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文档简介
专题04相交线平行线(难点)一、单选题1.两条平行直线被第三条直线所截时,产生的八个角中,角平分线互相平行的两个角是(
).A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.同位角或内错角2.一副直角三角板如图放置,点C在的延长线上,,,,,则为(
)A. B. C. D.3.如图,已知直线,被直线所截,,E是平面内任意一点(点E不在直线,,上),设,.下列各式:①,②,③,④,的度数可能是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④4.平面内三条直线的交点个数可能有〔
〕A.1个或3个 B.2个或3个C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或35.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,还在原来的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度应是(
)A.第一次右拐,第二次左拐 B.第一次左拐,第二次右拐C.第一次左拐,第二次左拐 D.第一次右拐,第二次右拐6.如图,已知AB∥CD,,.则与之间满足的数量关系是(
)A. B.C. D.7.如图,,,探索图中角α,β,γ之间的关系式正确的是()A. B. C. D.8.如图,已知,于点,,,则的度数是(
)A. B. C. D.9.如图,则与的数量关系是(
)A. B.C. D.10.如图,E在线段BA的延长线上,∠EAD=∠D,∠B=∠D,EF∥HC,连FH交AD于G,∠FGA的余角比∠DGH大16°,K为线段BC上一点,连CG,使∠CKG=∠CGK,在∠AGK内部有射线GM,GM平分∠FGC,则下列结论:①AD∥BC;②GK平分∠AGC;③∠E+∠EAG+∠HCK=180°;④∠MGK的角度为定值且定值为16°,其中正确结论的个数有(
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题11.如图,已知∠1=72°,∠4=110°,∠3=70°,则∠2=____________.12.如图,,与相交于点,且,,若,则______.13.如图所示,l1∥l2∥l3,l1、l2间的距离为3,
l2、l3间的距离为6,等边△ABC三个顶点均在l1、l2、l3上,则△ABC的边长为________14.如图,,一副三角板(其中,,)按如图所示的位置摆放.若,则的度数为__________(用含的代数式表示).15.如图,直线相交于点O.已知把分成两个角,且,将射线绕点O逆时针旋转到,若时,的度数是___________.16.如图,已知,,,则________度.17.沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀,在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯,若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转,灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转,每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视.设灯P光束转动的速度是10度/秒,灯Q光束转动的速度是4度/秒,在两灯同时开启后的35秒内,开启______秒时,两灯的光束互相垂直.18.如图,已知直线,点,分别在直线,上,点为,之间一点,且点在的右侧,.若与的平分线相交于点,与的平分线相交于点,与的平分线相交于点……以此类推,若,则的值是______.三、解答题19.如图所示的正方形网格,所有小正方形的边长都为1,、、都在格点上.(1)利用网格作图:①过点画直线的平行线;②过点画直线的垂线,垂足为点;(2)线段的长度是点________到直线________的距离;(3)比较大小:________(填>、<或=),理由:________.20.如图,已知,,,试判定与的位置关系,并说明理由.解:.理由:∵(已知)∴∵(已知)∴______(同位角相等,两直线平行)∴______(______)∵(已知)∴______(等量代换)∴DEBF(______)∴(______)∴(垂直的定义)(1)请补全上面说理过程;(2)若,求出的度数,并说明理由;(3)直接写出和的关系______.21.(1)如图(1),当、、满足条件______时,有ABCD,并说明理由.(2)如图(2),当ABCD时,,,的关系是______.22.已知,点为平面内的一点,.(1)当点在如图①的位置时,求与的数量关系.解:.(根据如图填射线的画法)因为,所以().所以(两直线平行,内错角相等);(请继续完成接下去的说理过程)(2)当点在如图②的位置时,与的数量关系是(直接写出答案);(3)在(2)的条件下,如图③,过点作,垂足为点,与的平分线分别交射线于点、,回答下列问题(直接写出答案):图中与相等的角是,度.23.如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一动点P,且满足0°<∠EPF<180°,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD.在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时,我们需要对点P的位置进行分类讨论:(1)如图1,当P点在EF的右侧时,若∠EPF=110°,则∠EQF=;猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,请直接写出结果;(2)如图2,当P点在EF的左侧时,探究∠EPF与∠EQF的数量关系,请说明理由;(3)若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3;…以此类推,则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系?24.已知:如图(1)直线AB、CD被直线MN所截,∠1=∠2.(1)求证:AB∥CD;(2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论;(3)如图(3),在(2)的条件下,过P点作PH∥EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度数.25.“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,如图1所示,灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转,灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度,假定主道路是平行的,即,且.(1)填空:_________;(2)①若灯B射线先转动,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达之前,设灯A转动t秒,则_________,________;(用含t的式子表示)②在①的条件下,若,则________秒.(3)如图3,若两灯同时转动,在灯A射线到达之前,若射出的光束交于点C,过C作交于点D,且,则在转动过程中,请探究与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.26.已知,直角的边与直线a分别相交于O、G两点,与直线b分别交于E、F点,.(1)将直角如图1位置摆放,如果,则______;(2)将直角如图2位置摆放,N为AC上一点,,请写出与之间的等量关系,并说明理由.(3)将直角如图3位置摆放,若,延长AC交直线b于点Q,点P是射线GF上一动点,探究,与的数量关系,请直接写出结论.27.已知:直线l分别交AB、CD与E、F两点,且AB∥CD.(1)说明:∠1=∠2;(2)如图2,点M、N在AB、CD之间,且在直线l左侧,若∠EMN+∠FNM=260°,①求:∠AEM+∠CFN的度数;②如图3,若EP平分∠AEM,FP平分∠CFN,求∠P的度数;(3)如图4,∠2=80°,点G在射线EB上,点H在AB上方的直线l上,点Q是平面内一点,连接QG、QH,若∠AGQ=18°,∠FHQ=24°,直接写出∠GQH的度数.
28.已知:如图所示,直线MN∥GH,另一直线交GH于A,交MN于B,且∠MBA=80°,点C为直线GH上一动点,点D为直线MN上一动点,且∠GCD=50°.(1)如图1,当点C在点A右边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(2)如图2,当点C在点A右边且点D在点B右边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(3)当点C在点A左边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P,请直接写出∠BPC的度数,不说明理由.29.直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上,点E为平面内一点.(1)如图①,探究∠AME,∠MEN,∠ENC的数量关系,并说明理由;(2)如图②,∠AME=30°,EF平分∠MEN,NP平分∠ENC,EQ∥NP,求∠FEQ的度数;(3)如图③,点G为CD上一点,∠AMN=m∠EMN,∠GEK=m∠GEM,EH∥MN交AB于点H,直接写出∠GEK,∠BMN,∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示).30.综合与探究,问题情境:综合实践课上,王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.(1)如图1,,点A,B分别为直线,上的一点,点P为平行线间一点且,,求度数;问题迁移(2)如图2,射线与射线交于点O,直线,直线m分别交于点A,D,直线n分别交于点B,C,点P在射线上运动.①当点P在A,B(不与A,B重合)两点之间运动时,设,.则之间有何数量关系?请说明理由;②若点P不在线段上运动时(点P与点A,B,O三点都不重合),请你直接写出间的数量关系.专题04相交线平行线(难点)一、单选题1.两条平行直线被第三条直线所截时,产生的八个角中,角平分线互相平行的两个角是(
).A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.同位角或内错角【答案】D【分析】根据题意,画出图形,不难看出,同位角和内错角的角平分线互相平行.【解析】如图所示:,可得角平分线互相平行的是同位角和内错角.故选D.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,结合了角平分线的性质,画出图形,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.2.一副直角三角板如图放置,点C在的延长线上,,,,,则为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】直接利用三角板的特点结合根据平行线的性质,计算得,,利用邻补角互补可求得,在中可得到【解析】∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴在中,,,∴,故选:C【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度及直角三角板的特点,熟练掌握平行线的性质和利用邻补角互补求角度是解决问题的关键3.如图,已知直线,被直线所截,,E是平面内任意一点(点E不在直线,,上),设,.下列各式:①,②,③,④,的度数可能是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】D【分析】由题意根据点E有6种可能位置,分情况进行讨论,依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可.【解析】解:(1)如图1,由,可得,∵,∴.(2)如图2,过作平行线,则由,可得,,∴.当平分,平分时,∴,即,又∵,∴;(3)如图3,由,可得,同理可得:,∴.(4)如图4,过E作,由,∴,∴,,∴,∴.(5)(6)当点E在的下方时,同理可得,或.综上所述,的度数可能为,,,,.故选:D.【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用,解题时注意两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等以及分类讨论.4.平面内三条直线的交点个数可能有〔
〕A.1个或3个 B.2个或3个C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3【答案】D【分析】根据三直线互相平行,可得交点个数;两直线平行与第三条指向相交,可得交点个数;三条直线相交于一点;三条直线两两相交,可得交点个数.【解析】解:①三直线互相平行,交点个数为0;②两直线平行与第三条指向相交,交点个数为2个;③三条直线相交于一点,交点个数为1个;④三条直线两两相交,交点个数为3个;故选D.【点睛】本题考查了直线、射线、线段,注意要分类讨论,有4种可能,不要漏掉.5.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,还在原来的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度应是(
)A.第一次右拐,第二次左拐 B.第一次左拐,第二次右拐C.第一次左拐,第二次左拐 D.第一次右拐,第二次右拐【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质:两条直线平行,同位角相等.再根据题意可得两次拐弯的方向不相同,但角度相等.【解析】解:如图,第一次拐的角是,第二次拐的角是,由两次拐弯后,还在原来的方向上平行前进得:,由此可知,两次拐弯的方向不相同,但角度相等,观察四个选项可知,只有选项B符合,故选:B.【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.6.如图,已知AB∥CD,,.则与之间满足的数量关系是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】作NE∥AB,MF∥AB,根据两直线平行,内错角相等、同旁内角互补,建立与的等式即可得到答案.【解析】如下图所示,作NE∥AB,MF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥MF∥EN得,,,;∴,∵,,∴,∴,∴,故选:B.【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是熟知两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补.7.如图,,,探索图中角α,β,γ之间的关系式正确的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】首先过点C作,过点D作,由,即可得,然后由两直线平行,内错角相等,即可求得答案.【解析】解:过点C作,过点D作,∵,∴,∴,∵,,由①②得:.即故选:B.【点睛】此题考查了平行线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用是解题的关键.8.如图,已知,于点,,,则的度数是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】如图,过点H作,过点F作,根据平行线的性质定理进行解答即可.【解析】解:如图,过点H作,过点F作,∴,,∵,∴,∴,∵,,,∴,,∴,,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质定理,正确作出辅助线是解题的关键.9.如图,则与的数量关系是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】先设角,利用平行线的性质表示出待求角,再利用整体思想即可求解.【解析】设则∵∴∴故选:D.【点睛】本题考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质,注意整体思想的运用.10.如图,E在线段BA的延长线上,∠EAD=∠D,∠B=∠D,EF∥HC,连FH交AD于G,∠FGA的余角比∠DGH大16°,K为线段BC上一点,连CG,使∠CKG=∠CGK,在∠AGK内部有射线GM,GM平分∠FGC,则下列结论:①AD∥BC;②GK平分∠AGC;③∠E+∠EAG+∠HCK=180°;④∠MGK的角度为定值且定值为16°,其中正确结论的个数有(
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC,故①正确;由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG,等量代换得到∠AGK=∠CGK,求得GK平分∠AGC;故②正确;延长EF交AD于P,延长CH交AD于Q,根据平行线的性质和三角形外角的性质得到∠E+∠EAG+∠HCK=180°;故③正确;根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°,设∠AGM=α,∠MGK=β,得到∠AGK=α+β,根据角平分线的定义即可得到结论.【解析】解:∵∠EAD=∠D,∠B=∠D,∴∠EAD=∠B,∴AD∥BC,故①正确;∴∠AGK=∠CKG,∵∠CKG=∠CGK,∴∠AGK=∠CGK,∴GK平分∠AGC;故②正确;延长EF交AD于P,延长CH交AD于Q,∵EF∥CH,∴∠EPQ=∠CQP,∵∠EPQ=∠E+∠EAG,∴∠CQG=∠E+∠EAG,∵AD∥BC,∴∠HCK+∠CQG=180°,∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°;故③正确;∵∠FGA的余角比∠DGH大16°,∴90°-∠FGA-∠DGH=16°,∵∠FGA=∠DGH,∴90°-2∠FGA=16°,∴∠FGA=∠DGH=37°,设∠AGM=α,∠MGK=β,∴∠AGK=α+β,∵GK平分∠AGC,∴∠CGK=∠AGK=α+β,∵GM平分∠FGC,∴∠FGM=∠CGM,∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK,∴37°+α=β+α+β,∴β=18.5°,∴∠MGK=18.5°,故④错误,故选:B.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义,三角形的外角的性质,正确的识别图形是解题的关键.二、填空题11.如图,已知∠1=72°,∠4=110°,∠3=70°,则∠2=____________.【答案】72°##72度【分析】先根据平行线的判定定理得到ab,然后再利用平行线的性质即可解答.【解析】解:∵∠4=110°,∠3=70°,∴∠3+∠4=180°,∴ab,∴∠2=∠1=72°.故答案为:72°.【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,掌握同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等是解答本题的关键.12.如图,,与相交于点,且,,若,则______.【答案】3【分析】过点作,根据平行线的性质可得,再根据平行线的性质可得,,依此即可求解.【解析】解:如图,过点作,∵,∴,∴,,,∴,∵,,∴,∴.故答案为:3.【点睛】本题考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.13.如图所示,l1∥l2∥l3,l1、l2间的距离为3,
l2、l3间的距离为6,等边△ABC三个顶点均在l1、l2、l3上,则△ABC的边长为________【答案】【分析】过A,C作AE,CF垂直于l2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交l2于点G,由此可得结论.【解析】如图,过A,C作AE,CF垂直于l2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交l2于点G.由作图可知:∠DBG=60°,AD=CF=6.在Rt△BDG中,∠BGD=30°.在Rt△AEG中,∠EAG=60°,AE=3,AG=6,DG=12.∴BD=在Rt△ABD中,故答案为:.【点睛】本题考查平行线的性质,等腰三角形,直角三角形的性质,考查学生的计算能力,属于基础题.14.如图,,一副三角板(其中,,)按如图所示的位置摆放.若,则的度数为__________(用含的代数式表示).【答案】【分析】根据得到,再根据即可得到答案.【解析】解:∵,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查平行直线的性质,解题的关键是熟知两直线平行,内错角相等.15.如图,直线相交于点O.已知把分成两个角,且,将射线绕点O逆时针旋转到,若时,的度数是___________.【答案】90°或210°【分析】OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF=120°,分别作出对应的图像,根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值,进而可求出角α的度数.【解析】解:①当OF运动到如图所示的位置时,∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,∵,∴,当时,∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°,②如图所示,当OF运动到如图所示的位置时,∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,∵,∴,当时,∴α=360°-(∠AOF+∠AOE)=360°-150°=210°,故答案为:90°或210°.【点睛】本题考查对顶角,根据比例求出角的度数,以及角的和与差,能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.16.如图,已知,,,则________度.【答案】120【分析】过E作一条直线,根据题意,得;根据平行线同旁内角互补的性质,推导得,再根据平行线内错角相等的性质计算,即可得到答案.【解析】解:过E作一条直线,∵,,∴,∵,,∴,∴又∵,∴.故答案为:120.【点睛】本题考查了平行线的知识;解题的关键是熟练掌握平行线的性质,从而完成求解.17.沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀,在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯,若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转,灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转,每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视.设灯P光束转动的速度是10度/秒,灯Q光束转动的速度是4度/秒,在两灯同时开启后的35秒内,开启______秒时,两灯的光束互相垂直.【答案】或或【分析】设开启秒后,两灯的光束互相垂直,分,时,灯光返回,第一次与垂直和时,灯光返回,第二次与垂直,三种情况讨论求解即可.【解析】解:灯P照射一次,需要秒,灯Q照射一次,需要秒,设开启秒后,两灯的光束互相垂直;①当时,两灯光垂直于点,过作,如图,∵,∴,∴,,∴,解得:;②当时,灯光返回,第一次与垂直,过作,如图,∵,∴,∴,,∴,解得:;③当时,灯光返回,第二次与垂直,过作,如图,∵,∴,∴,,∴,解得:;综上:开启秒或秒或秒时,两灯的光束互相垂直.【点睛】本题考查平行线的判定和性质的应用.通过添加辅助线,构造平行线,利用平行线的性质,进行求解,是解题的关键.注意分类讨论.18.如图,已知直线,点,分别在直线,上,点为,之间一点,且点在的右侧,.若与的平分线相交于点,与的平分线相交于点,与的平分线相交于点……以此类推,若,则的值是______.【答案】4【分析】作EF//AB则AB//CD//EF,根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°,同理∠ME1N=(∠BME+∠DME)=64°,∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°,可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1)=,依此建立方程=8°求解即可解答.【解析】解:如图:作EF//AB∵AB//CD∴AB//CD//EF∴∠FEM=∠BME,∠FEN=∠DNE,∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM+∠FEN=∠MEN=128°同理:ME1N=(∠BME+∠DME)=64°,∠ME2N=(∠BME1+∠DME1)=32°…∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1)=由题意得:=8°,解得n=4.故答案为4.【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点,正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键.三、解答题19.如图所示的正方形网格,所有小正方形的边长都为1,、、都在格点上.(1)利用网格作图:①过点画直线的平行线;②过点画直线的垂线,垂足为点;(2)线段的长度是点________到直线________的距离;(3)比较大小:________(填>、<或=),理由:________.【答案】(1)①见解析;②见解析(2)(3),垂线段最短【分析】(1)①在A的右侧取格点D,满足,再画直线即可,②如图,取格点,再画直线交于即可.(2)根据点到直线的距离的定义判断即可.(3)根据垂线段最短,解决问题即可.【解析】(1)解:①如图,直线即为所求作.
②如图,直线即为所求作.(2)线段的长度是点C到直线的距离,(3).理由:垂线段最短.【点睛】本题考查作图-应用与设计作图,平行线的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.20.如图,已知,,,试判定与的位置关系,并说明理由.解:.理由:∵(已知)∴∵(已知)∴______(同位角相等,两直线平行)∴______(______)∵(已知)∴______(等量代换)∴DEBF(______)∴(______)∴(垂直的定义)(1)请补全上面说理过程;(2)若,求出的度数,并说明理由;(3)直接写出和的关系______.【答案】(1);;两直线平行,内错角相等;;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等(2),理由见解析(3)【分析】(1)根据平行线的性质和判定即可求出答案;(2)利用平行线的性质即可求解;(3)在平行线的性质基础上,利用角的和差关系即可求解.(1)解:根据题意,利用平行线的性质和判断得,∵(已知)∴∵(已知)∴FGBC(同位角相等,两直线平行)∴(两直线平行,内错角相等)∵(已知)∴(等量代换)∴DEBF(同旁内角互补,两直线平行)∴(两直线平行,同位角相等)∴(垂直的定义)故答案是:;;两直线平行,内错角相等;;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等.(2)解:有(1)的结论得,∵DEBF,,,∴,∵∴,∴.故答案是:.(3)解:∵DEBF,,∴,,又∵,∴,∴,∴,故答案是:.【点睛】本题主要考查利用平行线的性质和判定来确定线与角的关系,理解和掌握平行线的判定方法,以及平行线的性质是解题的关键.21.(1)如图(1),当、、满足条件______时,有ABCD,并说明理由.(2)如图(2),当ABCD时,,,的关系是______.【答案】(1)∠AEC=∠A+∠C;理由见解析;(2)∠1+∠2-∠AEC=180°.【分析】(1)如图,过点E作EFAB,根据平行线的判定和性质证明即可;(2)如图,过点E作EFAB,根据平行线的判定和性质证明即可.【解析】解:(1)当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时,有ABCD.理由如下:过点E作EFAB,如图:∴∠A=∠1(两直线平行,内错角相等),∵∠AEC=∠A+∠C,∠AEC=∠1+∠2,∴∠2=∠C,∴EFCD(内错角相等,两直线平行),∵EFAB,∴ABCD(平行于同一条直线的两条直线互相平行);故答案为:∠AEC=∠A+∠C;(2)当ABCD时,∠1,∠2,∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°,理由如下:过点E作EFAB,如图:∴∠3+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵ABCD(已知),∴EFCD(平行于同一条直线的两条直线互相平行),∴∠FEC=∠2(两直线平行,内错角相等),即∠AEC+∠3=∠2,∴∠3=∠2-∠AEC,∴∠2-∠AEC+∠1=180°(等量代换),即∠1+∠2-∠AEC=180°.故答案为:∠1+∠2-∠AEC=180°.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质.能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键.22.已知,点为平面内的一点,.(1)当点在如图①的位置时,求与的数量关系.解:.(根据如图填射线的画法)因为,所以().所以(两直线平行,内错角相等);(请继续完成接下去的说理过程)(2)当点在如图②的位置时,与的数量关系是(直接写出答案);(3)在(2)的条件下,如图③,过点作,垂足为点,与的平分线分别交射线于点、,回答下列问题(直接写出答案):图中与相等的角是,度.【答案】(1)过点作;;;;如果一条直线和两条平行线中的一条平行,那么它和另一条也平行;见解析(2)(3),45【分析】(1)过点作,先根据平行线的判定与性质可得,,再根据角的和差、等量代换即可得出结论;(2)过点作,先根据平行线的判定与性质可得,,再根据、角的和差即可得出结论;(3)过点作,先根据平行线的判定与性质可得,从而可得,再结合(2)的结论可得,然后根据角平分线的定义可得,最后根据即可得出答案(1)解:如图①,过点作,,(如果一条直线和两条平行线中的一条平行,那么它和另一条也平行)..,..,..(2)解:如图②,过点作,.,..,...故答案为:.(3)解:如图③,过点作,,,.,,..,由(2)已得:,;平分,.平分,.,故答案为:,45.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识点,通过作辅助线,构造平行线是解题关键.23.如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一动点P,且满足0°<∠EPF<180°,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD.在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时,我们需要对点P的位置进行分类讨论:(1)如图1,当P点在EF的右侧时,若∠EPF=110°,则∠EQF=;猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,请直接写出结果;(2)如图2,当P点在EF的左侧时,探究∠EPF与∠EQF的数量关系,请说明理由;(3)若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3;…以此类推,则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系?【答案】(1)55°;∠EPF=2∠EQF;(2)2∠EQF+∠EPF=360°,理由见解析;(3)∠EPF+22022•∠EQ2021F=360°或∠EPF=22022∠EQ2021F【分析】(1)过P作PM//AB,过Q作QN//AB,根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题;(2)如图2,过P作PM//AB,过Q作QN//AB,根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF=360°;(3)分两种情况讨论,根据(1)中的解题方法得∠Q1=(∠BEP+∠DFP),∠Q2=(∠BEP+∠DFP),∠(α+β)…由此得出规律∠Qn=()n(∠BEP+∠DFP),再由(2)的结论2∠EQF+∠EPF=360°,∠BEP+∠DFP=∠EQF,便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果,从而得出结论.【解析】解:(1)过P作PM//AB,过Q作QN//AB,∵AB//CD,∴AB//CD//PM,AB//CD//QN,∴∠BEP=∠MPE,∠DFP=∠MPF,∠BEQ=∠NQE,∠DFQ=∠FQN,∴∠BEP+∠DFP=∠MPE+∠MPF=∠EPF=110°,∠BEQ+∠DFQ=∠NQE+∠NQF=∠EQF,∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,∴∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=×110°=55°;猜想:∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF=2∠EQF.理由如下:∵AB//CD,∴AB//CD//PM,AB//CD//QN,∴∠BEP=∠MPE,∠DFP=∠MPF,∠BEQ=∠NQE,∠DFQ=∠FQN,∴∠BEP+∠DFP=∠MPE+∠MPF=∠EPF,∠BEQ+∠DFQ=∠NQE+∠NQF=∠EQF,∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,∴2(∠BEQ+∠DFQ)=∠BEP+∠DFP=∠EPF,即∠EPF=2∠EQF;故答案为:55°;(2)2∠EQF+∠EPF=360°.理由如下:如图2,过P作PM//AB,过Q作QN//AB,∵AB//CD,∴AB//CD//PM,AB//CD//QN,∴∠BEP+∠MPE=180°,∠DFP+∠MPF=180°,∠BEQ=∠NQE,∠DFQ=∠FQN,∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF=360°,即∠BEP+∠DFP+∠EPF=360°,∠EQF∠BEQ+∠DFQ=∠NQE+∠NQF=∠EQF,∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,∴∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=∠EQF,即∠BEP+∠DFP=2∠EQF,∴2∠EQF+∠EPF=360°;(3)当点P在EF的左侧,根据(1)的方法可得∠Q1=(∠BEP+∠DFP)=∠EQF,∠Q2=(∠BEP+∠DFP)=∠EQF,…则∠Qn=()n(∠BEP+∠DFP)=()n∠EQF,∵2∠EQF+∠EPF=360°,∠BEP+∠DFP=2∠EQF,∴∠EPF+2n+1•∠EQnF=360°.当点P在EF的右侧,同理可求∠EPF=2n+1∠EQnF.综上,∠EPF+22022•∠EQ2021F=360°或∠EPF=22022∠EQ2021F.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24.已知:如图(1)直线AB、CD被直线MN所截,∠1=∠2.(1)求证:AB∥CD;(2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论;(3)如图(3),在(2)的条件下,过P点作PH∥EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度数.【答案】(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30°【分析】(1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD;(2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH∥AB.理由平行线的性质即可证明;(3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,想办法构建方程即可解决问题;【解析】(1)如图1中,∵∠2=∠3,∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥CD.(2)结论:如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.理由:作EH∥AB.∵AB∥CD,EH∥AB,∴EH∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=∠1+∠4,∴∠PEQ=∠1+∠4,同法可证:∠PFQ=∠BPF+∠FQD,∵∠BPE=2∠BPF,∠EQD=2∠FQD,∠1+∠BPE=180°,∠4+∠EQD=180°,∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE=2×180°,即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,∴∠PEQ+2∠PFQ=360°.(3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,∵EQ∥PH,∴∠EQC=∠PHQ=x,∴x+10y=180°,∵AB∥CD,∴∠BPH=∠PHQ=x,∵PF平分∠BPE,∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPH+∠BPH,∴∠FPH=y+z﹣x,∵PQ平分∠EPH,∴Z=y+y+z﹣x,∴x=2y,∴12y=180°,∴y=15°,∴x=30°,∴∠PHQ=30°.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识.(2)中能正确作出辅助线是解题的关键;(3)中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键.25.“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,如图1所示,灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转,灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度,假定主道路是平行的,即,且.(1)填空:_________;(2)①若灯B射线先转动,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达之前,设灯A转动t秒,则_________,________;(用含t的式子表示)②在①的条件下,若,则________秒.(3)如图3,若两灯同时转动,在灯A射线到达之前,若射出的光束交于点C,过C作交于点D,且,则在转动过程中,请探究与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.【答案】(1)60°;(2)①,;②30;(3)不变,【分析】(1)根据∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=2:1,即可得到∠BAN的度数;(2)①根据题意可得;②设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,当0<t<90时,根据2t=1•(30+t),可得t值;(3)设灯A射线转动时间为t秒,根据∠BAC=2t-120°,∠BCD=120°-∠BCD=t-60°,即可得出∠BAC:∠BCD=2:1,据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化.【解析】解:(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=2:1,∴∠BAN=180°×=60°,故答案为:60°;(2)①由题意可得:,,故答案为:,;②设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,当0<t<90时,如图,∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD,∴2t=1•(30+t),解得t=30;(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.理由:设灯A射线转动时间为t秒,∵∠CAN=180°-2t,∴∠BAC=60°-(180°-2t)=2t-120°,又∵∠ABC=120°-t,∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-(180°-t)=t-60°,∴∠BAC:∠BCD=2:1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用,解决问题的关键是运用分类思想进行求解,解题时注意:两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.26.已知,直角的边与直线a分别相交于O、G两点,与直线b分别交于E、F点,.(1)将直角如图1位置摆放,如果,则______;(2)将直角如图2位置摆放,N为AC上一点,,请写出与之间的等量关系,并说明理由.(3)将直角如图3位置摆放,若,延长AC交直线b于点Q,点P是射线GF上一动点,探究,与的数量关系,请直接写出结论.【答案】(1)136°;(2)∠AOG+∠NEF=90°,理由见解析;(3)当点P在GF上时,∠OPQ=140°﹣∠POQ+∠PQF;当点P在线段GF的延长线上时,140°﹣∠POQ=∠OPQ+∠PQF.【分析】(1)如图1,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,然后利用∠ACP+∠BCP=90°即可求得答案;(2)如图2,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,然后结合已知条件可得∠BCP=∠NEF,然后利用∠ACP+∠BCP=90°即可得到结论;(3)分两种情况,如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG,则NP∥OG∥EF,根据平行线的性质可推出∠OPQ=∠GOP+∠PQF,进一步可得结论;如图4,当点P在线段GF的延长线上时,同上面方法利用平行线的性质解答即可.【解析】解:(1)如图1,作CP∥a,∵,∴CP∥a∥b,∴∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,∴∠BCP=180°﹣∠CEF,∵∠ACP+∠BCP=90°,∴∠AOG+180°﹣∠CEF=90°,∵∠AOG=46°,∴∠CEF=136°,故答案为136°;(2)∠AOG+∠NEF=90°.理由如下:如图2,作CP∥a,则CP∥a∥b,∴∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,而∠NEF+∠CEF=180°,∴∠BCP=∠NEF,∵∠ACP+∠BCP=90°,∴∠AOG+∠NEF=90°;(3)如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG,∴NP∥OG∥EF,∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ,∴∠OPQ=∠GOP+∠PQF,∴∠OPQ=140°﹣∠POQ+∠PQF;如图4,当点P在线段GF的延长线上时,过点P作PN∥OG,∴NP∥OG∥EF,∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ,∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN,∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF,∴140°﹣∠POQ=∠OPQ+∠PQF.【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识,属于常考题型,正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.27.已知:直线l分别交AB、CD与E、F两点,且AB∥CD.(1)说明:∠1=∠2;(2)如图2,点M、N在AB、CD之间,且在直线l左侧,若∠EMN+∠FNM=260°,①求:∠AEM+∠CFN的度数;②如图3,若EP平分∠AEM,FP平分∠CFN,求∠P的度数;(3)如图4,∠2=80°,点G在射线EB上,点H在AB上方的直线l上,点Q是平面内一点,连接QG、QH,若∠AGQ=18°,∠FHQ=24°,直接写出∠GQH的度数.
【答案】(1)理由见解析;(2)①80°,②40°;(3)38°、74°、86°、122°.【分析】(1)根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证;(2)①过拐点作AB的平行线,根据平行线的性质推理即可得到答案;②过点P作AB的平行线,根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数;(3)分情况讨论,画出图形,根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可.【解析】(1),;(2)①分别过点M,N作直线GH,IJ与AB平行,则,如图:,,,;②过点P作AB的平行线,根据平行线的性质可得:,,∵EP平分∠AEM,FP平分∠CFN,∴,即;(3)分四种情况进行讨论:由已知条件可得,①如图:②如图:,;③如图:,;④如图:,;综上所述,∠GQH的度数为38°、74°、86°、122°.【点睛】本题考查平行线的性质,三角形外角的性质等内容,解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想.28.已知:如图所示,直线MN∥GH,另一直线交GH于A,交MN于B,且∠MBA=80°,点C为直线GH上一动点,点D为直线MN上一动点,且∠GCD=50°.(1)如图1,当点C在点A右边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(2)如图2,当点C在点A右边且点D在点B右边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(3)当点C在点A左边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P,请直接写出∠BPC的度数,不说明理由.【答案】(1)∠BPC=65°;(2)∠BPC=155°;(3)∠BPC=155°【分析】(1)如图1,过点P作PE∥MN,根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出:∠BPE=∠DBP=40°,,据此进一步求解即可;(2)如图2,过点P作PE∥MN,根据平角可得∠DBA=100°,再由角平分线和平行线的性质得∠BPE=130°,,据此进一步求解即可;(3)如图3,过点P作PE∥MN,根据角平分线性质得出∠DBP=∠PBA=40°,由此得出∠BPE=∠DBP=40°,然后根据题意得出,由此再利用平行线性质得出∠CPE度数,据
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