成本）(2)问使用到第几年末，年平均利润最大，最大值为多少？17．(2023·北京·牛栏山一中高一期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当时，求该地上班族的人均通勤时间；(2)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(3)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.18．(2023·江苏·常州高级中学高一阶段练习）近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和.(1)求k的值，并建立F关于x的函数关系式；(2)当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？19．(2023·河南南阳·高一期中）为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.(1)若，，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.(2)若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.微专题18函数的应用【方法技巧与总结】知识点一、几种常见的函数模型1、一次函数模型：（，为常数，）2、二次函数模型：（为常数，）3、指数函数模型：（为常数，，且）4、对数函数模型：（为常数，，且）5、幂函数模型：（为常数，）6、分段函数模型：知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．【题型归纳目录】题型一：几类不同增长的函数模型题型二：二次函数模型题型三：分段函数模型题型四：分式型函数模型题型五：对数函数模型题型六：幂函数模型题型七：利用给定函数模型解决实际问题【典型例题】题型一：几类不同增长的函数模型例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间50120150种植成本26005002600由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B，故选：B．例2．(2023·全国·高一课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：12468…241664256…14163664…0122.5853…则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（）A．，， B．，，C．，， D．，，答案：B【解析】从题表可以看出，三个变量，，都随x的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量的增长呈指数函数型变化，变量的增长呈幂函数型变化，变量的增长呈对数函数型变化．此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.例3．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意，当很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，又，所以当很大时，随的增大而增大速度最快的是.故选：A变式1．(2023·全国·高一课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（

）A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快答案：C【解析】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢，故选:C．变式2．(2023·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：－2－101230.240.5112.023.988.02则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根据题表中的数据描点如图所示．∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；∵C是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立；∵时，无意义，∴D不成立；对于B，当时，，当时，，经验证它与各数据比较接近.故选：B.题型二：二次函数模型例4．(2023·上海市莘庄中学高一阶段练习）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．(1)求的值；(2)要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？【解析】（1）观察图象知，，而，即，解得，因，于是得，所以的值为6.（2）由（1）知，，当时，，整理得：，解得，显然，因此，即，所以行驶的最大速度是.例5．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为，其中是仪器的产量（单位：台）(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数（利润＝总收益－总成本）；(2)当产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）依题意，总成本为，当时，，当时，，综上所述，其中；（2）当时，，当时，；当时，是单调递减函数，，当时，.答：当产量为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.例6．(2023·江苏·常熟中学高一阶段练习）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设长为米，面积为平方米．(1)求与的函数关系式及的取值范围；(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？【解析】（1），因为长为米，所以米，因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门,所以米，由长为27米，墙足够长，可知，解得：，所以长方形的面积为，所以，；（2）令平方米，即，解得：或8，因为，所以，所以当长为16米时，游乐场的面积为320平方米.变式3．(2023·广东汕头·高一期末）为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．(1)求函数；(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】（1）当时，，令，解得，，，，，当时，，令，其整数解为：，，所以，，所以（2）对于，显然当时，元，对于，因为，所以当或时，元，，当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.题型三：分段函数模型例7．(2023·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）由题意知，当时，，所以，当时，；当时，，所以；（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，所以当时，有最大值，最大值为1500；当时，由基本不等式，得，当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.例8．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．(1)将利润y表示为月产量x的函数；(2)当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为，从而，（2）设平均每件产品的月利润为，则，当时，设任意的，则，显然当时，，当时，，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值为200元；当时，，∵，所以当时，平均每件产品所获利润最大为200元．例9．(2023·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】（1）10000台=10千台,则，根据题意得：，解得，当时，，当时，，综上所述.（2）当时，当时，取得最大值；当时，，当且仅当时，因为，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.变式4．(2023·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.(1)求x的值；(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.【解析】（1）由题意得，解得.（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且.由题意得，得，得，所以，，.当乙、丙购买的文具总数最少时，，，，.未选择优惠活动之前，文具总价格为元.方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动①，可以优惠元.方案2，乙，丙一起购买，选择优惠活动②，可以优惠元.方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动②的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动②，另一个人购买11支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动①.因为，所以可以优惠元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为元.故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.题型四：分式型函数模型例10．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）甲乙两地相距，汽车从甲地以的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元，可变成本与速度的平方成正比，比例系数为.已知当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本元.(1)求全程运输成本关于速度的函数关系式；(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【解析】（1）由题意可设每小时运输的可变成本为，因为当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，所以有，即，因此；（2）因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，即当时，有当且仅当时取等号，即当时取等号，当时，即时，应以速度为速度行驶，所以为使全程运输成本最小，当时，汽车应以的速度行驶，当时，应以速度为速度行驶.例11．(2023·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】（1）．（2）因为，．所以，所以行车费最低为（）元．当，即，时取得．答：行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．例12．(2023·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为().(1)写出与之间的关系式，并写出的取值范围∶(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长的取值范围.【解析】（1）根据题意，温室的室内长为，则宽为，所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：，由，可得；（2）由，可得，解得，即室内长的取值范围为(单位m).变式5．(2023·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.A企业在收到政府x（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时A企业生产t（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求企业国庆节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？【解析】（1）由题意，销售金额：（万元），政府专项补贴：（万元），成本：（万元）.所以收益，.（2）由（1）可知，.其中，当且仅当，即时取等号，所以，所以当时，企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为万元，即当政府的专项补贴为万元时，企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.题型五：对数函数模型例13．(2023·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：）【解析】（1）由题意，，，，∴，∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．（2）∵，，∴．∵，∴，即．∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．例14．(2023·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，②，③供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当时，匀速增长；对于模型二，当时，先慢后快增长；对于模型三，当时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：验证模型是否合适当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的.(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型（为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；(2)设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：.【解析】(1)对于函数模型（为常数），当时，，代入模型解得，所以，奖励原则为：①在区间上递增；②恒成立，当时，模型是增函数，符合奖励原则①；当时，；，所以，模型不符合奖励原则②，故该函数模型不符合奖励原则.(2)对于函数模型，可得，因为，故函数在递增，则在递增，符合奖励原则①；由奖励原则②得，即，解得；又由奖励原则②得，即在恒成立，即，，设，则抛物线开口向下，对称轴为，所以当时，，由得，综上，.所以的取值范围是.变式6．(2023·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．参考数据：，．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【解析】(1)当总质比为230时，，即A型火箭的最大速度为.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，由题意得：因为，所以，即，所以不小于T的最小整数为45．变式7．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本35917…年利润1234…给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【解析】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；将，代入（，且），得，解得，∴.当时，，不符合题意；将，代入（，且），得，解得，∴.当时，；当时，.故可用③来描述x，y之间的关系.（2）由题知，解得.∵年利润，∴该企业要考虑转型.题型六：幂函数模型例16．(2023·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选；则有，解得，∴；（2）设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，则，即，∴，∴，故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．例17．(2023·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？【解析】(1)①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，与表格中的和相差较大，所以不适合作为与的函数模型.②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，刚好与表格中的和相符合，所以更适合作为与的函数模型.(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，令，则经计算，当时，取最大值（万元），即，时（每亩约38棵），利润最大.例18．(2023·全国·高一专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【解析】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设，，由图可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，，，令，则，，所以当时，，此时，所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．变式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.【解析】(1)函数模型，满足奖金随收益增加而增加，因为，所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求；函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求；函数模型，满足奖金随收益增加而增加，当时，，满足奖金不超过90万元，又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.(2)函数模型，因为奖金随收益增加而增加，所以，当时，，解得，当时，，解得，当时，恒成立，即，又，当且仅当时等号成立，所以，综上所述，实数的取值范围是.题型七：利用给定函数模型解决实际问题例19．(2023·浙江省衢州第三中学高一阶段练习）今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.(1)求的表达式；(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.【解析】（1）由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元，所以，得，所以；（2）由(1)知，，当且仅当即时，等号成立，即当时，函数取到最小值75万元，所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元.例20．(2023·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【解析】（1）设每件定价为t元，依题意，有，整理得，解得因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.（2）依题意，时，不等式能成立，等价于时，有解.∵时，（当且仅当时，等号成立），∴.因此当该商品明年的销售量a至少应达到12.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元.例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?【解析】（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；所以收益，（2）由（1）可知，其中，

当且仅当，即时取等号，

所以，所以当时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；即当政府的专项补贴为万元时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元变式9．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．(1)写出k关于x的函数关系式；(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）【解析】（1）由题意得，所以，，（2）设总损失为元，则当且仅当，即时，等号成立．所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小．变式10．(2023·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.【解析】（1）当时，，，所以该厂当日的获利是(元)；（2）设该厂日获利为，则由题意得，由，得，所以，即，解得，所以当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.【过关测试】一、单选题1．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，所以，即，因为，所以，解得，则地疫苗的接种率至少为．故选：A．2．(2023·云南·高一阶段练习）某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为100元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（

）A．2250元 B．2300元 C．2350元 D．2400元答案：A【解析】设每间客房日租金提高个10元，每天客房的租金总收入为元，则当且仅当时，取得最大值故选：3．(2023·甘肃·天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（

）A．元 B．元 C．元 D．元答案：B【解析】设每天的销售量为件，每件工艺品的标价为元，则关于的函数为一次函数，设，由题意可得，解得，则，故每天获得的利润为，故当元时，每天获得的利润最大，因此，要使每天获得的利润最大，则每件需降价元.故选：B.4．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（

）A．40 B．100 C．40000 D．10000答案：D【解析】由题意可知,当声音强度的等级为90dB时,有,得；此时对应的强度.当声音强度的等级为50dB时,有,得,此时对应的强度.∴90dB的声音与50dB的声音强度之比为.故选：D.5．(2023·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（

）A．40 B．41 C．42 D．43答案：C【解析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则.令，即，所以，即，所以至少对折的次数n是42.故选：C.6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，的增长速度一直快于D．当时，答案：B【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图像，如图所示，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快，且快于，故A错误；B正确；对于C，当时，的增长速度不是一直快于，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选：B.7．(2023·全国·高一单元测试）春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（

）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天答案：A【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，即，两边取以10为底的对数得，所以解得．故选：A．8．(2023·贵州·遵义四中高一期末）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（

）分档户年用水量综合用水单价/（元）第一阶梯（含）第二阶梯（含）第三阶梯以上A． B． C． D．答案：B【解析】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，则，即，当时，，当时，，当时，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故选：B二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（

）A．B．第5个月时，浮萍面积就会超过C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月D．浮萍每月增加的面积都相等答案：AB【解析】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，所以，解得，当时，，满足，当时，，满足，故，选项A正确；当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为，而，所以，故选项C错误；由题意可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，所以增加的面积不相等，故选项D错误.故选：AB.10．(2023·全国·高一课时练习）某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（

）A．当对折4次时，的最小值为64B．当对折4次时，的最小值为32C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次答案：AC【解析】令，则，则，即，即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误；当，x=0.05cm时，，所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误,故选:AC.11．(2023·全国·高一课时练习）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（

）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元答案：ABC【解析】对于A，当3