沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训02相交线平行线压轴题(原卷版+解析)

特训02相交线平行线压轴题解答题1．（2022春·上海·七年级期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．2．（2022春·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．(1)如图，平分，若，求的度数．(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．3．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．4．（2021春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）已知，点B为平面内一点，于B．(1)如图，直接写出和之间的数量关系．(2)如图，过点B作于点D，求证：．(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．5．（2018春·上海松江·七年级统考期中）（1）如图，是直线，内部一点，，连接，．探究猜想：①当，，则___________；②猜想图1中、、的关系：___________________________________（2）如图，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点．图2中分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，，的关系（不要求说明理由），，的关系为：____________________________________________________．（3）如图，，已知，，___________．（用含有、的代数式表示）6．（2021春·上海·七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

7．（2022春·上海·七年级专题练习）问题情境：如图1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；(2)问题迁移：如图2，ABCD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．8．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）(1)求∠CBD的度数．(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．9．（2021春·上海金山·七年级统考期中）如图，已知直线∥，直线与直线，分别交于点和点，在直线上存在一点．(1)若点在点与点之间运动，那么∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点在两点的外侧运动（点与点不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系（请直接写出答案）．10．（2021春·上海·七年级校考期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题：(1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；(2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．11．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．12．（2022春·上海·七年级期中）请回答下列各题．(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）．13．（2022春·上海·七年级期中）已知，点为平面内的一点，．(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．解：．（根据如图填射线的画法）因为，所以（）．所以（两直线平行，内错角相等）；（请继续完成接下去的说理过程）(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是，度．14．（2021春·上海·七年级期中）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则度（请直接写出答案）．15．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点M、N分别为上的点，在之间存在一点P满足．(1)如图1，若，求的度数（用含α的代数式表达）．(2)如图2，过点P作于点H，点E、F在上，连接，若平分，平分，求与的数量关系．(3)在（2）的条件下，若，求的度数．16．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．(1)导入：如图①，已知，如果，，那么；(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果，那么；如图④，已知，点、分别在、上，、分别平分和．如果，那么；如图⑤，已知，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么．(用含的代数式表示)17．（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．(1)求证：；(2)如图2，平分交于，，平分，，①若，时，求的度数；②如图3，平分，，交于点，若，求的值．18．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且，(1)如图1，求证：；(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数．19．（2023春·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明；(2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；(3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；(4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图1，已知，点为平面内一点，于点，于点．(1)求证：；(2)如图2，平分，平分，分别交直线于点，连接，若，，求的度数．21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．22．（2023春·七年级单元测试）已知，，点M在上，点N在上．(1)如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）(2)如图3中，平分，平分，且，求的度数．(3)如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．23．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为；（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系：；（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系：．24．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）．(1)若，则________；(2)如图1，________；若点E在的上方，设，则________（用含β的式子表示）；(3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．①当（如图2）时，直接写出________﹔②当时，直接写出________；(4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．25．（2023春·全国·七年级专题练习）已知直线，直线分别与、交于点、，直线经过点，与交于点，且．(1)如图所示，当时，①求的度数；②在直线上取一点，使得，求的度数．(2)如图所示，在射线上任取一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，请写出、、间的数量关系，并说明理由．26．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级统考期末）已知：如图，直线，于点，连接且分别交直线于点．(1)如图①，若和的角平分线、交于点，请求的度数；(2)如图②，若的角平分线分别和直线及的角平分线的反向延长线交于点和点，试说明：；(3)如图③，点为直线上一点，连结，的角平分线交直线于点，过点作交的角平分线于点，若记为，请直接用含的代数式来表示．特训02相交线平行线压轴题一、解答题1．（2022春·上海·七年级期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．【解析】解：（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．2．（2022春·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．(1)如图，平分，若，求的度数．(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)或，证明见解析【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可．（2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可．【解析】（1）解：如图，作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，．（2）解：①如图，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．②如图，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．综上，可得当在直线上运动（不与点重合）时，或．【点睛】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．3．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．【解析】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如图③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．4．（2021春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）已知，点B为平面内一点，于B．(1)如图，直接写出和之间的数量关系．(2)如图，过点B作于点D，求证：．(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；（2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到；（3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，．【解析】（1）如图1，∵，∴，∵，∴，∴，，故答案为：；（2）如图2，过点B作，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，．（3）如图3，过点B作，∵BF平分，BE平分，∴，，由（2）知，∴，设，，则，，，，∴∵，，∴，中，由得，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．5．（2018春·上海松江·七年级统考期中）（1）如图，是直线，内部一点，，连接，．探究猜想：①当，，则___________；②猜想图1中、、的关系：___________________________________（2）如图，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点．图2中分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，，的关系（不要求说明理由），，的关系为：____________________________________________________．（3）如图，，已知，，___________．（用含有、的代数式表示）【答案】（1）①；②；（2）当点在区域时，；当点在区域时，；（3）【分析】（1）①过点E作，则,得出，即可得出结果；②由①即可得出结果；（2）①当P位于区域内时，过点P作PN平行AB，由平行四边形的性质得出,则，得出，，再由,，即可得出结果；②当P位于区域内时，过点P作PN平行AB，由平行四边形的性质得出，则，得出,,即可得出结果；（3）过点F作,由（1）得，,即，即可得出结果．【解析】解：（1）①过点E作，如图1所示：②由①得：（2）①当P位于区域内时，过点P作PN平行AB,如图2①所示：四边形ABCD是平行四边形则，,②当P位于区域内时，过点P作PN平行AB,如图2②所示：四边形ABCD是平行四边形则,故答案为：当点在区域时，；当点在区域时，；（3）过点F作，如图3所示：由（1）得，即【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理、平行线的性质定理，作出合适的辅助线及掌握性质定理是解题的关键．6．（2021春·上海·七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等；（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；（3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路．【解析】（1）∵与有共同的边AB，又∵，∴与的高相等，即与同底等高，∴=，故答案为：=；（2）方法一：连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，则与同底等高，∴，∴，即，又由可知与同底等高，∴，∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；方法二连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，则与同底等高，∴，∴，即，又由可知与同底等高，∴，∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；（3）方法一连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：∵，则与同底等高，∴，则，即，又由可知与同底等高，∴，∴满足修路方案；方法二：连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：∵，则与同底等高，∴，则，即，又由可知与同底等高，∴，∴满足修路方案．【点睛】本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．7．（2022春·上海·七年级专题练习）问题情境：如图1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；(2)问题迁移：如图2，ABCD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由见解析(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α【分析】（1）过P作PEAB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PEAB交AC于E，推出ABPEDC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【解析】（1）解：过点P作PEAB，∵ABCD，∴PEABCD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110．（2）解：∠APC=α+β，理由：如图2，过P作PEAB交AC于E，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，即∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，过P作PEAB交AC于E，如图所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，即∠CPA=β-α．综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．8．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）(1)求∠CBD的度数．(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．【答案】(1)60°(2)不变，∠APB：∠ADB＝2：1(3)∠ABC＝30°【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．(1)∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；(2)不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；(3)∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行④a∥b，b∥c⇒a∥c．9．（2021春·上海金山·七年级统考期中）如图，已知直线∥，直线与直线，分别交于点和点，在直线上存在一点．(1)若点在点与点之间运动，那么∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点在两点的外侧运动（点与点不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系（请直接写出答案）．【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析．【分析】（1）过作，则，利用平行线的性质可得，，两式相加即可得．（2）由平行线的性质可得，又因为，，所以，即．（1）解：，理由如下：过作，∵a∥b，，，，，即．（2）解：，理由如下：∵a∥b，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的相关性质定理是解决本题的关键．10．（2021春·上海·七年级校考期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为（旋转角，请探究下列问题：(1)如图2，当旋转角满足时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；(2)如图3，当旋转角满足时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，理由见解析；(2)∠BCE-∠ACD=120°，理由见解析；(3)旋转角为60°或240°．【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果；（2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果；（3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果．（1）解：∠BCD=∠ACE，理由如下：∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE；（2）∠BCE-∠ACD=120°，理由如下：∵∠BCE=∠BCA+∠ACD+∠DCE，∴∠BCE-∠ACD=∠BCA+∠DCE=120°；（3）∵DE∥BC，∴①∠BCD=∠D=60°，边CD与边AC重合，旋转角α=60°；∴②∠BCD+∠D=180°，旋转角α=180°+60°=240°，∴当DE∥BC时，旋转角为60°或240°．【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键．11．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)60°(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）由求出的度数，取出的值，根据计算求解即可；（2）对顶角相等可知，由求的值，进而结论得证；（3）由题意知，，则，整理可得的关系．【解析】（1）解：∵，∴，又∵OM平分∠BOC，∴，又∵，∴，∴∠BON的值为60°．（2）解：∵，∴，∴，∴射线OP是∠AOC的平分线．（3）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．12．（2022春·上海·七年级期中）请回答下列各题．(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）．【答案】(1)证明见解析(2)60°(3)70或290【分析】（1）由可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立；（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得；（3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等），同理可证，∠F＝∠DCF．∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换）（2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．故答案为：60°．（3）如图3中，当点Q在直线GH的右侧时，∵AB∥CD∥EF，∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得：．故答案为：70或290．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键．13．（2022春·上海·七年级期中）已知，点为平面内的一点，．(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．解：．（根据如图填射线的画法）因为，所以（）．所以（两直线平行，内错角相等）；（请继续完成接下去的说理过程）(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是，度．【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析(2)(3)，45【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论；（2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论；（3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案(1)解：如图①，过点作，，（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．．，．．，．．(2)解：如图②，过点作，．，．．，．．．故答案为：．(3)解：如图③，过点作，，，．，，．．，由（2）已得：，；平分，．平分，．，故答案为：，45．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．14．（2021春·上海·七年级期中）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则度（请直接写出答案）．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，则；（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．【解析】解：（1）如图1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如图，当为钝角时，由（1）中结论可知，，；当为锐角时，如图，由（1）中结论可知，，即，综上，或．故答案为：70或290．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．15．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，点M、N分别为上的点，在之间存在一点P满足．(1)如图1，若，求的度数（用含α的代数式表达）．(2)如图2，过点P作于点H，点E、F在上，连接，若平分，平分，求与的数量关系．(3)在（2）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图所示，过点P作，先证明则得到再由即可得到答案；（2）根据角平分线的定义得到再根据即可推出结论；（3）设由角平分线的定义得到由得到则即可得到再由得到进一步推出，再由得到证明得到解得则【解析】（1）解：如图所示，过点P作，∵（2）解：平分平分（3）解：设平分，解得【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．16．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．(1)导入：如图①，已知，如果，，那么；(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果，那么；如图④，已知，点、分别在、上，、分别平分和．如果，那么；如图⑤，已知，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么．(用含的代数式表示)【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(i)；(ii)；(iii)【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解；（2）过点作，根据（1）的方法即可求解；（3）（）由（2）可得，，得出，根据，即可求解；（）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解；（）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论．【解析】（1）解：如图1，∵∴∵，，∴∴故答案为：．（2）,如图所示，过点作，，，，，，；（3）解：（）由（2）可得，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．（）解：如图所示，∵由“猪蹄模型”，可得，；∵、分别平分和∴∴∴，∴,故答案为：．（）解：如图所示，延长交于点，设，∵、分别平分和，∴，∵∴，∵∴，∴∴．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．17．（2023秋·湖北荆门·七年级统考期末）如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．(1)求证：；(2)如图2，平分交于，，平分，，①若，时，求的度数；②如图3，平分，，交于点，若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)①；②．【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；（2）①如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；②如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．【解析】（1）证明：∵，∴．∵，∴，∴；（2）①解：如图，过点H作．∴．由题意可知：，故可设，则．∵，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．由（1）可知，∴，∴，解得：．∴，．∵，∴，∴；②解：如图，过点M作．由题意可设，则．∵，平分∴，．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，，∴．∵，∴．∴，即．由（1）可知，∴，∴．即，解得：，∴．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．18．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且，(1)如图1，求证：；(2)如图2，点M，N分别在射线GE，HF上，点P，Q分别在射线CA，HC上，连接MP，NQ，且，分别延长MP，NQ交于点K，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度数．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）利用，再利用等量代换，即可解决；（2）过作，因为，所以，则，，代入即可解决．（3）过作，过作，可以得到，设，利用平行线的性质，用表示出角，即可解决．【解析】（1），，，，（2）过作，如图，，，，，，（3）如图，过作，过作，，，平分∴可设，∵平分,【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角．19．（2023春·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明；(2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；(3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；(4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠，理由见解析；(3)，理由见解析；(4)α【分析】（1）如图所示：过点作，则，根据平行线的性质得出，即可得出；（2）过点作，，根据（1）的方法得出，继而得出；（3）过点作，根据平行线的性质得出，即可得出；（4）过点作，过点作，则，得出，，根据，，根据角平分线的定义得出，，根据，即可求解．【解析】解：（1）如图所示：过点作，，，，，，；（2），理由如下：如图所示：过点作，，，，，，，；（3），理由如下：如图所示：过点作，，，，，，；（4）如图所示：过点作，过点作，，，，，，，，，，，的平分线和的平分线交于点，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．20．（2023春·七年级单元测试）如图1，已知，点为平面内一点，于点，于点．(1)求证：；(2)如图2，平分，平分，分别交直线于点，连接，若，，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】(1)根据平行线的性质可得角相等，再利用余角的性质即可到结论；(2)根据平行线的性质，角平分线的定义，邻角互补，余角的性质即可求得的度数．【解析】（1）证明：延长，交于点，如图：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：延长，交于点，延长到点，如图，设，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了余角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，邻角互补等相关知识点，熟练掌握余角的性质，角平分线的定义是解题的关键．21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．【答案】(1);(2)见解析；(3)．【分析】（1）如图，过E作，根据平行公理得，根据平行线的性质得，，对角进行加减运算即可求；（2）根据垂直和周角的概念可得，根据平行线的性质得，根据邻补角得，然后等量代换即可求得结果；（3）结合已知求得由（1）可知，，结合已知和邻补角得，由（2）的结论得求出，最后根据三角形内角和求出依据，利用平行线的性质即可求解．【解析】（1）如图，过E作，，，，，，即；（2）证明：、，，，，，，，；（3），由（1）可知，，，，，，由（2）可知，，解得：，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质的综合应用，垂直和邻补角的概念；解题的关键是依据平行线的性质找到角之间的数量关系．22．（2023春·七年级单元测试）已知，，点M在上，点N在上．(1)如图1中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）如图2中，、、的数量关系为：______．（不需要证明）(2)如图3中，平分，平分，且，求的度数．(3)如图4中，，，，（k是常数），且，则的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，直接写出的度数______．【答案】(1)；(2)；(3)的大小没发生变化，．【分析】（1）过E作，易得，根据平行线的性质可求解；过F作，易得，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得，可求解，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知，进而可求解．【解析】（1）解：过E作，如图1，∴，∵，∴，∴，∴，即；如图2，过F作，∴，∵，∴，∴，∴，即：．故答案为：；；（2）解：由（1）得；．∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴；（3）解：的大小没发生变化，．由（1）知：，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．23．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为