高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)20任意角、弧度制与三角函数的概念(原卷版+解析)

常考题型20任意角、弧度制与三角函数的概念必备知识必备知识1.角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角相同的角可写成．2.弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：；．若一个角的弧度数为，角度数为，则，．3.任意角的三角函数设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么①点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；②点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；③点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．4.扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．(2)扇形面积公式5.角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.角度制弧度制6.象限角：象限角集合区间第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角7.同角的三角函数关系同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).方法指导方法指导一、三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.二、三角函数线的应用1．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．2．利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．3．利用三角函数线比较大小的步骤①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．三、应用弧度制解决问题的方法1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．四、同角的三角函数关系的应用1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．3.弦的齐次问题(1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．4.对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．5.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．题型探究题型探究探究一：象限角及其判断已知是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角思路分析：思路分析：由已知可求，，，，逐项分析即可得解．【变式练习】1．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角2．若是第四象限角，则点在第（

）象限.A．第四象限 B．第三象限C．第三、四象限 D．第一、二象限探究二：弧长公式与扇形面积公式月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2思路分析：思路分析：由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可【变式练习】1．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．22．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（

）A．1 B．2 C．4 D．8探究三：任意角的三角函数的概念及特殊角的三角函数值得求解“角的终边经过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件思路分析：思路分析：根据三角函数的定义可判断角的终边经过点，可以推出，当时，角的终边有两种可能位置，不一定经过点，由此可得答案.【变式练习】1．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（

）A．3 B． C． D．2．2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世人留下许多精彩瞬间，其中“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线可以表示为，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为，则当时，可以是（

）A． B． C． D．探究四：三角函数线的应用已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.【变式练习】1．若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．2．在单位圆中，可以用线段表示，和，当时，它们从小到大排序为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，探究五：同角的三角函数的关系及其应用已知（

）.A．5 B．4 C．3 D．2思路分析：思路分析：利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解.【变式练习】1．已知，且，则（

）A． B． C． D．2．化简的结果是（

）A． B． C． D．题型突破训练题型突破训练一、单选题1．下列命题：第四象限的角可表示为第二象限角大于第一象限角将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为若是第二象限角，则的终边在第一象限．其中真命题的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．已知角，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．与角终边相同的角可以表示为（）A． B．C． D．4．如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．5．设，如果且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．7．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝（）A． B． C． D．8．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．是第二象限角 B．已知，则C． D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为310．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（

）A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2D．的最小值为311．已知，那么下列命题正确的是（

）A．若角、是第一象限角，则B．若角、是第二象限角，则C．若角、是第三象限角，则D．若角、是第四象限角，则12．已知且.下列选项中，满足为定值（与a，x的取值均无关）的是（

）A．，B．，C．，D．，三、填空题13．已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为___________.（写出一个即可）14．已知，且，则____.15．若实数，满足，则的最大值为______.16．若，则x的取值范围是____________.四、解答题17．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：，(1)把表示成的形式；(2)求，使与的终边相同，且．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式．19．已知.(1)求的值(2)若，求的值.20．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有．可见可以表示为的三次多项式．(1)对照上述方法，将可以表示为的三次多项式；(2)若，解关于x的方程．21．根据下列条件，求三角函数值(1)已知，且为第二象限角，求的值；(2)已知，求的值．22．（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.（2）若，，求的值.常考题型20任意角、弧度制与三角函数的概念必备知识必备知识1.角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角相同的角可写成．2.弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：；．若一个角的弧度数为，角度数为，则，．3.任意角的三角函数设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么①点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；②点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；③点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．4.扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．(2)扇形面积公式5.角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.角度制弧度制6.象限角：象限角集合区间第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角7.同角的三角函数关系同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).方法指导方法指导一、三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.二、三角函数线的应用1．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．2．利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．3．利用三角函数线比较大小的步骤①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．三、应用弧度制解决问题的方法1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．四、同角的三角函数关系的应用1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．3.弦的齐次问题(1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α.(2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算．4.对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．5.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．题型探究题型探究探究一：象限角及其判断已知是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角思路分析：思路分析：由已知可求，，，，逐项分析即可得解．答案：C【详解】∵是第二象限角，∴，，即，，∴是第一象限或第三象限角，故A错误；由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.故选：C．【变式练习】1．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角答案：D【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.2．若是第四象限角，则点在第（

）象限.A．第四象限 B．第三象限C．第三、四象限 D．第一、二象限答案：C【详解】因是第四象限角，即，则，当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限，当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限，所以点在第三、四象限.故选：C探究二：弧长公式与扇形面积公式月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2思路分析：思路分析：由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可答案：D【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D【变式练习】1．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．2答案：D【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D2．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：B【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴，当且仅当时,即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.故选：B.探究三：任意角的三角函数的概念及特殊角的三角函数值得求解“角的终边经过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件思路分析：思路分析：根据三角函数的定义可判断角的终边经过点，可以推出，当时，角的终边有两种可能位置，不一定经过点，由此可得答案.答案：A【详解】由角的终边经过点，设点为P，则,可得,由，知终边在第一象限或第二象限，因此角的终边经过点或，所以“角的终边经过点”是“”的充分不必要条件，故选：A【变式练习】1．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（

）A．3 B． C． D．答案：C【详解】解：因为角的终边上一点，所以，又，所以为第四象限角，所以，又因，所以.故选：C.2．2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世人留下许多精彩瞬间，其中“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线可以表示为，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为，则当时，可以是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由三角函数的定义，得，代入曲线方程有，则，由选项：若时，若时，若时，若时，故选：C.探究四：三角函数线的应用已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.答案：C【详解】先证明：当0＜x＜时，如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函数在上单调递增，所以又由函数在上单调递减，则所以所以，即故选：C．【变式练习】1．若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】如图，在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线.由图知，，又分别与轴、轴的正方向相反，而与轴的正方向相同，所以.故选：D2．在单位圆中，可以用线段表示，和，当时，它们从小到大排序为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，答案：B【详解】上图所示圆为单位圆，设，则，，，观察可得，当时，故选：B探究五：同角的三角函数的关系及其应用已知（

）.A．5 B．4 C．3 D．2思路分析：思路分析：利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解.答案：A【详解】因为，由题意可知:,将分式的分子和分母分别除以，可得:,解得:.故选：.【变式练习】1．已知，且，则（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由已知，，平方得：，∴∴∵，∴，，∴，∴.故选：C.2．化简的结果是（

）A． B． C． D．答案：D【详解】．故选：D题型突破训练题型突破训练一、单选题1．下列命题：第四象限的角可表示为第二象限角大于第一象限角将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为若是第二象限角，则的终边在第一象限．其中真命题的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个答案：A【详解】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错，对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错，对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错，对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错，所以真命题的个数为0，故选：A.2．已知角，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：C【详解】因为，而，所以的终边在第三象限.故选：C.3．与角终边相同的角可以表示为（）A． B．C． D．答案：A【详解】与角终边相同的角为，故与角终边相同的角可以表示为.故选：A4．如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】解：对于A：若，，满足，但是，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误；故选：C5．设，如果且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】，，则，所以，，则，所以．故选：D．6．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】根据题意在单位圆中作出角的正弦线、余弦线和正切线，如下：由图可知，∵，∴，∴，∴，故选：B7．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝（）A． B． C． D．答案：A【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．8．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】因为，，则，又因为，所以，故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．是第二象限角 B．已知，则C． D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为3答案：ACD【详解】，是第二象限角，则是第二象限角，故A正确；，，故B错误；，故C正确；设扇形的半径为，则，则，故D正确；故选：ACD10．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（

）A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2D．的最小值为3答案：ABC【详解】对于A：因为r=1,周长为l+2r=4，所以l=4-2r=2，所以扇形的面积为,故A正确；对于B：由已知l+2r=4，所以l=4-2r，又扇形的面积为，（当且仅当，即时取得最大值）.故B正确;对于C：当扇形面积为最大时，由对上面选项B分析可知且时,面积最大,圆心角.故C正确；对于D.因为，所以，所以（当且仅当，即时等号成立）.故D错误.故选：ABC11．已知，那么下列命题正确的是（

）A．若角、是第一象限角，则B．若角、是第二象限角，则C．若角、是第三象限角，则D．若角、是第四象限角，则答案：BCD【详解】设角、的终边分别为射线、．对于A，如图1，，此时，，，所以，故A错误；对于B，如图2，，此时，，且，所以，故B正确；对于C，如图3，，此时，，且，所以，故C正确；对于D，如图4，，，即，故D正确．故选：BCD.12．已知且.下列选项中，满足为定值（与a，x的取值均无关）的是（

）A．，B．，C．，D．，答案：ABC【详解】对于A：为定值.故A正确；对于B：为定值.故B正确；对于C：为定值.故C正确；对于D：