高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形

1、正弦定理：

在AABC中，a、b、c分别为角A、B、。的对边，R为AABC的外接

圆的半径，则有：——="=――=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：

①Q=2RsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC;

②,，；

③Q:b:c=sinA:sinB:sinC;

④〃+=a=b=c.

sinA4-sinB+sinCsinAsinBsinC

注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所

对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、

两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐

角）求B。具体的做法是：数形结合思想

画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD二c三交点：

当无交点则B无解、b/!\a

x

当有一个交点则B有一解、7TbsinA〔_________

A

当有两个交点则B有两个解。D

法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:

当a<bsinA,则B无解

当bsinA〈aWb,则B有两解

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：

SAABC=g〃csinA=gabsinC=gacsinB.

4、余弦定理：

在AABC中，W«2=Z?2+C2-2/?CCOSA,h2^a2+c2-2«ccosB,

c2-a2+b2-2abcosC.

5、余弦定理的推论：

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、

已知三边求角）

6、如何判断三角形的形状：

设八人、c是AABC的角A、B、C的对边，则：

①若〃+〃=c,2,则C=90。;

②若a2+〃>c2,贝！JC<90。；

③若a2+h2<c2,贝！JC>90.___________-------'

7、正余弦定理的综合应用：/广

如图所示：隔河看两目标A、B,1

但不能到达，在岸边选取相距8千米的C、D工;

并测得NACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

NADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离。

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在AABC中，a=10,B=60°,C=45°,则c等于(B)

A.10+V3B.10(V3-l)C.73+1D.1073

2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5f_7x_6=O的根，则

三角形的另一边长为

A.52B.2万C.16D.4

3、在△ABC中，若(a+c)(a—c)=Z?(Z?+c),贝()ZA=(C)

A90°B60°C,120°D150°

4、在AABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是(D)

A.8=10,A=45°,B=70°B.a=60,c=48,B=100°

C.a=7,b5,A=80°D.a=14,b=16,A45°

5、已知勿中，a：b：c=l：V3：2,则力：夕：。等于(A)

A.1：2：3B.2：3：1

C.1：3：2D.3：1：2

6、若aABC的周长等于20,面积是10^,A=60°,则BC边的长是(C)

A.5B.6C.7D.8

二、填空题（每题5分，共25分）

7、在AA3C中，已知sinA:sin3:sinC=6:5:4,则cosA=

8、在中，4=60°,b=l,面积为百，则一丝"上一=

sinA+sin6+sinC

9、在AABC中，已知AB=4,AC=7,BC边的中线，那么BC=

10、在△曲中，已知角A、B、c所对的边分别是八b、c,边0」，且C=60o,

2

又△4BC的面积为地，贝L+人

2

三.解答题（2小题，共40分）

13、在AABC中，sin（C-A）=l,sinB=l.（I）求sinA的值；（H）设AC=C,

求AABC的面积.

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1.在AABC中，若C=90°,a=6,5=30°,贝隈一》等于（）

A.1B.-1C.273D.-273

2.若A为AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）

A.sinAB.cosAC.tanAD.

3.在aABC中，角均为锐角，且cosA>sin5,

则AABC的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三

角形

4.等腰三角形一腰上的高是百，这条高及底边的夹角为60。，

则底边长为（）A.2B.立C.3D.2V3

2

5.在△ABC中，若b=2asinB,则A等于（）

A.30°或60°B.45°或60°C.120°或60"D.30°或150°

6.边长为5,7,8的三角形的最大角及最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

二、填空题

1.在中，C=90。，则sinAsinB的最大值是。

2.在aABC中，若/=〃+尻+，，则■=0

3.在aABC中，若6=2,8=30°,。=135°,则4=o

4.在AABC中，若sinA:sinB:sinC=7:8:13,则

C=。

三、解答题

1.在aABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？

2.在aABC中，求证：2=C(W.2)

baba

3.在锐角AABC中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCo

知识点巩固练习（二）

一、选择题

1.在△ABC中，A:B.C=\:2:3,则a:A:c等于()

A.1:2:3B.3:2:1C.1：G：2D.2:61

2.在AABC中，若角8为钝角，则sinB-sinA的值（）

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定

3.在aABC中，若A=23,则a等于（）

A.2》sinAB.20cosAC.2bsinBD.2bcosB

4.在AABC中，若IgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则AABC的形状是

)

A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形

5.在△ABC中，若（47+6+0）。+。-“）=3儿,贝（］4=（）

A.90°B.60°C.135°D.150°

6.在AABC中，若，则最大角的余弦是（）

A.--B.--C.--D.--

5678

二、填空题

1.若在AABC中，4=60°力=1,5^^=百，贝壮°

2.若是锐角三角形的两内角，则tanAtanB1（填）或〈）。

3.在△ABC中，若sinA=2cos8cosC,则tan8+tanC=。

4.在aABC中，若a=9力=10,c=12,则AABC的形状是。

5.在aABC中，若a3bse="+五,贝必=________o

2

三、解答题

1.在aABC中，A=120°,c>b,a=V21,S^c=>/3,求〃,c。

2.在锐角AABC中，求证：tanA・tan5・tanC>l。

3.在△ABC中，求证：sinA+sinjB+sinC=4cos—cos—cos—o

222

4.在ZkABC中,若A+B=120°,则求证：。

5-在中，若若+'*哆则求证：”》

知识点巩固练习（三）

一、选择题

1.A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）

A.（V2,2）B.（-V2,V2）C.（-1,72]D.[-V2,V2]

2.在aABC中，若C=90。,则三边的比等于（）

A.B.C.D.

3.在AABC中，若a=7]=3,c=8,则其面积等于()

A.12B.—C.28D.6V3

2

4.在AABC中，NC=90。，0°<A<45°,则下列各式中正确的是()

A.sinA>cosAB.sinB>cosAC.sinA>cosBD.sin3>cosB

5.在aABC中，若(a+c)(a-c)=b(0+c),贝|ZA=()

A.90°B.60°C.120°D.150°

6.在aABC中，若，则AABC的形状是()

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰

三角形

二、填空题

1.在4ABC中，若sinA〉sinB,则A一定大于8,对吗？填

(对或错)

2.在4ABC中，若324+325+32。=1,则4人!^的形状是

_______________________________________O

3.在△ABC中，NC是钝角，tSx=sinC,y=sinA+sinB,z=cosA+cosB,

贝ljx,y,z的大小关系是o

4.在AABC中，若a+c=2b,则

cosA+cosC-cosAcosC+-sinAsinC=。

3-----

5.在AABC中，若2lgtan8=lgtanA+lgtanC,则B的取值范围是

6.在Z\ABC中，若〃=ac,贝股05(24-。)+©0$6+©0523的值是。

三、解答题

1.在Z\ABC中,若(a?+b2)sin(A-8)=d-〃)sin(A+B),请判断三角形

的形状。

2.如果△ABC内接于半径为R的圆，且27?(sin2A-sin2C)=(V2a-/?)sinB,

求AABC的面积的最大值。

3.已知aABC的二边a>〃>c且，求a:Z?:c

4.在aABC中，若(a+6+c)(a-b+c)=3ac,且tanA+tanC=3+百，AB边

上的高为46,求角A,6,C的大小及边a,b,c的长

答案

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1.C—=tan30°,Z?=atan30°=2A/3,c=2h=4^4,c—b=2A/3

a

2.AOvAv肛sinA>0

3.CcosA=sin(—-A)>sin都是锐角，则

22

7C,八4n4八乃

----A>B,A+3<—,C>—

222

4.D作出图形

5.Dh-2asmB,sinB-2sinAsinB,sinA=—,A=30°150°

2

6.B设中间角为e,则cos6==①士=Le=60°,180°-60°=120°为所

2x5x82

求

二、填空题

1.—sinAsinB=sinAcosA=—sin2A<—

222

2.120°cosA=b+<;~a=--,A=120°

2bc2

0Z?SmA02

3.V6-V2A=15,—g―=—^->a==4sin/l=4sinl5=4x^-

sinAsinBsinB4

4.120°Q:b:c=sinA:sinB:sinC=7:8：13,

_2]

十a=7k,b=8k、c=13%cosC=--------------=—,C=120°

2ab2

三、解答题

1.用军：acosA+hcosB=ccosC,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC

sin2A+sin23=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC

cos(A-B)=一cos(A+fi),2cosAcosB=0

cosA=0或cosi?=0,得或

所以AABC是直角三角形。

2.证明：将，代入右边

得右边=/+,2〜2)=2/-2/

2abc2abc2ab

左边，

•abcosBcosA、

••-----=cz(------------------)

haha

3.证明：••'△ABC是锐角三角形，...即

/.,BPsinA>cosB;同理sin8>cosC;sinC>cosA

/.sinA+sin5+sinC>cosA+cos5+cosC

知识点巩固练习(二)

一、选择题

1.CA=—=—,C=—,tz:/?:c=sinA:sinB:sinC=—::―=1：V3:2

632222

2.AA+B<7r,A<7r-B,且A,;r-8都是锐角，sinA<sin(^-B)=sinB

3.DsinA=sin2B=2sinBcosB,a=2bcosB

isinAi八sinA-・，.八.「

4A.nD1g------------=1g2,---------------=2,sinA=2cosBsinC

cosBsinCcosBsinC

sin(3+C)=2cos3sinC,sin3cosC-cosBsinC=0,

sin(B-C)=0,B=C,等腰三角形

5.B(tz++c)(b+c-a)=3bc,(Z?4-c)2-a2=3bc.

b1+C1-a1-3Z?c,cosA="———=—,A=60°

2bc2

6.Cc?=/+/-2Q〃COSC=9,C=3,B为最大角,

二、填空题

S=-bcsinA=-cx^-=/3,c=4,a2

1.MBCy=13,a=Vo

MBC222

a+h+c_a_V13_2>/39

-----------------=-----=-~

sinA+sinB+sinCsinA----------3

T

sin(--B)

2.>，tanA>tan(--B)=---------

2cos(y-B)

，tanA>---,tanAtanB>1

tanB

△-csinBsinC

3.2tanB+tanC=------F----

cosBcosC

_sinBcosC+cosB+sinC_sin(B+C)_2sinA

cosBcosC』sinAsinA

2

4.锐角三角形C为最大角，cosC>0,C为锐角

2+「

60°cosA=b-C—G+i

5.

2hc2cxm+母->/2xV2x(V3+l)~2

2

三、解答题

I.解：s~*in4="历=4,

a2=/+/-20ccosA,/?+c=5，而c>b

所以Z?=l,c=4

2.证明：•一△ABC是锐角三角形，，即

，即sinA>cosB；同理sin3>cosC;sinC>cosA

..”.八.八，ncsinAsinBsinC,

.♦sinAsinBsmC>cosAcosBcosC,-------------------->1

cosAcosBcosC

/.tanA-tanB•tanC>1

A+3A.—B.

3.证明：sinA+sinB+sinC=2sin-------cos-------+sm(A+B)

22

C.A+BA+BA+B

=2sin-------cos生理+2sin-------cos-------

2222

c-A+B,A-BA+B

=2sin-------(cos-------+COS

222

=2C°SQ2COS3

222

.e*sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—

222

4.证明：要证，只要证，

即a2+b2-c2=ab

而：A+8=120。,C=60°

cosC="+"———,a2+b2-c2=2abcos600=ab

lab

，原式成立。

5.证明：I,acos,C+ccos^Au^

222

•.,1+cosC,「1+cosA3sinB

..sinA-----------+sinC------------=--------

222

即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sin3

/.sinA+sinC+sin(A+C)=3sin3

B[JsinA+sinC=2sinB,/.a+c=2h

知识点巩固练习(三)

一、选择题

1.CsinA+cosA=\/2sin(A+—),

而0<A<乃:<A+—<—=z>-2/1<sin(A+—)<1

44424

CD〃+hsinA+sinB.".„

N・D------=------；--------=sinA+sinB

csinC

,A+8A—BrrA—B

=2sin------cos--------=72cos-------

222

3.DcosA=~,A=60°,S=—/?csinA=6A/3

2，，cAAscBC2

4.DA+B=90°则sinA=cosB,sin8=cosA,0°<A<45°,

sinA<cosA,45°<B<90°,sinB>cosB

5.Ca2-c2=b2+bc,b2+c2-a2=-be.cosA=-pA=120°

sinAcosBsin2Acos5sinA.八八

br.D----------；----=~—z­,--------=-----,sinAcosA4=sinBcosB

cosAsinBsinBcosAsinB

sin24=sin2B.2A=28或2A+2B=兀

二、填空题

1.对sinA>sin民则/->2=>〃>/?=>A>3

2R2R

2.直角三角形|(1+COS2A+1+COS2B)+COS2(A+B)=1,

1

—(cos2A+cos23)+cos7(A+B)=0,

cos(A+B)cos(A-fi)4-cos2(A+B)=0

cosAcosBcosC=0

3.x<y<zA+B<—,A<—~B,sinA<cosB,sinB<cosA,y<z

c<a+Z>,sinC<sinA+sinB,x<y,x<y<z

A+CA-C

4.1sinA+sinC=2sinB,2sin-------cos-------4sqe4

2222

A-C

cos----2---8sW,c"8sC=3sin&inC

222222

贝(J-sinAsinC=4sin2—sin2—

322

cosA+cosC-cosAcosC+-sinAsinC

3

4C

=-(l-cosA)(l-cosC)+l+4sin2—sin2—

22

=-2sin2--2sin2—+4sin2—sin2—+1=1

2222

匚2n4-n/%tanA+tanC

5.tan~3=tanAtanC,tanB=-tan(A+C)=-----------------

tanAtanC-1

八/,tanA+tanC

tanB=-tan(A+C)=------；--------

tan2B-l

tan3B-tanB=tanA+tanC>2VtanAtanC=2tanB

tan3B>3tanB,tanB>0=>tanB>\^=>B>—

3

6.1b2=ac,sin28=sinAsinC,cos(A-C)+cosB+cos2B

=cosAcosC+sinAsinC+cosB+1-2sin2B

=cosAcosC+sinAsinC+cosB+l—2sinAsinC

=cosAcosC-sinAsinC+cosB+\

=cos(A+C)+cosB+l=1

三、解答题

22

自力/+/_sin(A+3)a_sinAcosB_sinA

22?22

1牛・a-bsin(/l-B)bcosAsinBsinB

£2亚=sinA,sin2A=sin2fi,2A=2B或2A+2B=%

cosAsinB

...等腰或直角三角形

2.角军：2/?sinA-sinA-27?sinC-sinC=(Ca-b)sinB,

6FsinA-csinC=(yfla-b)sinB,a2-c2=y/lah-h2,

a2+b2-c2=y/2ah,cosC="+"———=^-,C=450

2ab2

—=2R,c=2RsinC=CR,a2+b2-2R2=近ab,

sinC

2R2

2R1+42ab=a2+b2>lab,ab<——产

2-V2

G1,.V2,^V22R?

S=—absmC=----ab<------------尸,

2442-72

另法：S=—absinC=^^ab=^^x2RsinAx2/?sinB

244

x2RsinAx2/?sinB=V?7?2sinAsinB

4

=V27?2xgx[cos(A-B)-cos(A+B)]

=V2/?2x—x[cos(A-5)4-

2

,6R2「夜、

此时A=5取得等号

3.用牛：sinA+sinC=2sinn,2sin---cos---=4sin---cos---

B1A-CV2B9.口6,BBx/7

sin—=-cos-------——,cos—=------,sin3=2sin—cos—=—

222424224

,一、37VBe兀B

A-C——,A+C—TC-B,A---------,C---------

24242

...,37r.3万37.°J7+1

sinA=sin(-----B)=sin——cosB-cos——sinB=--------

4444

sinC-sin(--B)-sin—cosB-cos—sinB~-

4444

a:/?:c=sinA:sinB:sinC=(7+#i):7:(7-V7)

4.解：(a+b+c)(a-h+c)=3ac,a2+c2-b2=ac,cosB=—,B=60°

2

.「、tanA+tanC后3+g

tanz(A+C)=-----------------,73=----------------,

1-tanAtanC1-tanAtanC

tanAtanC=2+V3,联合tanA+tanC=3+G

或UnA=1

得,tanA=2+6厂，即

tanC=1tanC=2+V3

4A

当A=75°,C=45°时，b==4(30-C),C=8(G—1),Q=8

sinA

当A=45°,C=75°时.，0="^=4#,c=4（G+l）,a=8

sinA

.•.当A=75°,B=60°,C=45。时，a=8,b=4（30-6）,c=8（73-1）,

当A=45°,8=60°,C=75°时，a=8/=4逐,c=4（百+1）°

解三角形单元测试题

—、选择题：

1、在aABC中，a=3,b=V7,c=2,那么B等于（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2、在AABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c等于（）

A.1O+V3B.10（V3-l）C.V3+1D.10V3

3、在aABC中，a=2后,b=2近，B=45°,则A等于（）

A.30°B.60°C.30°或120°D.30°

或150°

4、在aABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是（

）

A.无解B.一解C.二解D.不能确定

5、在AABC中，已知a2=〃+c2+A,则角A为（）

A.-B.-C.—D.£或生

36333

6、在aABC中，若acosA=8cos6,则AABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或

直角三角形

7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是（）

A.(8,10)B.(V8,V10)C.(V8,10)D.(V1O,8)

8^在AABC中，已知2sinAcos3=sinC,那么aABC一■定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角

形

9、AABC中，已知a=x,0=2,3=60°,如果4ABC两组解，则x的

取值范围()

A.x>2B.x<2C.D.

10、在△ABC中，周长为7.5cm,且sinA：sinB：sinC=4：5：6,下

列结论：①a:h:c=4:5:6②a:b:c=2:亚:娓③

a-2cm,b=2.5cm,c-3cm@A:B:C=4:5:6其中成立的个数是

()

A・0个B・1个C.2个D・3个

11、在aABC中，AB=g,AC=1,NA=30°,则AABC面积为

()

A.—B.—C.立或6D.立或立

24242

12、已知aABC的面积为t且8=2,C=6,则NA等于()

2

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或

120°

13、已知aABC的三边长a=3,0=5,c=6,贝IJ^ABC的面积为()

A.V14B.2V14C.V15

A

D.2V1520'15(?\3。米

BC

14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植

草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少

要（）

A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

15、甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米

的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏

东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间

是（）

A.国分钟B.”分钟C.21.5分钟D.2.15分钟

77

16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为

30°,向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°,

这时飞机及地面目标的水平距离为（）

A.5000米B.5000V2米C.4000米D.4000出

米

17、在4ABC中，«=sinlO°,》=sin50°,ZC=70°,那么AABC

的面积为（）

A.—B.—C.—D.-

6432168

18、若AABC的周长等于20,面积是106，A=60°,则BC边的长是

（）

A.5B.6C.7D.8

19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是（)

A.1<x<5B.V5<x<V13C.0<x<V5D.V13<x<5

20、在AABC中，若，则4ABC是()

A.有一内角为30°的直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一内角为30°的等腰三角形D.等边三角形

二、填空题

21、在aABC中，若NA:NB:NC=1:2:3,则a/:c=

22、在AABC中，。=3百,。=2,8=150°,则6=

23、在4ABC中，A=60°，B=45°，a+h=\2,则a=；b

24、已知aABC中，a=18"=20AA=⑵。，则此三角形解的情况是一

25、已知三角形两边长分别为1和6，第三边上的中线长为1,则三

角形的外接圆半径为.

26、在△ABC中,(Z?+c):(c+a):(a+Z?)=4:5:6,则△ABC的最大内角的

度数是__________

三、解答题

27、在AABC中，已知A8=1O后，A=45°,在BC边的长分别为20,,

5的情况下，求相应角C。

28、在4ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程/一2/x+2=0的两个

根，且2cos(2+8)=1。求:⑴角C的度数;(2)AB的长度。

29、在AABC中，证明:cos2Acos2B11

7厂=言下°

30、在△ABC中，a+6=10,cosC是方程2/_3x-2=0的一个根，求

△ABC周长的最小值。

解三角形单元测试答案

一、选择题

1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-