高中数学选修第一册：选择性必修第一册第二章 再练一课范围：§24～§2

再练一课（范围：§2.4〜§2.5）

营基础巩固

1.圆r+y2—6x+12y=0的圆心坐标是()

A.(3,6)B.(—3,6)

C.(一3,—6)D.(3,—6)

答案D

解析由炉+产-6x+12y=0,

得(X-3)2+0+6)2=45.

圆心为(3,—6).

2.与圆N+y2—6x+2y+6=0同圆心且经过点(1,-1)的圆的方程是()

A.(X-3)2+(y+1)2=8

B.(x+3)2+(y+1>=8

C.。-3)2+。+1>=4

D.(x+3)2+。+1)2=4

答案C

解析由圆炉+》2—6x+2y+6=0得圆心坐标为(3,—1),

又因为该圆经过点(1,-1),

故7?2=(1—3>+(—1+1)2=4.

则所求圆的方程为

(x-3)2+(y+1尸=4,故选C

3.若P(2,—1)为圆C：。-1)2+炉=25的弦48的中点，则直线AB的方程是()

A.2x—y—5=0B.2x+y-3=0

C.x+y-1=0D.x一厂3=0

答案D

解析圆心C(l,0),kpc=「c=T,

则心B=1,AB的方程为y+l=x—2,

即x-y—3=0,故选D.

4.若圆C与圆(x+2)2+。-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是()

A.(jc—2)2+(y+1)2=1

B.(X—2)2+(y-1>=1

C.(》一1)2+。+2)2=1

D.(jt+l)2+(y-2)2=l

答案A

解析方法一因为点(x,y)关于原点的对称点为(一x,—y),

所以圆C为(一x+2)2+(一)，-1)2=1,

即(X—2)2+0+1)2=1.

方法二已知圆的圆心是(-2,1),半径是1,

所以圆C的圆心是(2,-1),半径是1.

所以圆C的方程是。-2)2+。+1)2=1.

5.已知过点P(2,2)的直线与圆(x—1)2+步=5相切，且与直线ox—y+l=O垂直，则”等于

()

A.一彳B.1C.2D.i

答案C

解析由题意知圆心为(1,0),由圆的切线与直线办一y+l=0垂直,

可设圆的切线方程为x+ay+c=0,

由切线x+@+c=0过点P(2,2),

-2—2a,

.\i—2—2a\

=小

yjl+a2

解得a=2.

6.已知圆。与圆O2的半径分别为R,r,且它们是方程/一以+14=0的两根，若圆Oi与

圆02相切，则圆心距|。。2|等于.

答案5或9

解析解方程JC2—9x+14=0得x=2或x=7.

•.•圆0|与圆。2相切，

...圆心距为7+2=9或7—2=5.

1.若圆C过点(0,2)及直线x—2y=0与圆9+产+2》-4y—4=0的交点，则圆C的方程为

答案x2+y2—4=0

解析设圆C的方程为炉+产+级一4y—4+%(x—2y)=0.

又圆C过点(0,2),代入上述方程得一8—42=0,

即4=-2.

故圆C的方程为/+炉-4=0.

8.过点(3,1)作圆(x—1/+>2=1的两条切线，切点分别为A,8,则直线AB的方程为

答案2x+y-3=0

解析设P(3,l),圆心C(1,O),切点为A,B,则P,A,C,8四点共圆，且PC为圆的直径,

四边形PACB的外接圆方程为(x—2)2+0—02=今①

圆C:(%—l)2+y2=1,②

①一②得2x+y-3=0,此即为直线A8的方程.

9.已知圆C经过点40,-6),8(1,-5),且圆心在直线/：x-y+l=0上，求圆C的方程.

解VA(0,-6),8(1,-5),

线段A8的中点—，

直线AB的斜率心产丰渣=1.

：.AB的垂直平分线r的方程是

y+$_(xr

即x+y+5=0.

x+y+5=0,x——3,

解方程组得

、x—y+l=0,J=.2,

即圆心C(—3,-2),则圆的半径

r=|AC|=@0+3)2+(-6+2)2=5.

二圆C的方程是(x+3)2+(y+2)2=25.

10.已知圆Ci：/+产+2^—6y+1=0,圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所

在的直线方程及公共弦长.

解设两圆交点为A(X1,%),B(X2,>,2),

则A,8两点坐标是方程组

卜2+产+级一6卜+1=0,7

U2+^2—4x+2y—11=0的解

两式相减得，3x-4y+6=0.

8两点坐标都满足此方程，

.•.3x—4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆G的圆心(-1,3),半径n=3.

又Ci到直线AB的距离为4=匕牛岩丝f®=为

^32+(-4)25

以用=2、入―/=2^32_0=,,

即两圆的公共弦长为2年4

力综合运用

11.若圆心在x轴上，半径为小的圆。位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆。的

方程是()

A.(x—y[5)*2+y2=5B.(x+^/5)2+y2=5

C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5

答案D

解析设圆心0(a,0)(a<0),则

••ct~~5.

圆0的方程为。+5)2+炉=5.

12.过点411,2)作圆/+炉+标一4了-164=0的弦，其中弦长为整数的有条.

答案32

解析由题意可知过点4(11,2)的最短的弦长为10,最长的弦长为26,

所以弦长为整数的有2+2X(26-10-1)=320).

13.己知直线以一y一1=0与圆壮+产+2%+2b，-4=0相交于A,B两点，若线段A8中点

为(1,1),则a—,b—.

答案2—2

解析由点(1,1)在直线ax—y—1=0上，得。=2,圆的方程化为(x+1)2+&+〃)2=5+按，

则圆心(一1,一切与点(1,1)连线的斜率

解得b=-2.

14.由动点P向圆炉+炉=1引两条切线融，PB,切点分别为A,B,/APB=60。，则动点

P的轨迹方程是.

答案/+尸=4

解析设动点尸的坐标为(x,y),依题意有|尸。|=岛r方=：1=2,，x2+y2=4,即所求的轨迹

dillJV/1

2

方程为/+产=4.

力拓广探究

15.已知圆G：。-2)2+。-3)2=1,圆C2：(X—3)2+。-4/=9,M,N分别是圆G,C2

上的动点，P为x轴上的动点，则|PM+『N|的最小值为()

A.572-4B.VT7-1

C.6-2^2D.Vn

答案A

解析由题意知，圆G：(x—2)2+(y—3>=1,圆C2：(x—3)2+(y—4>=9的圆心分别为G(2,3),

C2(3,4),且|PM+|PN|2|PCI|+|PC2|—4,点CI(2,3)关于X轴的对称点为C(2,-3),

所以|PC11+IPC2I=IPCI+IPC2I》ICC2I=5陋，即IPM+|PNNIPG|+IPC2I—4与55一4.

16.若。A的方程为9+产一2x—2y—7=0,。8的方程为炉+丫2+2》+2y—2=0,判断。A

和。8是否相交？若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离，若不相交，说明理由.

解0A的方程可写成(x-l)2+(y-1)2=9,

圆心半径为3.

QB的方程可写成(X+1)2+()，+1)2=4,

圆心B(—1,-1),半径为2.

...两圆心之间的距离满足

3-2<|A用=，(1+1)2+(1+1)