新高考高中数学核心知识点全透视专题14.6数列综合问题(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题14.6数列综合问题（专题训练卷）一、单选题1．（2023·河南洛阳·高三期中（文））在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．2．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+⋯+an2＝（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．3．（2023·河南郑州·高二期中（理））设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（）A． B． C． D．4．（2023·河南郑州·高二期中（文））在等比数列中，，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项5．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当时，，若Tn是数列{bn}的前n项和，bn＝，则当为整数时，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．246．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．7．（2023·全国高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．8．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．二、多选题9．（2023·全国高二单元测试）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（）（参考数据：，计算结果取整数）A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元B．选择方式②，小张每月还款额为3800元C．选择方式②，小张总利息为333840元D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①10．（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．为“和谐数列”D．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-211．(2023·全国高三专题练习）已知数列满足，，对于任意，，，不等式恒成立，则的取值可以是（）A．1 B．2 C． D．412.（2023·全国高二学业考试）已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题13.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设等比数列{an}满足a1+a2＝1，a1a3＝3，则a4＝_______.14．（2023·浙江丽水�高一期末）已知数列的前项和，则______.______.15.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，_____.16.（2023·河南高二月考（理））已知数列满足.且，若中恰有项大于，则的取值范围是__________．四、解答题17.（全国高考真题）等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.18.（2023·四川巴中·高三月考（理））已知数列的前项和满足：，.（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（2023·河南郑州·高二期中（理））已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（2023·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．21.（2023·河南洛阳·高三期中（文））已知正项数列满足：，，.（1）证明：是等差数列并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22.（2023·全国高二课时练习）2019年某政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2020年起，之后的若干年内，每年投资2千万元用于此项目.2019年该项目的净收入为万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%．记2019年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（含第年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元），当时，认为该项目赢利．（1）求的表达式．（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．参考数据：，．专题14.6数列综合问题（专题训练卷）一、单选题1．（2023·河南洛阳·高三期中（文））在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．答案：A分析：由题设结合等比数列通项公式求得公比，进而求.【详解】由题设，，又，可得，∴.故选：A2．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+⋯+an2＝（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．答案：D分析：根据等比数列定义，求出，可证明是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解【详解】由等比数列的定义，故由于故是以1为首项，4为公比的等比数列a12+a22+⋯+an2＝故选：D3．（2023·河南郑州·高二期中（理））设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（）A． B． C． D．答案：A分析：设数列和的前项和分别为，然后利用分求出，再利用列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】设数列和的前项和分别为，则（），若，则，则，显然没有出现，所以，所以，由两边的对应项相等可得，解得，所以.故选：A4．（2023·河南郑州·高二期中（文））在等比数列中，，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项答案：A分析：首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得，根据二次函数和指数函数的性质以及前面的，分析可得选项.【详解】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，则其通项公式为：，所以，令，所以当或5时，t有最大值，无最小值结合前面的，当为偶数时，为正数；当为奇数时，为负数故时，取得最大值，当时，取得最小值所以有最大项，有最小项.故选：A5．（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当时，，若Tn是数列{bn}的前n项和，bn＝，则当为整数时，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．24答案：D分析：首先根据条件通过配凑系数求出数列的通项公式；然后再根据数列的通项公式求出数列的通项公式，从而可求出Tn，代入可求出，从而可判断选项.【详解】当时，由，得，又因为，所以从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列，所以时，，所以.当时，；当时，，所以，所以，要使为整数，需是15的因数，所以，此时.故选：D.6．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．答案：B分析：由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.【详解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，∴，∴，∴.∴.∵对任意，，∴的最小值为.故选：B.7．（2023·全国高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．答案：C分析：求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.8．（2023·全国高二单元测试）设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．答案：B分析：由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.【详解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，∴，∴，∴.∴.∵对任意，，∴的最小值为.故选：B.二、多选题9．（2023·全国高二单元测试）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（）（参考数据：，计算结果取整数）A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元B．选择方式②，小张每月还款额为3800元C．选择方式②，小张总利息为333840元D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①答案：ACD分析：等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，则，，等额本息还款方式中，设小张每月还款额为元，则，分别利用等差数列、等比数列模型研究，依次判断即可【详解】对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，，则，故小张该笔贷款的总利息为（元），故A正确.对于B，设小张每月还款额为元，则，所以，即，故B错误.对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为（元），故C正确.对于D，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.故选：ACD10．（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（）A．常数数列为“和谐数列”B．为“和谐数列”C．为“和谐数列”D．若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2答案：BD分析：根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答.【详解】对于A，数列中，令(c为常数)，，当c<0时，，此时的常数数列不为“和谐数列”，A不正确；对于B，数列中，令，则，，即成立，B正确；对于C，数列中，令，，，不是“和谐数列”，C不正确；对于D，令，则，数列是首项为，公差为的等差数列，其前n项和为，则，因是“和谐数列”，于是有，，即有，，从而得，又，即对恒成立，若，则有对恒成立，必有，即，，因此，，若，则对应的是开口向下的抛物线在x取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n足够大时，的值是负数，不成立，从而只有，且，的最小值为-2，D正确.故选：BD11．(2023·全国高三专题练习）已知数列满足，，对于任意，，，不等式恒成立，则的取值可以是（）A．1 B．2 C． D．4答案：BD分析：根据，可得，由此可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得的范围，再根据不等式恒成立即可求得答案.【详解】解：根据题意，，两边同时取倒数可得，，即得，由此可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，，，又因为在，上恒成立，所以，，.故选：BD.12.（2023·全国高二学业考试）已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：AB分析：先根据求得以及公比的取值范围，再由可得，计算，讨论的范围即可得与的大小关系，进而可得正确选项.【详解】由于是等比数列，，所以，，当时，，符合题意；当时，，即，等价于或，对于，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以，对于可得：.综上所述，的取值范围是；因为，所以，所以，因为，且，所以，当或时，，即，故A选项正确.当或时，，即，故B选项正确，D选项错误.当时，，即，故C选项错误；故选：AB.三、填空题13.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设等比数列{an}满足a1+a2＝1，a1a3＝3，则a4＝_______.答案：8【详解】设等比数列{an}的公比为q，结合题设条件求a1、q，进而由等比数列通项公式求a4.【解答】设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2＝1，a1a3＝3，∴a1(1+q)＝1，a1(1q2)＝3，显然q≠1，解得a1＝1，q＝2.∴a4＝(2)3＝8.故答案为：8.14．（2023·浙江丽水�高一期末）已知数列的前项和，则______.______.答案：【解析】，，当时，.故，满足又故答案为：；.15.（2023·北京东城·东直门中学高二月考）设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，_____.答案：310分析：利用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式求出公比q，再利用等比数列的求和公式即可求解.【详解】Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，可得4a2＝3a1+a3，即有4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝3，故，，则.故答案为：3；10.16.（2023·河南高二月考（理））已知数列满足.且，若中恰有项大于，则的取值范围是__________．答案：分析：由，化简得到，求得，根据题意，得到且，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，数列满足，可得，即，可得，即，所以数列是公比为2的等比数列，所以，可得，因为数列中恰有项大于，所以且，解得，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题17.（全国高考真题）等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.答案：（1）；（2）.分析：（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以数列的前n项和为18.（2023·四川巴中·高三月考（理））已知数列的前项和满足：，.（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）证明见解析，；（2）.分析：(1)根据给定条件结合消去，再对等式变形整理即可得证，然后求出的表达式并进行验证即可得解；(2)利用(1)的结论和分组求和方法并借助等差等比数列前n项和公式计算即得.【详解】（1）由及得：，整理得：，变形得：，由得：，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，于是得，则当时，而，即对也成立，所以；（2）由（1）知：，所以.19．（2023·河南郑州·高二期中（理））已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）；（2）.分析：（1）由题可知数列是首项为2，公比为的等比数列，结合条件可求公比，进而可求；（2）利用分组求和即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，又，∴数列是首项为2，公比为的等比数列，由，，成等比数列，可得，即，∴，∴；（2）由上可得，∴.20．（2023·福建福州三中高三月考）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）；（2）．分析：（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可.（2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求.【详解】（1）当时，，解得，当时，