沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训01实数压轴题(原卷版+解析)

特训01实数压轴题一、解答题1．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．2．（2023春·上海·七年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．3．（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？4．（2023春·上海·七年级专题练习）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵，，，∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：__________．5．（2023春·上海·七年级专题练习）对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为a的根整数.如{}=4.(1)计算{}=？(2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值；(3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数，次后结果为2.6．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：，，求的值.7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）观察下列等式：；；；……(1)【观察猜想】根据以上规律归纳出：①______________．（不填中间式子）②_______________．（不填中间式子）(2)【论证猜想】请证明②这个等式．(3)【拓展运用】根据以上规律，求的值．8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．9．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有，，，，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第个数（用表示）；(3)求的值．10．（2020秋·四川攀枝花·八年级校考阶段练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值；（2）已知，其中是一个整数，，求．11．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为，AC长等于；【找一找】如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点是这个数轴的原点；【画一画】如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；②写出a、m的数量关系：．12．（2019春·七年级课时练习）已知，求下列各式的值:，13．（2023春·上海·七年级专题练习）如果，求的值．14．（2023春·七年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写结果：①________．②________．15．（2020春·福建厦门·七年级厦门市华侨中学校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过下列步骤估计的大小．第一步：因为12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通过取1和2的平均数缩小所在的范围：取，因为1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）请仿照第一步，通过运算，确定界于哪两个相邻的整数之间？（2）在1＜＜1.5的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至m＜＜n，使得n－m=．16．（2018春·山西·七年级统考阶段练习）阅读理解，回答问题.我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题：（1）的小数部分是；（2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分.①的取值范围是；②当是5的倍数时，求的值.17．（2019秋·江苏泰州·七年级校考期中）下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）观察发现：__________．（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即；（3）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值．18．（2021春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）请解答：（1）整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．19．（2020秋·北京海淀·七年级统考期末）给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)的值为______，的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；②与“模二相加不变”的两位数有______个20．（2020秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值.例如，对于数列2，-1，3，因为，，，所以数列2，-1，3的价值为.小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列-1，2，3的价值为；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.根据以上材料，回答下列问题：(1)数列4，3，-2的价值为______.(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过程并作答).(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______(直接写出答案).21．（2021秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下面文字，然后回答问题．给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，．(1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________．(2)已知，其中m是整数，且，求的值；(3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值．23．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）动手试一试：图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．基础巩固：(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积为，边AD的长为；(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，则点E表示的数是；(3)变式拓展：图3是由25个边长均为1的小正方形组成的图形，①你能从中剪出一个面积为13的大正方形（大正方形的顶点都在小正方形的顶点上）吗？若能，请在图中画出示意图；若不能，请说明理由；②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．特训01实数压轴题一、解答题1．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：，；（3）由特殊到一般，得出结论：．（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．【解析】（1）∵，，∴，故答案为：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）设，，则，∴，∴，∴．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．2．（2023春·上海·七年级专题练习）阅读下面的文字，解答问题．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：．（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定义进行计算即可；（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．【解析】解：（1）由定义可得，，，．故答案为：2；．（2），，即，整数的值为1、2、3．故答案为：1、2、3．（3），即，可设，且是自然数，是符合条件的所有数中的最大数，，，，，，即．故答案为：256，4．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．3．（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【解析】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是两位数；（2）∵125，343，729，∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵，且59319的立方根是两位数，∴59319的立方根的十位数字是3，又∵59319的立方根的个位数字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是两位数；∵125，343，729，∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；∵，且103823的立方根是两位数，∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．4．（2023春·上海·七年级专题练习）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵，，，∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：__________．【答案】（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【解析】解：（1）第一步：，，，，能确定110592的立方根是个两位数．第二步：的个位数是2，，能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，而，则，可得，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：，，，，能确定21952的立方根是个两位数．第二步：的个位数是2，，能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，而，则，可得，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．即，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．5．（2023春·上海·七年级专题练习）对于实数a,我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{a}为a的根整数.如{}=4.(1)计算{}=？(2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值；(3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{}=4,再进行第二次求根整数{}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数，次后结果为2.【答案】(1)3；(2)2，3，4(3)3【分析】（1）先计算出的大小，再根据新定义可得结果；（2）根据定义可知1＜≤2，可得满足题意的m的整数值；（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.【解析】解：（1）根据新定义可得，{}=3，故答案为3；（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1＜≤2，可得m的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4；（3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.6．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：，，求的值.【答案】50.【分析】首先利用完全平方公式对根号下的式子进行变形，然后开方，而符合平方差公式，分解因式后分式可以约分，继续化简可得原式=，将代入即可解答.【解析】解：，==，=，=，=，=，∵，∴原式==50.【点睛】本题所考查的内容“分式的运算”和分数指数幂，全面考查了平方差公式、完全平方公式、幂的运算、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．7．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）观察下列等式：；；；……(1)【观察猜想】根据以上规律归纳出：①______________．（不填中间式子）②_______________．（不填中间式子）(2)【论证猜想】请证明②这个等式．(3)【拓展运用】根据以上规律，求的值．【答案】(1)①；②(2)证明见解析(3)【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可．②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可．（2）通分，运用完全平方公式计算即可．（3）根据计算后，两边分别求和计算即可．【解析】（1）①；故答案为：．②，故答案为：．（2）证明：左边右边．（3）由题意可知，，，∴．【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键．8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴＞2.6，设＝2.6＋r，如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即≈2.65；（2）∵，∴＞2.64，设＝2.64＋r，如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7，∴r≈0.006，即≈2.646；（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m∴设，如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得，∴，∵b＝n2＋m，∴，∴．【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式．9．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有，，，，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第个数（用表示）；(3)求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；（2）先计算出即可发现，；（3）先推出据此求解即可．（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵∴，∴，∴，∵，，，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了与实数运算有关的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．10．（2020秋·四川攀枝花·八年级校考阶段练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值；（2）已知，其中是一个整数，，求．【答案】（l）1；（2）28．【分析】（1）先估算出和的大致范围，再求得a、b的值，然后代入计算即可；（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴原式．【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a、b的值是解答本题的关键．11．（2020·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为，AC长等于；【找一找】如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点是这个数轴的原点；【画一画】如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；②写出a、m的数量关系：．【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；②解①中的方程组，即可得到m＝4a．【解析】解：（1）【算一算】：记原点为O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以点C表示的数为5，AC长等于8．故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原点为O，∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，∴N为原点．故答案为：N．（3）【画一画】：记原点为O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中点M，得AM＝BM＝n，以点O为圆心，AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，则点G即为所求．+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案为：m＝4a．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．12．（2019春·七年级课时练习）已知，求下列各式的值:，【答案】（1）7，（2）47，（3）18.【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案；（2）对（1）的结果利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案；（3）利用立方和公式变形结合（1）的结果代入即可.【解析】解：（1）∵，∴，即+2=9，∴；（2）∵，∴,即.∴；（3）=，∵，，∴原式==18.【点睛】此题主要考查了分数指数幂的意义以及完全平方公式立方和公式，正确将原式变形是解题关键．13．（2023春·上海·七年级专题练习）如果，求的值．【答案】0【分析】先根据完全平方式的非负性得到x与a、x与b间的等量关系式，再代入求值即可．【解析】解：∵，∴，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了因式分解、完全平方式的非负性等知识点，解题关键是掌握立方和的因式分解公式．14．（2023春·七年级单元测试）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写结果：①________．②________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【解析】（1）①，，∴，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，而，∴，可得，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.15．（2020春·福建厦门·七年级厦门市华侨中学校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过下列步骤估计的大小．第一步：因为12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通过取1和2的平均数缩小所在的范围：取，因为1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）请仿照第一步，通过运算，确定界于哪两个相邻的整数之间？（2）在1＜＜1.5的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至m＜＜n，使得n－m=．【答案】（1）界于8和9相邻的整数之间；（2）1.375＜＜1.5．【分析】（1）根据第一步，由82=64，92=81，即可确定界于哪两个相邻的整数之间；（2）先根据第二步中取平均数的方法，求1和1.5的平均数，再求得1.25＜＜1.5；同理再求1.25和1.5的平均数，得到1.375＜＜1.5，从而得出结论.【解析】解：（1）因为82=64，92=81，64＜66＜81，所以8＜＜9；（2）通过取1和1.5的平均数确定所在的范围：取,因为1.252=1.5625，1.5625＜2，所以1.25＜＜1.5，n-m=1.5-1.25=0.25＞；通过取1.25和1.5的平均数确定所在的范围：取,因为1.3752=1.890625，1.890625＜2，所以1.375＜＜1.5，n-m=1.5-1.375=0.125=．故1.375＜＜1.5．【点睛】本题为阅读理解题，主要考查算术平均数的定义以及估算无理数的大小．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，难度适中．16．（2018春·山西·七年级统考阶段练习）阅读理解，回答问题.我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题：（1）的小数部分是；（2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分.①的取值范围是；②当是5的倍数时，求的值.【答案】（1）；（2）①；②当是5的倍数时，的值为24或31.【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可；（2）①根据表示的小数部分可得m的取值范围；②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入中计算即可.【解析】解：（1）∵＜＜，∴2＜＜3，∴的小数部分是；（2）①∵表示的小数部分，∴3＜＜4，∴；②∵且是5的倍数，∴或，当时，，当时，，综上，当是5的倍数时，的值为24或31.【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解题的关键.17．（2019秋·江苏泰州·七年级校考期中）下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．（1）观察发现：__________．（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即；（3）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值．【答案】（1）；；（2）①；②；（3）．【分析】（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；（2）①先变形为，再利用（1）中的规律解题；②先变形为，再逆用分数的加法法则即可分解；（3）按照定义“”法则表示出，再利用（1）中的规律解题即可．【解析】解：（1）观察发现：，＝＝＝；故答案是：；.（2）初步应用：①=；②；故答案是：；.（3）由定义可知：＝===.故的值为．【点睛】考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．18．（2021春·河南驻马店·七年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）请解答：（1）整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【答案】（1）7；-7；（2）5；（3）13-．【分析】（1）估算出的范围，即可得出答案；（2）分别确定出a、b的值，代入原式计算即可求出值；（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得出y的值，进而求出y的值，即可求出所求．【解析】解：（1）∵7﹤﹤8，∴的整数部分是7，小数部分是-7．故答案为：7；-7．（2）∵3﹤﹤4，∴，∵2﹤﹤3，∴b＝2∴|a-b|+=|-3-2|+=5-+=5（3）∵2﹤﹤3∴11＜9+＜12，∵9+=x+y，其中x是整数，且0﹤y＜1，∴x＝11，y＝-11+9+＝-2，∴x-y＝11-(-2)＝13-【点睛】本题考查的是无理数的小数部分和整数部分及其运算．估算无理数的整数部分是解题关键．19．（2020秋·北京海淀·七年级统考期末）给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)的值为______，的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；②与“模二相加不变”的两位数有______个【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38【分析】(1)根据“模二数”的定义计算即可；(2)①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②设两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据a、b的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与“模二相加不变”的两位数的个数【解析】解:(1)，故答案为：①，，与满足“模二相加不变”.，，，与不满足“模二相加不变”.，，，与满足“模二相加不变”②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a，个位数字为b，；当a为偶数，b为偶数时，∴∴与满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）当a为偶数，b为奇数时，∴∴与不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个当a为奇数，b为奇数时，∴∴与不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合当a为奇数，b为偶数时，∴∴与满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）当此两位数大于等于77时，符合共有4个综上所述共有12+6+16+4=38故答案为：38【点睛】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．20．（2020秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值.例如，对于数列2，-1，3，因为，，，所以数列2，-1，3的价值为.小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列-1，2，3的价值为；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.根据以上材料，回答下列问题：(1)数列4，3，-2的价值为______.(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过程并作答).(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______(直接写出答案).【答案】（1）；（2）；（3）2或10.【分析】（1）根据题中给出的材料的方法计算出相应的价值即可；（2）按照三个数不同的顺序排列出6种数列，分别求出数列的价值，确定最小价值；（3）按照三个数不同的顺序排列出6种数列，求出对应的数值，根据最小价值为1，分情况列出方程求出a值，确定符合题意进行解答.【解析】解：（1）根据题意，∵，，∴数列“4，3，-2”的价值为；（2）①数列“4，3，-2”：

∵，，∴数列“4，3，-2”的价值为；②数列“4，-2，3”：∵，，∴数列“4，-2，3”的价值为1；③数列“3，4，-2”：∵，，∴数列“3，4，-2”的价值为；④数列“3，-2，4”：∵，，∴数列“3，-2，4”的价值为；⑤数列“-2，4，3”：∵，，∴数列“-2，4，3”的价值为1；⑥数列“-2，3，4”：∵，，∴数列“-2，3，4”的价值为；∴这些数列的价值的最小值为.（3）①数列“3，-8，a”：

，，②数列“3，a，-8”：，，③数列“-8，3，a”：，，④