高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向39随机事件的概率与古典概型(十二大经典题型)(原卷版+解析)

考向39随机事件的概率与古典概型经典题型一：随机事件的关系与运算经典题型二：频率与概率经典题型三：互斥事件与对立事件经典题型四：利用互斥事件与对立事件计算概率经典题型五：简单的古典概型问题经典题型六：古典概型与向量的交汇问题经典题型七：古典概型与几何的交汇问题经典题型八：古典概型与函数的交汇问题经典题型九：古典概型与数列的交汇问题经典题型十：古典概率与统计的综合经典题型十一：有放回与无放回问题的概率经典题型十二：概率的基本性质(2023·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.(2023·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．答案：【解析】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：知识点1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．知识点3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：知识点5、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点6、概率与频率（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．知识点7、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.知识点8、古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.知识点9、概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：(1)本试验是否具有等可能性；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件是什么．2、解题实现步骤：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；(4)利用公式求出事件的概率．3、解题方法技巧：(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．经典题型一：随机事件的关系与运算1．(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习（文））一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并给出以下结论：①；②是必然事件；③；④.其中正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③3．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（

）A．A⊆D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D经典题型二：频率与概率4．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（

）A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%5．(2023·全国·高三专题练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，6．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.337．(2023·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高三专题练习）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（

）A．7% B．8% C．9% D．30%经典题型三：互斥事件与对立事件9．(2023·全国·高三专题练习）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则（

）A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件10．(2023·全国·高三专题练习）设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（

）A．B与C互斥 B．B与C互为对立C．A与D互为对立 D．A与D互斥11．(2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（

）A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”经典题型四：利用互斥事件与对立事件计算概率12．(2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）甲､乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为___________.13．(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________.14．(2023·全国·高三专题练习）产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________.15．(2023·湖南长沙·高三阶段练习）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则___________.16．(2023·全国·高三专题练习）已知某电脑卖家只卖甲､乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占，甲品牌的电脑中，优质率为；乙品牌的电脑中，优质率为，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为___________.17．(2023·江苏淮安·一模）集合，，从，中各任意取一个数，则这两个数之和等于4的概率是__________．经典题型五：简单的古典概型问题18．(2023·云南师大附中高三阶段练习）甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10，4张3，乙手里有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（

）A． B． C． D．19．(2023·广西南宁·高三阶段练习（文））设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1，2的两个小球，乙袋中装有标号分别为1，2，3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则这两小球标号之和为4的概率为（

）A． B． C． D．20．(2023·浙江·高三阶段练习）某小组九名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，这九人成绩的第70百分位数是.若在该小组随机选取两名学生，则得分一个比高，另一个比低的概率为（

）A． B． C． D．21．(2023·广西·模拟预测（理））4个人排成一排，则甲不站两边的概率为（

）A． B． C． D．经典题型六：古典概型与向量的交汇问题22．(2023·山东淄博·三模）正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（

）A． B． C． D．23．(2023·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（

）A． B． C． D．24．(2023·全国·高三专题练习（理））在平面直角坐标系中，已知点，在圆上任取一点，则的概率为（

）A． B． C． D．25．(2023·全国·高三专题练习（理））已知为内的一点，满足，且的面积与的面积之比为，若在内任取一点，则该点取自的概率为（

）A． B． C． D．26．(2023·江西·九江市柴桑区第一中学高三阶段练习（理））如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是（

）A． B． C． D．27．(2023·湖南·高三阶段练习（理））如图，在平面直角坐标系中，为正十边形的中心，在轴正半轴上，任取不同的两点、（其中，，且，），点满足，则点落在第二象限的概率是（

）A． B．C． D．经典题型七：古典概型与几何的交汇问题28．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊已经发现正多面体有且仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体、如图，有一个棱长为2的正八面体（每一个面都是正三角形），其六个顶点都在球的球面上，在球内任选一个点，则该点落在正八面体内部的概率是（

）A． B． C． D．29．(2023·宁夏·吴忠中学三模（文））有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点的距离都大于1的概率为（

）A． B． C． D．30．(2023·山西·模拟预测（文））如图，棱长为2的正方体．E，F分别为棱的中点，过E，F，三点作正方体的截面，点P是该截面内任意一点，则点P在内的概率为（

）A． B． C． D．31．(2023·陕西咸阳·二模（理））魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为3：2.若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为（

）A． B． C． D．32．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为（

）A． B． C． D．33．(2023·全国·高三专题练习）在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是.则，，的值分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，34．(2023·全国·高三专题练习（理））从正方体的条棱中任选条棱，则这条棱两两异面的概率为（

）A． B． C． D．经典题型八：古典概型与函数的交汇问题35．(2023·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（

）（参考数据：，）A．存款金额的首位数字是1的概率约为B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%36．(2023·全国·高三专题练习（文））设a是从1、2、3、4中随机取出的一个数，b是从1、2、3中随机取出的一个数，构成一个基本事件．记“这些基本事件中，满足”的事件为E，则E发生的概率为（

）.A．； B．； C．； D．．37．(2023·广东·金山中学高三阶段练习）设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．38．(2023·安徽合肥·一模（文））从幂函数，，，，中任意选取个函数，其中一个函数是奇函数､另一个函数是增函数的概率等于（

）A． B． C． D．经典题型九：古典概型与数列的交汇问题39．(2023·全国·高三专题练习）某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为，则＝（

）A． B． C． D．40．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的首项为1，公比为-2，在该数列的前六项中随机抽取两项，，则的概率为（

）A． B． C． D．41．(2023·江西·高三阶段练习（文））现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（

）A． B．C． D．42．(2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（

）A． B．C． D．43．(2023·全国·高三专题练习）我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（

）A． B． C． D．44．(2023·甘肃张掖·高三阶段练习（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（

）A． B． C． D．经典题型十：古典概率与统计的综合45．(2023·四川省开江中学高三开学考试（理））在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（

）A．这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2B．这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁C．这种疾病患者的年龄的众数为45岁D．这种疾病患者的平均年龄为48岁46．(2023·安徽·高三开学考试）下图是国家统计局年月发布的规模以上工业日均原油产量（单位：万吨）的月度走势情况，现有如下说法：①年月至年月，规模以上工业原油的日均产量的极差为；②从年月至年月中随机抽取个月份，月增速超过的概率为；③年月份，规模以上工业原油总产量约为万吨；则说法错误的个数为（

）A． B． C． D．47．(2023·河南·高三开学考试（理））现有一组数据1，2，3，4，5，6，7，8，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于5的概率为（

）．A． B． C． D．48．(2023·全国·高三专题练习）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（

）A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间经典题型十一：有放回与无放回问题的概率49．(2023·贵州·高三阶段练习（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（

）A． B． C． D．50．(2023·江苏南京·高三阶段练习）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（

）A． B． C． D．51．(2023·全国·高三专题练习）一个袋子中放大小相同的9个小球，其中5个红色球，4个白色球，若从中摸出1个球后放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，从中摸出1个球后不放回再摸出1个球，记摸出的2个球都是红色球的概率为，则（

）A． B． C． D．52．(2023·全国·高三专题练习（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次.则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（

）A． B． C． D．53．(2023·辽宁沈阳·三模）盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止．则取出3个球停止的概率为（

）A． B． C． D．经典题型十二：概率的基本性质54．(2023·浙江·高三专题练习）甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩甲0.20.4乙0.30.3则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（

）A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.3255．(2023·江苏·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是A． B． C． D．56．(2023·全国·高三专题练习）已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（

）A． B． C． D．57．(2023·全国·高三专题练习）设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（

）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤158．(2023·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是（

）A． B． C． D．59．(2023·海南·嘉积中学高三阶段练习）下列叙述错误的是（

）．A．若事件发生的概率为，则B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同60．(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．1．(2023·全国·高考真题（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.83．（2023·全国·高考真题（理））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2023·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题（文））设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（

）A． B．C． D．6．(2023·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．7．（2023·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.8．（2023·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．经典题型一：随机事件的关系与运算1．答案：D【解析】对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或”一定发生，所以，故选项B不正确；对于C：事件和事件不能同时发生，，故选项C不正确；对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生，则事件“向上的点数为或”发生，故选项D正确；故选：D2．答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选：A3．答案：ABC【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝D.故A、C正确；因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.故选：ABC.经典题型二：频率与概率4．答案：ABC【解析】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.5．答案：A【解析】由表可知，第3组的频率为，累积频率为。故选：A6．答案：D【解析】由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，取到优秀成绩的概率为，故选：D7．答案：C【解析】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.故选：C.8．答案：C【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．故选：C经典题型三：互斥事件与对立事件9．答案：D【解析】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；事件D为“两个黑厘子都研究”.即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件.故选：D.10．答案：A【解析】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，故选：A11．答案：C【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“全都是偶数”即个奇数和个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确；故选：C经典题型四：利用互斥事件与对立事件计算概率12．答案：【解析】记事件为“乙命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，则，，．故答案为：．13．答案：【解析】设第一人抛出虎的图案的事件为A事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，则，，所以，即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为.故答案为：14．答案：【解析】设：第次通过，：第次通过.由题意知，即，解得或（舍去）.故答案为：.15．答案：0.4【解析】∵A与B互斥，∴,∵A与B相互独立，∴，∴.故答案为：.16．答案：【解析】随机购买一台电脑，买到甲品牌优质电脑的概率为，随机购买一台电脑，买到乙品牌优质电脑的概率为，则买到优质电脑的概率为故答案为：17．答案：【解析】集合，从中各任意取一个数有种，其两数之和为4的情况有两种：，∴这两数之和等于4的概率．故答案为．经典题型五：简单的古典概型问题18．答案：D【解析】一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两张牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5，综上.故选：D．19．答案：B【解析】从甲袋和乙袋中各任取一个小球，标号共有6种情况，分别为，其中这两个小球标号之和为4的有，2种情况，则概率为.故选：B20．答案：A【解析】因为，第70百分位数是从小到大的第七位数，所以第70百分位数是90，所以在该小组随机选取两名学生，则得分一个比90高，另一个比90低的概率为.故选:A.21．答案：C【解析】依题意4个人排成一排基本事件总数为种，其中满足甲不站两边的有种，所以所求概率.故选：C经典题型六：古典概型与向量的交汇问题22．答案：B【解析】，可得，因为，所以，，对于任意给定的向量，满足条件的向量的取法有，因此，的概率为.故选：B.23．答案：D【解析】因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；②当时，由，即，所以或，满足题意；故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；故选：D24．答案：B【解析】由数量积的定义可得，，又，所以，即当动点在上运动时，才满足，所以的概率为．故选：B．25．答案：B【解析】，变为．如图，，分别是对应边的中点，由平行四边形法则，知，，故，在上，为的中位线，故底边上的高是底边上高的一半，则，∵，，则，故在内任取一点，则该点取自的概率为．故选：B．26．答案：A【解析】因为，所以，，因为，，，的面积成等差数列.设面积依次为，则，则，所以，，，的面积依次为，所求概率为．故选：A．27．答案：B【解析】由题可知：任取不同的两点的方法有；其中满足题意的有如下种：.故满足题意的概率.故选：B.经典题型七：古典概型与几何的交汇问题28．答案：B【解析】设球O的半径是，根据对称性知，球O的球心为中间截面的中心，如图，即正方形ABCD的中心，于是，则，故，所以正八面体的体积是，球O的体积是，则.故选：B．29．答案：A【解析】由题设，到的距离都大于1的部分为圆柱体去掉以底面为最大轴截面的两个半球体，所以的距离都大于1的部分的体积为，故P到点的距离都大于1的概率.故选：A30．答案：D【解析】连接，则过E、F、的正方体的截面为等腰梯形，所以所求概率，故选：D．31．答案：B【解析】设正方体棱长为1，则正方体体对角线，外接球半径，所以牟合方盖的体积，外接球的体积，所以，所求概率.故选：B32．答案：D【解析】因为棱长为4的正方体的体积为，以正方体的中心为球心，1为半径的球的体积为，所以在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为，故选：D33．答案：A【解析】如图所示，连接长方体的四个顶点A，B，C，D，可得鳖臑ABCD.（1）从鳖臑ABCD的六条棱中任取两条，有种取法，其中互相垂直的取法有5种：，，，，，所以.（2）从鳖臑ABCD的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），有种取法，它们互相垂直的取法有2种：平面BCD，平面ABC，所以.（3）从鳖臑ABCD的四个面中任取两个面，有种取法，它们互相垂直的取法有3种：平面平面BCD，平面平面ACD，平面平面ABD，所以.故选：A.34．答案：A【解析】从正方体的条棱中任选条棱，共有种，其中，每条棱都有4条棱与其异面，例如，与异面，有和两组构成两两异面，对于构成的平面，每条棱都可以构成2组两两异面，因此共有种组合公式构成两两异面，故这条棱两两异面的概率为.故选：A.经典题型八：古典概型与函数的交汇问题35．答案：D【解析】因此存款金额用十进制计算，故，对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.对于B，存款金额的首位数字是5的概率为，故不约为9.7%，故B错误.对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，存款金额的首位数字是7的概率为，因为，故，故C错误.对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，存款金额的首位数字是9的概率为，故存款金额的首位数字是8或9的概率为，故D正确.故选：D.36．答案：B【解析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有种结果,满足条件的事件是满足，可以列举出所有的事件,当时,，当时,，共有个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是,故选：B37．答案：A【解析】当时，当且仅当时，取“＝”，∴，于是恒成立就转化为成立；当时，，设事件A：“恒成立”，则基本事件总数为15个，即（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个所以.故选：A.38．答案：C【解析】幂函数中是奇函数的有，，，增函数的有，，，基本事件总数为，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的事件有：共种，故满足条件的概率为，故选C.经典题型九：古典概型与数列的交汇问题39．答案：C【解析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有的概率将球传给甲，所以，即，设，则，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即，所以，故选：C.40．答案：C【解析】由题意知：，，，，，，由，则m，n奇偶相同，若m，n都为偶数时，符合题意，情况数为种；若m，n都为奇数时，仅有不符题意，情况数为种，综上，符合题意的情况数为种，而总情况数为种，∴概率．故选：C.41．答案：A【解析】由题意得，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率，故选：A.42．答案：B【解析】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而，∴前2021项中有个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为.故选：B43．答案：C【解析】由题意，令冬至影长为，公差为，则，故.∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次为，∴随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率.故选：C44．答案：A【解析】因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，所以前项中偶数有项，所以这个数是偶数的概率为.故选：A.经典题型十：古典概率与统计的综合45．答案：C【解析】小于等于30的概率为​，故A不对；小于等于45的概率为，所以中位数大于45，故B错误；​​（岁），故D错误；而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，故选：C.46．答案：B【解析】对于①，年月至年月，规模以上工业原油的日均产量的极差为，①正确；对于②，年月至年月中，月增速超过超过的月份有月、月和月，随机抽取个月，月增速超过超过的概率为，②错误；对于③，年月份，规模以上工业原油总产量约为万吨，③正确.故选：B.47．答案：A【解析】这组数据各数之和为36，设删去的两数之和为x．若剩下数据的平均数大于5，则，解得，则删去的两个数可以为{1，2}、{1，3}、{1，4}、{2，3}，故所求概率为．故选：A48．答案：D【解析】对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确；对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确；对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确；对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.故选:D．经典题型十一：有放回与无放回问题的概率49．答案：B【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果，其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果，故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为.故选：B.50．答案：A【解析】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；故选：．51．答案：B【解析】9个小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；9个小球不放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法数为（种），其中摸出的2个球都是红色球的方法数为（种），故；所以，即.故选：B．52．答案：C【解析】第一次从袋子里随机取出一只蓝球，不放回，还剩下9个小球，其中蓝球3个，红球6个，所以第二次取到红色小球的概率，故选：C53．答案：B【解析】由于是不放回地抽取，第3次结束，故前两次抽到白球，第3次抽到红球.第1次抽到白球的概率，第2次抽到白球的概率，第3次抽到红球的概率.所以直到取到红球为止，取出3个球停止的概率为.故选：B.经典题型十二：概率的基本性质54．答案：D【解析】由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为.故选：D.55．答案：D【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故选：D．56．答案：A【解析】设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，由题意可得，网上购买的合格率为，则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，所以，解得.故选：A．57．答案：C【解析】若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．58．答案：D【解析】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜.由概率性质可知，三种情况的概率和为1，所以乙获胜的概率为，故选：D.59．答案：C【解析】根据概率的定义可得若事件发生的概率为，则，故A正确；根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，且两个对立事件的概率之和为1，故B正确；某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化，故C错误；5张奖券中有一张有奖，先抽，后抽中奖的可能性相同，与次序无关，故D正确，故选：C．60．答案：【解析】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，所以，；故答案为：.1．答案：C【解析】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；2．答案：C【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.3．答案：C【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.4．答案：B【解析】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B5．答案：A【解析】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.6．答案：.【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．7．答案：【解析】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.8．答案：

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.考向39随机事件的概率与古典概型经典题型一：随机事件的关系与运算经典题型二：频率与概率经典题型三：互斥事件与对立事件经典题型四：利用互斥事件与对立事件计算概率经典题型五：简单的古典概型问题经典题型六：古典概型与向量的交汇问题经典题型七：古典概型与几何的交汇问题经典题型八：古典概型与函数的交汇问题经典题型九：古典概型与数列的交汇问题经典题型十：古典概率与统计的综合经典题型十一：有放回与无放回问题的概率经典题型十二：概率的基本性质(2023·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.(2023·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．答案：【解析】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：知识点1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．知识点3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：知识点5、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点6、概率与频率（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．知识点7、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.知识点8、古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.知识点9、概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：(1)本试验是否具有等可能性；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件是什么．2、解题实现步骤：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；(4)利用公式求出事件的概率．3、解题方法技巧：(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．经典题型一：随机事件的关系与运算1．(2023·浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件“向上的点数为”，“向上的点数为”，“向上的点数为或”，则有（

）A． B． C． D．答案：D【解析】对于A：事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件“向上的点数为或”发生，事件“向上的点数为”不一定发生，但事件“向上的点数为”发生，事件“向上的点数为或”一定发生，所以，故选项B不正确；对于C：事件和事件不能同时发生，，故选项C不正确；对于D：事件“向上的点数为”或事件“向上的点数为”发生，则事件“向上的点数为或”发生，故选项D正确；故选：D2．(2023·全国·高三专题练习（文））一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并给出以下结论：①；②是必然事件；③；④.其中正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③答案：A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选：A3．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（

）A．A⊆D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案：ABC【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝D.故A、C正确；因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.故选：ABC.经典题型二：频率与概率4．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（

）A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B．该医院青年患者所占的频率为C．该医院的平均治愈率为28.7%D．该医院的平均治愈率为31.3%答案：ABC【解析】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.5．(2023·全国·高三专题练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，答案：A【解析】由表可知，第3组的频率为，累积频率为。故选：A6．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33答案：D【解析】由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，取到优秀成绩的概率为，故选：D7．(2023·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.故选：C.8．(2023·全国·高三专题练习）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（

）A．7% B．8% C．9% D．30%答案：C【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．故选：C经典题型三：互斥事件与对立事件9．(2023·全国·高三专题练习）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件D为“两个黑厘子都研究”.则（

）A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件答案：D【解析】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；事件D为“两个黑厘子都研究”.即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件.故选：D.10．(2023·全国·高三专题练习）设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（

）A．B与C互斥 B．B与C互为对立C．A与D互为对立 D．A与D互斥答案：A【解析】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，故选：A11．(2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（

）A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”答案：C【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，“全都是偶数”即个奇数和个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确；故选：C经典题型四：利用互斥事件与对立事件计算概率12．(2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）甲､乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为___________.答案：【解析】记事件为“乙命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，则，，．故答案为：．13．(2023·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________.答案：【解析】设第一人抛出虎的图案的事件为A事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，则，，所以，即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为.故答案为：14．(2023·全国·高三专题练习）产品质量检验过程主要包括进货检验（），生产过程检验（），出货检验（）三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则___________.答案：【解析】设：第次通过，：第次通过.由题意知，即，解得或（舍去）.故答案为：.15．(2023·湖南长沙·高三阶段练习）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则___________.答案：0.4【解析】∵A与B互斥，∴,∵A与B相互独立，∴，∴.故答案为：.16．(2023·全国·高三专题练习）已知某电脑卖家只卖甲､乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占，甲品牌的电脑中，优质率为；乙品牌的电脑中，优质率为，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为___________.答案：【解析】随机购买一台电脑，买到甲品牌优质电脑的概率为，随机购买一台电脑，买到乙品牌优质电脑的概率为，则买到优质电脑的概率为故答案为：17．(2023·江苏淮安·一模）集合，，从，中各任意取一个数，则这两个数之和等于4的概率是__________．答案：【解析】集合，从中各任意取一个数有种，其两数之和为4的情况有两种：，∴这两数之和等于4的概率．故答案为．经典题型五：简单的古典概型问题18．(2023·云南师大附中高三阶段练习）甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10，4张3，乙手里有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．若甲被抽取的两张牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5，综上.故选：D．19．(2023·广西南宁·高三阶段练习（文））设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1，2的两个小球，乙袋中装有标号分别为1，2，3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则这两小球标号之和为4的概率为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】从甲袋和乙袋中各任取一个小球，标号共有6种情况，分别为，其中这两个小球标号之和为4的有，2种情况，则概率为.故选：B20．(2023·浙江·高三阶段练习）某小组九名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，这九人成绩的第