高考数学大题精做专题02求轨迹方程问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题02求轨迹方程问题类型对应典例直接法求轨迹方程典例1定义法求轨迹方程典例2几何法求轨迹方程典例3相关点法求轨迹方程典例4【典例1】【湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试】已知点，点为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于两不同点P，Q（非原点），过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M．设线段的中点为N，若，求直线l的斜率．【典例2】【广东省梅州市2020届质检】已知过定点的动圆是与圆相内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.【典例3】【山东省济宁市2019届高三二模】在平面直角坐标系xOy中，点P是圆F1：(x+3)2+y2=16上的动点，定点F2(3（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若动直线l：y=kx+m(k≠0)与轨迹E交于不同的两点M、N，点A在轨迹E上，且四边形OMAN为平行四边形.证明：四边形OMAN的面积为定值.【典例4】【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.【针对训练】1.【广东省广州市2019届高三第二次模拟】从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．2.【陕西省咸阳市2020届高三模拟考试】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.（I）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作斜率不为0的直线与（I）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求.【思路引导】（1）利用待定系数法求出点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，点的轨迹的方程为．（2）先求出点Q的坐标，再利用两点间的距离公式求．3.【陕西省延安市2019届高考模拟】已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.4.【江西省南昌市2020届模拟】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．求动圆圆心的轨迹的方程；过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题02求轨迹方程问题类型对应典例直接法求轨迹方程典例1定义法求轨迹方程典例2几何法求轨迹方程典例3相关点法求轨迹方程典例4【典例1】【湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试】已知点，点为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于两不同点P，Q（非原点），过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M．设线段的中点为N，若，求直线l的斜率．【思路引导】（1）将坐标化，化简求得结果.（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立得，由韦达定理求得中点N的坐标，由导数的几何意义可求得过点的切线方程，联立求得交点的坐标，得到,所以MN中点纵坐标为1，即2，进而求得k.【详解】（1）由得：化简得曲线的方程为.（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线的方程为：，联立得：设，，则，设，则，又曲线的方程为，即y=,=，∴过点的切线斜率为，切线方程为y-，即y=同理，过点的切线方程为y=，联立两切线可得交点的坐标为，所以,又因为，所以MN中点纵坐标为1，即2,k=,故直线的斜率为k=【典例2】【广东省梅州市2020届质检】已知过定点的动圆是与圆相内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.【思路引导】(1)由题易知，可得为定值，利用椭圆的定义求得结果；(2)设所在直线方程为椭圆联立，表示出AB的长度和到直线的距离，求得的面积，再由题k与b的关系，可得答案.【详解】解:(1)圆的圆心为,半径为,设圆的半径为,由题意知点在圆内.可得所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,得所以动圆圆心的轨迹方程为(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得可得……①设,则是方程①的两不相等的实根,得得又点到直线的距离所以的面积由题意知,得又代入上式得得(也可直接用垂直平分线过点得到关系)当时,当时,有最大值当时,当时,有最大值所以面积的最大值为【典例3】【山东省济宁市2019届高三二模】在平面直角坐标系xOy中，点P是圆F1：(x+3)2+y2=16上的动点，定点F2(3（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若动直线l：y=kx+m(k≠0)与轨迹E交于不同的两点M、N，点A在轨迹E上，且四边形OMAN为平行四边形.证明：四边形OMAN的面积为定值.【思路引导】(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；(Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值.【详解】（Ⅰ）由题意：QF∴根据椭圆的定义，点Q的轨迹E是以F1、F2为焦点的椭圆，其中2a=4，∴a=2，c=3，b∴轨迹E的方程为：x2（Ⅱ）证明：设M(x1,联立方程组x24+Δ=(8km)2−41+4x1+x∴MN的中点−4km1+4k2点A在椭圆上，∴16k∴4m∴|MN|=1+点O到直线y=kx+m的距离d=|m|∴S=4|m|∴四边形OMAN的面积为定值3.【典例4】【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.【思路引导】（Ⅰ）设，，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点的轨迹方程；（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形面积，转求函数最值即可.【详解】（Ⅰ）法一：设，，直线直线得又，，整理得点的轨迹方程为法二：设，，直线直线由,解得：，又，故，代入得.点的轨迹方程为法三：设直线，则直线直线与椭圆的交点的坐标为.则直线的斜率为.直线由解得:点的轨迹方程为：（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：四边形的面积，，当时，的最大值为.法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积当且仅当时，取得最大值.【针对训练】1.【广东省广州市2019届高三第二次模拟】从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．【思路引导】（1）利用相关点法，设设，，则点的坐标为，由，从而得到，即．化简求得结果；（2）设出点A,B的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到，根据韦达定理得到=，=，设点，写出直线AT的方程，进而求得点D的坐标，同理求得点E的坐标，如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，即，因为点在抛物线上，所以，即．所以点的轨迹的方程为．（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=，=．设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．因为．所以．即，解得或．故以为直径的圆过轴上的定点和．解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．若点满足要求，则满足．因为．所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．2.【陕西省咸阳市2020届高三模拟考试】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.（I）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作斜率不为0的直线与（I）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求.【思路引导】（1）利用待定系数法求出点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，点的轨迹的方程为．（2）先求出点Q的坐标，再利用两点间的距离公式求．详解：（1）由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以，∴，∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，，，，∴点的轨迹的方程为．（2）依题意可设直线方程为，将直线方程代入，化简得，设直线与椭圆的两交点为，，由，得，①且，，②因为点关于轴的对称点为，则，可设，所以，所以所在直线方程为，令，得，③把②代入③，得，∴点的坐标为，∴．3.【陕西省延安市2019届高考模拟】已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.【思路引导】（Ⅰ）利用已知条件设，，，建立与的关系，利用线段的长化简计算即可；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得m2＜4k2+1，再由，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，则取值范围可求．【详解】（Ⅰ）∵点在上运动，点在上运动，∴设，，线段的中点，则有，∴，∵线段的长为定值，∴+=8，即+=8，化简得.∴线段的中点的轨迹方程为.（Ⅱ）设，，联立得，，化简得①.，，若，则，即，所以，即，化简得②，由①②得，，因为到直线的距离，所以又因为，所以，所以到直线的距离的取值范围是.4.【江西省南昌市2020届模拟】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．求动圆圆心的轨迹的方程；过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．【思路引导】（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于.可得经过两点