沪教版八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试第22章四边形【单元提升卷】(原卷版+解析)

第22章四边形【单元提升卷】（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2

，则这个梯形的高等于（

）A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相垂直 B．4个角都是直角 C．对边相等 D．对角线互相平分4．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（

）A．与是相等向量 B．与是相等向量C．与是相反向量 D．与是平行向量5．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（

）A．24cm2 B．20cm2 C．16cm2 D．12cm26．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（

）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．如果过多边形的一个顶点的所有对角线能将这个多边形分割成6个三角形，那么这个多边形是__________边形.8．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是_____边形．9．在平行四边形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）10．如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．11．如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________．12．如图，在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，AB的长为8，则BC的长为______13．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．14．平行四边形的一组对角度数之和为200°，则平行四边形中较大的角为_________________.15．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为______．

16．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是BC边上的中点，且OE=2cm，则边CD的长是_____

cm．17．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC=5，∠A为直角，DC=3，AB=7，则AD=______．

18．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量____________（结果用、表示）．三、解答题（58分）19．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．（1）试用向量，表示下列向量：＝；＝；（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．21．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．23．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．

24．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．（1）求证：四边形ECDC′是菱形；（2）若BC＝CD＋AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．25．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．26．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．第22章四边形【单元提升卷】（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．若梯形中位线的长是高的2倍，梯形的面积是18cm2

，则这个梯形的高等于（

）A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm【答案】D【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积=梯形的中位线×高．根据这一面积公式，列方程求解．【详解】设高为xcm，则梯形的中位线是2xcm.根据梯形的面积公式,得2x=18,解得x=±3(取正值).故选D.【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于掌握运算公式.2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相垂直 B．4个角都是直角 C．对边相等 D．对角线互相平分【答案】B【分析】正方形是一种特殊的平行四边形、矩形、菱形,它除了具有这三个图形所有的性质外,还具有一些特殊的性质,作为一种特殊的矩形,它四条边相等,且对角线互相垂直;作为特殊的菱形,它四个角均为直角,且对角线相等.【详解】由于菱形的性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直且平分,得选项A、C、D菱形都具有,而菱形的四个角不一定相等,但正方形四个角均相等且均为直角.综上所述,故选B.【点睛】此题考查正方形的性质，菱形的性质，解题关键在于掌握其性质.4．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（

）A．与是相等向量 B．与是相等向量C．与是相反向量 D．与是平行向量【答案】D【详解】解：点、在线段上，，．A、与方向相反，，故本选项错误；B、与方向相反，，故本选项错误；C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误；D、与共线，与是平行向量，故本选项正确．故选：．由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用．此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用．5．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（

）A．24cm2 B．20cm2 C．16cm2 D．12cm2【答案】D【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12.故选D.【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.6．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（

）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【详解】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．如果过多边形的一个顶点的所有对角线能将这个多边形分割成6个三角形，那么这个多边形是__________边形.【答案】八【分析】根据从n边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形，即可求解．【详解】设多边形是边形，由对角线公式，得：．解得：，故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形对角线，边形过一个顶点的所有对角线公式是条．8．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是_____边形．【答案】12【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）个三角形．【详解】由题意可知，n−2=10，解得n=12.所以这个多边形的边数为12.故答案为12.【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握运算法则.9．在平行四边形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）【答案】

【分析】根据向量的性质求解即可．【详解】∵，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键．10．如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．【答案】6【分析】设此多边形有n条边，则一个顶点可以引出(n－3)条对角线，根据题意得n＝2(n－3)，解的n=6.【详解】设此多边形有n条边，根据题意得:n＝2(n－3)，解得n=6.故答案为6.11．如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________．【答案】AB＝BC或AC⊥BD【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD．故答案为∶AB=BC或AC⊥BD12．如图，在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，AB的长为8，则BC的长为______【答案】6【详解】∵在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，∴∠DEA=∠BAE，∠DAE=∠BAE，AD=BC，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=BC，∵DE：EC=3：1，AB的长为8，∴DE=AD=BC=6．故答案是：6．13．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．【答案】5【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长为＝5．故答案为5．【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用．14．平行四边形的一组对角度数之和为200°，则平行四边形中较大的角为_________________.【答案】100°【详解】根据平行四边形的性质：对角相等，邻角互补来解答．一组对角的度数之和为200°，则该组对角均为100°．又因为平行四边形邻角互补，所以，另一组对角均为180°－100°＝80°．所以，较大的角为100°．故答案：100°.15．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为______．

【答案】64【分析】此题要根据等腰梯形的性质，发现等腰直角三角形，进一步得到该梯形的高等于其中位线长．【详解】过O作GH⊥BC于H，GH⊥AD于G.∵中位线长为8，∴AD+BC=16，∵∠1=∠2=45°，∴OB=OC,∠1=∠BOH=45°.∴OH=BH=BC.∵AD∥BC，∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°.∴∠AOG=45°，AG=OG.∴GH=OG+OH=(AD+BC)=×16=8，∴S

=EF⋅HG=8×8=64故答案为64.【点睛】此题考查梯形中位线定理，解题关键在于作辅助线.16．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是BC边上的中点，且OE=2cm，则边CD的长是_____

cm．【答案】4【分析】首先利用三角形中位线定理可得AB=2OE=4cm，再利用平行四边形的性质AB=CD即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，OA=OC，∵BE=CE，∴AB=2OE，∵OE=2cm，∴AB=4cm，∴CD=AB=4cm，故答案为4【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于得出AB=2OE=4cm.17．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC=5，∠A为直角，DC=3，AB=7，则AD=______．

【答案】3【分析】过C作CE⊥AB于E，然后利用平行四边形的性质求出AE，BE的值，再利用勾股定理求出CE的长，即是AD的长．【详解】过C作CE⊥AB于E，则AE=DC=3，BE=7−3=4，根据勾股定理得CE==3，∵CE=AD故AD=3.故填3.【点睛】此题考查直角梯形，解题关键在于作辅助线.18．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量____________（结果用、表示）．【答案】+．【分析】首先由AM是△ABC的中线，即可求得的长，又由=+，即可求得答案．【详解】解：∵AM是△ABC的中线，，∴==∵，∴=+=+．故答案为+．三、解答题（58分）19．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．【答案】证明见详解【分析】通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．【详解】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．（1）试用向量，表示下列向量：＝；＝；（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．【答案】（1）﹣，﹣﹣；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则求解即可．（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC，∴＝＝＝﹣，＝＝﹣﹣．故答案为：﹣，﹣﹣．（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）50°．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．【答案】证明见解析.【详解】试题分析：根据已知条件易证∠ADE=∠CBF，AD=CB，由AAS证△ADE≌△CBF即可．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）．23．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．

【答案】∠E=30°．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=60°，可得∠E度数．【详解】连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=60°，即∠E=30°．【点睛】此题考查矩形的性质，解题关键在于作辅助线.24．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．（1）求证：四边形ECDC′是菱形；（2）若BC＝CD＋AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．【答案】（1）见解析（2）平行四边形【分析】（1）由折叠性质可得CD=C′D，CE=C′E，易证CD=CE，则四边相等，可得四边形CDC′E是菱形；（2）四边形ABED为平行四边形，由题意易证明AD=BE，又AD∥BC，四边形ABED为平行四边形．【详解】（1）证明：依题意∠C′DE=∠CDE，CD=C′D，CE=C′E，∵AD∥BC，∴∠C′DE=∠DEC．

∴∠DEC=∠CDE．∴CD=CE．

故CD=CE=C′D=C′E，四边形CDC′E是菱形．（2）解：四边形ABED为平行四边形．证明：∵BC=CD+AD，又CD=CE，∴BC=CE+AD．又BC=CE+BE，∴AD=BE．又AD∥BC，可得AD∥BE．∴四边形ABED为平行四边形．【点睛】此题考查了四边形的知识，涉及折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是根据折叠的性质找到对应边与对应角．25．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；【详解】解：（1）如图①所示；根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案为FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵

，

∴

．∵

∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．

即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴

△GAF≌△EAF（SAS）．

∴

GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴

DE＋BF＝EF．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键．26．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90