人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题12指对幂比较大小(原卷版+解析)

专题12指对幂比较大小【考点预测】指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.【典型例题】例1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）当时，，，，的大小关系是（

）A． B．C． D．例2．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．例3．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．例4．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．例5．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知，则a，b，c，d的大小关系为（

）A． B．C． D．例6．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）已知，，，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．例7．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【过关测试】一、单选题1．(2023·北京二中高一阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）令，，，则三个数的大小顺序是（

）A． B． C． D．3．(2023·四川·遂宁中学高一期中）设则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．4．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知，，，则它们的大小关系是（

）A． B． C． D．6．(2023·浙江·宁波中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．8．(2023·天津·高一期中）设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一期中）设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（

）A． B．C． D．10．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．11．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（

）A． B． C． D．12．(2023·全国·高一单元测试）已知大于1的三个实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（

）A． B． C． D．三、填空题13．(2023·江西·景德镇一中高一期中）若，则的大小关系为______.14．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高一期中）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）15．(2023·甘肃·高台县第一中学高一期中）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．16．(2023·河北邢台·高一阶段练习）设均为正数，且，，.则的大小关系为______________．四、解答题17．(2023·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.(1)试求之间的关系.(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.(3)比较，，的大小.18．(2023·全国·高一课时练习）分别比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，；(3)与．19．(2023·全国·高一专题练习）设函数，，且，判断与的大小关系.20．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．(1)求函数的解析式；(2)若，成立，求实数m的取值范围；(3)时，判断并证明与的大小关系．21．(2023·全国·高一课时练习）设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.22．(2023·湖南·高一课时练习）比较，，的大小：(1)已知，，，；(2)已知，，．专题12指对幂比较大小【考点预测】指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.【典型例题】例1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）当时，，，，的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】依题意，所以，，所以，，，，所以.故选：C例2．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，即.，即.，即.所以.故选：D例3．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为函数为R上单调增函数，故，而，由于是定义在上的增函数，故，即.故选：A.例4．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，，，，，，.故选：A.例5．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知，则a，b，c，d的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】是上的单调增函数，故，故；又是上的单调减函数，故，即；又是上的单调增函数，故，即；综上所述：.故选：A.例6．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）已知，，，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，所以.故选:B.例7．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】且、、均为不等于的正实数，则与同号，与同号，从而、、同号.①若、、，则、、均为负数，，可得，，可得，此时；②若、、，则、、均为正数，，可得，，可得，此时.综上所述，.故选：D.【过关测试】一、单选题1．(2023·北京二中高一阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】，，，，故选：B.2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）令，，，则三个数的大小顺序是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，.故选：D.3．(2023·四川·遂宁中学高一期中）设则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为且函数在上单调递减，所以，即又函数在上单调递增，所以，即综上，.故选：A.4．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b答案：D【解析】，在上递增，所以，即.在上递减，所以，所以.故选：D5．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知，，，则它们的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，在上单调递减，，，，，故选：A.6．(2023·浙江·宁波中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因在上单调递增，则,得.因在上单调递减，则，得.则.故选：A7．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵，所以，又∵，即，因此，.故选：C.8．(2023·天津·高一期中）设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为单调递增，所以，因为单调递减，所以，，即，因为，所以，即，综上：.故选：A二、多选题9．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一期中）设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（

）A． B．C． D．答案：BC【解析】因为函数是偶函数，则恒成立，所以，又函数在上单调递增，所以在上单调递减，则，所以且，所以，.故选：BC10．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】因为为单调递增函数，所以，又因为，所以故选：BC11．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（

）A． B． C． D．答案：ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当时，有，故B有可能；当时，如图中x轴上方的虚线所表示，此时有，故A有可能；当时，如图中x轴下方的虚线所表示，此时有，故C有可能；除此三种情况，时，没有其它情况，故D不可能，故选：ABC12．(2023·全国·高一单元测试）已知大于1的三个实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（

）A． B． C． D．答案：ABC【解析】三个实数，，都大于1，，，，，即，，对于A选项：若，则，，能满足题意；对于B选项：若，则，，，，能满足题意；对于C选项：若，则，，，，能满足题意；对于D选项：若，则，，，，，不满足题意；故选：ABC.三、填空题13．(2023·江西·景德镇一中高一期中）若，则的大小关系为______.答案：【解析】由指对幂函数的性质知：，所以.故答案为：14．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高一期中）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）答案：【解析】，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故答案为：15．(2023·甘肃·高台县第一中学高一期中）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．答案：【解析】因为x，y，z为正数，可设，则，因为，所以，所以，即．故答案为：．16．(2023·河北邢台·高一阶段练习）设均为正数，且，，.则的大小关系为______________．答案：【解析】分别是函数的交点，函数的交点，函数的交点，做出三函数图像，由图像可知四、解答题17．(2023·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.(1)试求之间的关系.(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.(3)比较，，的大小.【解析】（1）设，由、、均为正数得.故取以为底的对数，可得.∴，，.，∴、、之间的关系为.（2）.由，得，从而.而，.由知，∴.从而所求正整数为3.（3）∵.而，，，，∴.又∵，而，，，，∴.故有.18．(2023·全国·高一课时练习）分别比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，；(3)与．【解析】（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以．（2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以．（3）方法一：函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象的上方，所以．方法二：因为，，又，所以．19．(2023·全国·高一专题练习）设函数，，且，判断与的大小关系.【解析】若，则，则，，因为，所以，所以，这与已知相矛盾，故；若，则，则，，，因为，所以，所以，这与已知相矛盾，故，所以，，又由已知，得，得.20．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．(1)求函数的解析式；(2)若，成立，求实数m的取值范围；(3)时，判断并证明与的大小关系．【解析】（1）当时，，当时，当时，综上所述：（2）若，成立，即，成立当时，，当时，当时，，即（3），，又，即21