苏教版八年级数学暑假第13讲实数比较大小、运算、近似数练习(学生版+解析)

第13讲实数比较大小、运算、近似数【学习目标】1．理解有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用；2．掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算；3.理解近似数和有效数字的概念；【基础知识】一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．四．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【考点剖析】一．实数大小比较（共6小题）1．（真题•高邮市期末）下列各数中，大于5且小于6的无理数是A． B． C．5.5050050005 D．2．（2022春•吴江区期中）若，，，则，，数的大小关系是A． B． C． D．3．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：①②4．（2022春•泗阳县月考）若，，，则、、的大小关系是．5．（2022春•沭阳县月考）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：，，．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，并作出了如下的证明：设，，则，即，所以，即．所以，，．试解决下列问题：①计算，，；②若令，，，试探索，，与的大小关系．6．（真题•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为，所以2，所以（填“”或“”；小英的方法是：，因为，所以0，所以0，所以（填“”或“”．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．二．估算无理数的大小（共8小题）7．（2022春•睢宁县月考）下列无理数，与最接近的是A． B． C． D．8．（真题•广陵区期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则A．4 B．3 C．2 D．19．（2022•东海县二模）已知，，，．若为整数且，则的值为A．43 B．44 C．45 D．4610．（2022•秦淮区一模）与最接近的整数是．11．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中取正整数，且取尽可能大的正整数．例如：把化成，再根据近似公式得出，若利用此公式计算的近似值时，则．12．（2022春•如皋市校级月考）已知是的整数部分，是的小数部分，则．13．（2022春•海安市校级月考）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为；是的整数部分．（1）求的值；（2）求的平方根．14．（2022春•海门市月考）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，2.13的小数部分为．（1），，的小数部分．（2）设的小数部分为，则．（3）已知：，其中是整数；且，则的相反数是．三．实数的运算（共6小题）15．（2022春•海门市期中）计算：．16．（2022春•崇川区校级期中）计算：（1）；（2）．17．（2022春•海安市校级月考）计算：（1）；（2）．18．（真题•玄武区校级期末）计算．19．（2022•盐城开学）计算：．20．（2022春•海安市校级月考）计算：（1）；（2）．四．近似数和有效数字（共3小题）21．（真题•射阳县校级期末）小明体重为，这个数精确到十分位的近似值为A． B． C． D．22．（真题•句容市期末）小亮的体重为，精确到得到的近似值为．23．按括号里的要求对下列各数取近似值．（1）1.5982（精确到（2）0.03049（精确到（3）33074（精确到百位）（4）816056.1（精确到【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（真题•江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是A．精确到百分位 B．精确到0.01 C．精确到百位 D．精确到万位2．（真题•沐川县期末）比较和的大小，下面结论正确的是A． B． C． D．无法比较3．（2022春•锡山区期中）已知满足条件，若为整数，则满足条件的整数的个数为A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．（真题•高邮市期中）下列各式中，正确的是A． B． C． D．二．填空题（共9小题）5．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：．6．（真题•海陵区期末）对于实数、，我们用符号，表示、两数中较大的数，如，．若，，则．7．（真题•沭阳县校级期末）若的值在两个整数与之间，则．8．（真题•高邮市期末）无理数的整数部分是．9．（真题•淮阴区期末）已知是正整数，且，则的值为．10．（真题•淮安月考）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※．11．（真题•海陵区校级月考）已知实数，满足，则代数式的值为．12．（真题•东台市期末）东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为．13．（真题•驿城区期末）若的整数部分是，小数部分是，则．三．解答题（共5小题）14．（2022春•海安市校级月考）（1）已知与互为相反数，求的立方根．（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的算术平方根．15．（2022春•海门市月考）计算：（1）；（2）．16．（2022春•港闸区校级月考）阅读下面的文字后回答问题：我们知道无理数是无限不循环小数，例如，的小数部分我们无法全部出来，但可以用来表示．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．17．（2022春•金乡县期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的值．18．（2022春•如皋市校级月考）计算：（1）；（2）；（3）．第13讲实数比较大小、运算、近似数【学习目标】1．理解有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用；2．掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算；3.理解近似数和有效数字的概念；【基础知识】一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．四．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．【考点剖析】一．实数大小比较（共6小题）1．（真题•高邮市期末）下列各数中，大于5且小于6的无理数是A． B． C．5.5050050005 D．【分析】首先根据无理数的定义排除、选项，再判断、的取值范围即可求解．【解答】解：由无限不循环小数为无理数的定义可知选项和选项错误，因为，，故选项错误，因为，，所以选项正确，故选：．【点评】本题考查了无理数的定义和二次根式的性质，熟知有理数和无理数的定义是解题关键．2．（2022春•吴江区期中）若，，，则，，数的大小关系是A． B． C． D．【分析】先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．3．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：①②【分析】①首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．②首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．【解答】解：①，，，，．②，，，，，．故答案为：、．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．4．（2022春•泗阳县月考）若，，，则、、的大小关系是．【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算、、的值，再比较大小．【解答】解：，，，，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．解题的关键是掌握负整数指数幂：，为正整数），零指数幂：．5．（2022春•沭阳县月考）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：2，，．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，并作出了如下的证明：设，，则，即，所以，即．所以，，．试解决下列问题：①计算，，；②若令，，，试探索，，与的大小关系．【分析】（1）根据题目所提供的方法进行计算即可；（2）①将，，转化为，，，进而得出答案；②根据定义和性质进行计算即可．【解答】解：（1），，，，，，故答案为：2，0，；（2）①，，，，，，；②，，，，，，又，，即，，，，，．【点评】本题考查实数大小比较，有理数的混合运算，理解“规定运算”的定义是正确解答的关键．6．（真题•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为，所以2，所以（填“”或“”；小英的方法是：，因为，所以0，所以0，所以（填“”或“”．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；（2）仿照例题的方法进行计算即可解答．【解答】解：（1）小华的方法是：因为，所以，所以，小英的方法是：，因为，，因为，所以，所以，所以，故答案为：，，，，；（2）如果选择小华的方法，，，，如果选择小英的方法，，，，，，．【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键．二．估算无理数的大小（共8小题）7．（2022春•睢宁县月考）下列无理数，与最接近的是A． B． C． D．【分析】求出的近似值即可得出答案．【解答】解：，最接近，故选：．【点评】本题考查了无理数的估算，求出的近似值是解题的关键．8．（真题•广陵区期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先求出的范围，再根据范围求出即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．9．（2022•东海县二模）已知，，，．若为整数且，则的值为A．43 B．44 C．45 D．46【分析】根据题意可知与是两个连续整数，再估算出的值即可．【解答】解：，，，，为整数且，的值为：44，故选：．【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据题意判断与是两个连续整数，再估算出的值是解题的关键．10．（2022•秦淮区一模）与最接近的整数是6．【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：，，，，，，与最接近的整数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．11．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中取正整数，且取尽可能大的正整数．例如：把化成，再根据近似公式得出，若利用此公式计算的近似值时，则．【分析】先把化成，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，故答案为：．【点评】本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．12．（2022春•如皋市校级月考）已知是的整数部分，是的小数部分，则．【分析】先确定的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查了估算无理数的性质和求代数式的值，能确定出的范围是解此题的关键．13．（2022春•海安市校级月考）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为；是的整数部分．（1）求的值；（2）求的平方根．【分析】先根据题意求出、、的值，再逐一计算即可．【解答】解：某正数的两个不同的平方根是和，，的立方根为，，是的整数部分，，（1）；（2），其平方根为．【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数大小，解题关键14．（2022春•海门市月考）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，2.13的小数部分为．（1）1，，的小数部分．（2）设的小数部分为，则．（3）已知：，其中是整数；且，则的相反数是．【分析】（1）根据平方运算估算出，的值，即可解答，再根据的整数部分是3，即可求出的小数部分；（2）根据平方运算估算出，的值，即可解答；（3）利用（1）的结论可得，从而求出，的值，进而求出的值，然后根据相反数的意义，即可解答．【解答】解：（1），，，，，，的小数部分为：，故答案为：1，2，；（2），，的整数部分为2，的小数部分为：，，，，，，故答案为：1；（3），，，是整数，且，，，，的相反数为：，故答案为：．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．三．实数的运算（共6小题）15．（2022春•海门市期中）计算：．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16．（2022春•崇川区校级期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，再合并得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则，进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．17．（2022春•海安市校级月考）计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（真题•玄武区校级期末）计算．【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．19．（2022•盐城开学）计算：．【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方计算．【解答】解：原式．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值、立方根、算术平方根和有理数的乘方的性质是解题关键．20．（2022春•海安市校级月考）计算：（1）；（2）．【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）首先根据乘法分配律计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）．（2）．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．四．近似数和有效数字（共3小题）21．（真题•射阳县校级期末）小明体重为，这个数精确到十分位的近似值为A． B． C． D．【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．【解答】解：精确到十分位的近似值为．故选：．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．22．（真题•句容市期末）小亮的体重为，精确到得到的近似值为49.7．【分析】把百分位上的数字5进行五入即可．【解答】解：小亮的体重为，精确到得到的近似值为．故答案为：49.7．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．23．按括号里的要求对下列各数取近似值．（1）1.5982（精确到（2）0.03049（精确到（3）33074（精确到百位）（4）816056.1（精确到【分析】（1）直接将小数点后第三位四舍五入即可；（2）直接将小数点后第五位四舍五入即可；（3）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；（4）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可；【解答】解：（1）（精确到（2）（精确到（3）（精确到百位）（4）（精确到【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（真题•江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.05万，下列说法正确的是A．精确到百分位 B．精确到0.01 C．精确到百位 D．精确到万位【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：四舍五入法得到的近似数1.05万，近似数精确到百位．故选：．【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式，2．（真题•沐川县期末）比较和的大小，下面结论正确的是A． B． C． D．无法比较【分析】先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．3．（2022春•锡山区期中）已知满足条件，若为整数，则满足条件的整数的个数为A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：，，，，为整数，满足条件的整数有4，5，6，7，8，9，10共7个，故选：．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．4．（真题•高邮市期中）下列各式中，正确的是A． B． C． D．【分析】先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．【解答】解：，故选项错误；，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．二．填空题（共9小题）5．（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：．【分析】首先求出、的平方，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．【解答】解：，，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．6．（真题•海陵区期末）对于实数、，我们用符号，表示、两数中较大的数，如，．若，，则．【分析】分和两种情况讨论，求出符合题意的的值即可．【解答】解：若，则，，，不合题意，若，则，，，符合题意，，，故答案为：．【点评】本题主要考查实数的大小比较，关键是要考虑到两种情况，会分类讨论．7．（真题•沭阳县校级期末）若的值在两个整数与之间，则3．【分析】利用的取值范围，进而得出的值．【解答】解：的值在两个整数与之间，，．故答案为：3．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．8．（真题•高邮市期末）无理数的整数部分是1．【分析】估算出的范围，写出的范围，从而得到整数部分．【解答】解：，，，的整数部分是1，故答案为：1．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．9．（真题•淮阴区期末）已知是正整数，且，则的值为5．【分析】估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：，为正整数，且，．故答案为：5．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．10．（真题•淮安月考）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※．【分析】按新定义的运算规定化简求值．【解答】解：6※．故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．11．（真题•海陵区校级月考）已知实数，满足，则代数式的值为．【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：，，，解得：，，则原式．故答案为：．【点评】此题考查了实数的运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（真题•东台市期末）东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为．【分析】精确到千位，根据四舍五入法，保留到第二个5这一位，将后面的5“五入”即可．【解答】解：数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为．故答案为：．【点评】本题考查近似数和有效数字，用科学记数法表示近似数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．13．（真题•驿城区期末）若的整数部分是，小数部分是，则．【分析】先估计的范围，求出，，再求．【解答】