人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题11指数运算与对数运算(原卷版+解析)

专题11指数运算与对数运算【考点预测】1、n次方根与分数指数幂（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且．=1\*GB3①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数．这时，的方根用符号表示．=2\*GB3②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．关于根式有下面两个等式：；．2、分数指数幂（1）正分数指数幂（，，，）．0的正分数指数幂等于0．（2）负分数指数幂（，，，）．0的负分数指数幂没有意义．（3）有理数指数幂的运算性质=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．3、无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当是无理数时，是无理数指数幂．我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数．（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质．=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．4、对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作．其中叫做对数的底数，叫做真数．当，且时，．5、两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为．（2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作．6、关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）；（3）．7、对数的运算如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）（）．8、换底公式（，且，，，）．【典型例题】例1．(2023·上海·高一期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝_____（用a，b表示）．例2．(2023·上海大学附属南翔高级中学高一期中）已知，，则___________.例3．(2023·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中）（1）计算（2）化简：.（3）已知，求的值.例4．(2023·江西省莲花中学高一期中）计算下列各式(1)；(2)已知，求下列各式的值：①；②．例5．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）计算：(1)；(2).例6．(2023·江苏省洪泽中学高一期中）求下列各式的值.(1)；(2).例7．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知、、均为正实数.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏盐城·高一期中）若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·陕西·永寿县中学高一期中）设，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．(2023·江苏·常州市第三中学高一期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（

）（参考数据：，）A． B． C． D．4．(2023·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，则（

）A． B．C． D．5．(2023·山西·长治市第四中学校高一期末）计算：（

）A．0 B．1 C．2 D．36．(2023·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，，则（

）A． B． C． D．7．(2023·重庆九龙坡·高一期末）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．(2023·江苏常州·高一期中）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·浙江·高一期中）下列等式不成立的是（

）A．（，且） B．（，且）C． D．10．(2023·河南·濮阳一高高一期中）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．11．(2023·广东惠州·高一期末）若，，则（

）A． B．C． D．12．(2023·福建泉州·高一期末）若，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．(2023·上海市新川中学高一期中）若，则___________.14．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）______.15．(2023·湖北黄石·高一期中）已知，若，则___________.16．(2023·河南·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知，则＝_____.四、解答题17．(2023·四川·广安二中高一期中）计算：(1)；(2).18．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）化简下列各式：(1)；；(2)若.求.19．(2023·天津河北·高一期末）计算求解(1)(2)已知，，求的值．20．(2023·云南·昆明一中高一期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.21．(2023·重庆巴蜀中学高一期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）22．(2023·江苏·高一期中）解方程：(1).(2)专题11指数运算与对数运算【考点预测】1、n次方根与分数指数幂（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且．=1\*GB3①当是奇数时，正数的次方根是正数，负数的方根是负数．这时，的方根用符号表示．=2\*GB3②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．关于根式有下面两个等式：；．2、分数指数幂（1）正分数指数幂（，，，）．0的正分数指数幂等于0．（2）负分数指数幂（，，，）．0的负分数指数幂没有意义．（3）有理数指数幂的运算性质=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．3、无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当是无理数时，是无理数指数幂．我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是．所以无理数指数幂（，是无理数）是一个确定的数．（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，，均有下面的运算性质．=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．4、对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作．其中叫做对数的底数，叫做真数．当，且时，．5、两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把记为．（2）自然对数：以（是无理数，…）为底的对数叫做自然对数，并把记作．6、关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）；（3）．7、对数的运算如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）（）．8、换底公式（，且，，，）．【典型例题】例1．(2023·上海·高一期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝_____（用a，b表示）．答案：【解析】∵log189＝a，b＝log185，∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a；∴log3645＝＝．故答案为：．例2．(2023·上海大学附属南翔高级中学高一期中）已知，，则___________.答案：2【解析】因为，，所以，，所以.故答案为：2.例3．(2023·内蒙古·阿拉善右旗第一中学高一期中）（1）计算（2）化简：.（3）已知，求的值.【解析】(1)(2)(3)因为，两边同时平方可得：，再将两边同时平方可得：，所以.例4．(2023·江西省莲花中学高一期中）计算下列各式(1)；(2)已知，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）原式；（2）①∵，∴，又由得，∴，所以；②（法一），（法二），而，∴，又由得，∴，所以.例5．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）计算：(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.例6．(2023·江苏省洪泽中学高一期中）求下列各式的值.(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.例7．(2023·上海·曹杨二中高一期中）已知、、均为正实数.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）因为，所以，即，再平方得，故；（2）对同取的底数可得，即，，所以.【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏盐城·高一期中）若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】因为，则，由于，，可解得，所以故选：B.2．(2023·陕西·永寿县中学高一期中）设，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】对于A，令，则，，显然A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.3．(2023·江苏·常州市第三中学高一期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（

）（参考数据：，）A． B． C． D．答案：C【解析】设设这个39位数为，这个数的64次方根为，所以，两边同时取以10为底的对数可得：，所以，因为，所以，也即，因为，，所以，所以，故选：C.4．(2023·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，，所以．故选：D.5．(2023·山西·长治市第四中学校高一期末）计算：（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】；故选：B6．(2023·江苏省江阴市第一中学高一期中）已知，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由换底公式得：，，其中，，故故选：C7．(2023·重庆九龙坡·高一期末）若，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以且，所以且，即，所以当且仅当时，即时等号成立.故选：A8．(2023·江苏常州·高一期中）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题设，，即，又，且，所以.故选：A.二、多选题9．(2023·浙江·高一期中）下列等式不成立的是（

）A．（，且） B．（，且）C． D．答案：AD【解析】对A：∵（，且），A不成立；对B：（，且），B成立；对C：可得，则，∴，C成立；对D：∵，D不成立；故选：AD.10．(2023·河南·濮阳一高高一期中）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】，；，；故A正确，B错误；；，，故C正确，D错误．故选：AC．11．(2023·广东惠州·高一期末）若，，则（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】由题设，，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD12．(2023·福建泉州·高一期末）若，则（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】依题意，所以，所以，A选项错误.，B选项正确.，C选项正确.，D选项正确.故选：BCD三、填空题13．(2023·上海市新川中学高一期中）若，则___________.答案：【解析】由对数运算的定义，有∵，∴，∴，∴.故答案为：.14．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）______.答案：10【解析】.故答案为：.15．(2023·湖北黄石·高一期中）已知，若，则___________.答案：8【解析】由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.16．(2023·河南·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知，则＝_____.答案：【解析】∵，∴，∴，∴.故答案为：.四、解答题17．(2023·四川·广安二中高一期中）计算：(1)；(2).【解析】（1）（2）.18．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）化简下列各式：(1)；；(2)若.求.【解析】（1）.（2），则，所以.19．(2023·天津河北·高一期末）计算求解(1)(2)已知，，求的值．【解析】(1).(2)因，，所以.20．(2023·云南·昆明一中高一期末）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.【解析】（1）假设，则，，.因为，所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）（2）令，则，，所以.21．(2023·重庆巴蜀中学高一期末）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；(2)已知两个不同的声源产