苏教版八年级数学下册重难点专题提优训练专题15二次根式的加减法(原卷版+解析)

专题15二次根式的加减法【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同类二次根式】 1【考点二二次根式的加减运算】 2【考点三二次根式的混合运算】 3【考点四分母有理化】 4【考点五已知字母的值，化简求值】 8【考点六比较二次根式的大小】 9【考点七二次根式的应用】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一同类二次根式】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则___________．【变式训练】1．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则________．2．（2023春·全国·八年级期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为______．【考点二二次根式的加减运算】例题：（2023·山西长治·校联考二模）计算：________．【变式训练】1．（2023春·广东江门·七年级校考期中）计算：___________.2．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）计算：(1)；(2)．【考点三二次根式的混合运算】例题：（2023春·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）计算：(1)；(2)．【变式训练】1．（2023春·四川泸州·八年级统考期中）计算：(1)．(2)2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）计算下列各式：(1)；(2)．【考点四分母有理化】例题：（2023春·河南安阳·八年级校联考阶段练习）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子，分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简解：．[理解应用](1)化简：；(2)若a是的小数部分，化简；(3)化简：++…+．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：方法一：；方法二：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)直接写出化简结果：＝，＝；(2)请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；(3)计算：．2．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）我们知道：，这一化简变形过程叫做分母有理化，类似地：，式子也可以这样化简：，这样化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答下列问题：(1)直接写出化简结果：＝___，＝___；(2)用两种不同的方法化简：；(3)化简：．【考点五已知字母的值，化简求值】例题：（2023春·广东广州·八年级广州六中校考期中）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2023春·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中．2．（2023春·河南安阳·八年级校联考阶段练习）已知(1)求的值；(2)求的值．【考点六比较二次根式的大小】例题：（2023春·安徽·八年级期中）比较大小：______．（填“”、“”或“”）．【变式训练】1．（2023·广西南宁·校考一模）比较大小：______（填“”，“”，“”）．2．（2023·全国·九年级专题练习）比较大小：__．（选填“”、“”或“”）3．（2023春·全国·八年级专题练习）比较大小：_______1；_________【考点七二次根式的应用】例题：（2023春·河南许昌·八年级校考阶段练习）已知a、b、c满足．(1)求a、b、c的值；(2)判断以a、b、c为边构成的三角形的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）2．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．，；，；，…．(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变规律：________，________；(2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？(3)求出的值．【过关检测】一、选择题1．（2023春·安徽马鞍山·八年级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是(

)A． B． C． D．2．（2023春·甘肃平凉·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知，，则、的关系是()A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数4．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）小明的计算过程如图所示，则他开始出现错误的是（

）解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步5．（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）已知，，，那么，，的大小关系是（）A． B． C． D．二、填空题6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）计算的结果是______．7．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________．8．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校联考期中）若菱形的对角线长分别为与，则菱形的面积为__________．9．（2023春·山东济南·八年级校联考阶段练习）对于任意的正数、定义运算※为：※，计算※※的结果为_______．10．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A]（1）把多项式A分解因式为_____；（2）当时，多项式A的值为_____．三、解答题11．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）计算(1)(2)12．（2023春·山东东营·八年级校联考阶段练习）计算：(1)(2)(3)13．（2023春·安徽亳州·八年级统考期中）先化简，再求值：，其中14．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）先化简，再求值，其中，．15．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简求值(1)已知，，试求代数式的值．(2)先化简，再求值，其中，．16．（2023春·山西大同·八年级统考期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．例如：(1)用上述方法化简；(2)计算：．专题15二次根式的加减法【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同类二次根式】 1【考点二二次根式的加减运算】 2【考点三二次根式的混合运算】 3【考点四分母有理化】 4【考点五已知字母的值，化简求值】 8【考点六比较二次根式的大小】 9【考点七二次根式的应用】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一同类二次根式】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则___________．【答案】/【分析】根据最简二次根式，同类二次根式的定义列方程求解即可．【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式训练】1．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则________．【答案】2【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，求解即可得到答案．【详解】解：二次根式与最简二次根式是同类二次根式，又，，，故答案为：2．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．（2023春·全国·八年级期中）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为______．【答案】5【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案为：5．【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．【考点二二次根式的加减运算】例题：（2023·山西长治·校联考二模）计算：________．【答案】【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东江门·七年级校考期中）计算：___________.【答案】/【分析】利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握二次根式的加减运算法则是解题关键．2．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后进行减法运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查二次根式的除法法则、零指数幂的意义、二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的除法法则、零指数幂的意义、二次根式的化简.【考点三二次根式的混合运算】例题：（2023春·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算；（2）先化简二次根式，再计算括号内的减法，利用平方差公式将括号展开，再进行加减运算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式、掌握运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·四川泸州·八年级统考期中）计算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再加减运算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟记完全平方公式和平方差公式，正确求解是解答的关键．2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）计算下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简二次根式，再算乘法，最后合并同类二次根式；（2）先利用平方差公式及完全平方公式计算，再去括号，最后合并同类二次根式．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键【考点四分母有理化】例题：（2023春·河南安阳·八年级校联考阶段练习）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子，分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简解：．[理解应用](1)化简：；(2)若a是的小数部分，化简；(3)化简：++…+．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；（2）估算的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式计算即可求出值；（3）原式各项分母有理化，计算即可求出值．【详解】（1）解：（2）解：∵，∴，即的整数部分为1，∴，则；（3）解：．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，平方差公式，二次根式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：方法一：；方法二：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)直接写出化简结果：＝，＝；(2)请参照以上化简的方法，用两种方法化简：；(3)计算：．【答案】(1)；(2)见解析(3)【分析】（1）根据分母有理化的方法进行运算即可；（2）根据所给的方法进行化简即可；（3）把各个式子进行分母有理化，从而进行求解即可．【详解】（1）解：①；②；故答案为：；；（2）解：方法一：；方法二：；（3）解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，理解分母有理化是解题的关键．2．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）我们知道：，这一化简变形过程叫做分母有理化，类似地：，式子也可以这样化简：，这样化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答下列问题：(1)直接写出化简结果：＝___，＝___；(2)用两种不同的方法化简：；(3)化简：．【答案】(1)；；(2)(3)【分析】（1）根据题目中例题方法计算即可；（2）由题目中例题采用的两种化简方法依次进行计算即可；（3）由（1）和（2）的化简方法，将其先变形为……形式，然后根据例题化简即可得出结果．【详解】（1）解：，，故答案为：；；（2）解法1：；解法2：；（3）原式…………．【点睛】题目主要考查二次根式的分母有理化过程，理解例题的解题过程是解题关键．【考点五已知字母的值，化简求值】例题：（2023春·广东广州·八年级广州六中校考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案．【详解】解：原式，把代入，得，原式．【点睛】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．【变式训练】1．（2023春·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】化简结果为，值为【分析】先通分、因式分解，然后进行除法运算即可得化简结果，最后代入求解即可．【详解】解：将代入得，，∴化简结果为，值为．【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键在于正确的化简．2．（2023春·河南安阳·八年级校联考阶段练习）已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）先利用、的值计算出，，的值，根据平方差公式化简再代入求值即可；（2）先利用、的值计算出，，的值，根据完全平方公式变形，再整体代入求值即可．【详解】（1）解：∵，∴，，，∴；（2）解：∵，∴，，，∴【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用乘法公式变形并用整体代入的方法简化计算是解决本题的关键．【考点六比较二次根式的大小】例题：（2023春·安徽·八年级期中）比较大小：______．（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】运用平方法来比较二次根式的大小即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比较二次根式大小的方法，两边同时平方，转化为比较幂的大小，此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小．【变式训练】1．（2023·广西南宁·校考一模）比较大小：______（填“”，“”，“”）．【答案】【分析】先利用二次根式的性质得到，，则比较与的大小，即可得到结果．【详解】解：∵，，且，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了实数大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．（2023·全国·九年级专题练习）比较大小：__．（选填“”、“”或“”）【答案】【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）比较大小：_______1；_________【答案】<<【分析】二次根式比较大小，化简成相同的形式在比较大小.【详解】（1）∵，∴，∴，∴（2）∵，∴，∴，∴，故答案为：＜，＜．【点睛】本题考查二次根式的大小比较.【考点七二次根式的应用】例题：（2023春·河南许昌·八年级校考阶段练习）已知a、b、c满足．(1)求a、b、c的值；(2)判断以a、b、c为边构成的三角形的形状，并说明理由．【答案】(1)，，(2)直角三角形，理由如下【分析】（1）根据非负数的定义即可求出答案．（2）根据勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【详解】（1）解：由题意可知：，，，∴，，，（2）∵，，∴，∴以、、为边的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查非负数的性质，解题的关键是正确求出、、的值，本题属于基础题型．【变式训练】1．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【答案】(1)(2)元【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：长方形的周长为；（2）解：长方形的面积：，大理石的面积：，壁布的面积：，整个电视墙的总费用：（元）．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．2．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．，；，；，…．(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变规律：________，________；(2)若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？(3)求出的值．【答案】(1)，(2)第20个(3)【分析】（1）利用已知可得，注意观察数据的变化，（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形，（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．【详解】（1）解：结合已知数据，可得：；；故答案为：，；（2）若一个三角形的面积是，根据，，说明他是第20个三角形；（3），，，，．【点睛】此题主要考查了数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．【过关检测】一、选择题1．（2023春·安徽马鞍山·八年级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简结合选项即可求解．【详解】解：∵，∴与是同类二次根式，故选B．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2．（2023春·甘肃平凉·八年级校联考期中）下列计算中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的加减运算法则分别计算，再作判断．【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；B、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；C、，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不合题意；D、，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．3．（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知，，则、的关系是()A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数【答案】A【分析】根据分母有理化的方法求得的值，即可求解．【详解】解：∵，即，∴互为相反数，故选：A．【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．4．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）小明的计算过程如图所示，则他开始出现错误的是（

）解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】C【分析】根据二次根式的性质及混合运算，即可求解．【详解】解：……第一步

……第二步……第三步

……第四步故第三步错误，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式混合运算的方法是解决本题的关键．5．（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）已知，，，那么，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分别计算，，的倒数，然后再进行比较，即可解答．【详解】解：，，，，，，都是正数，，故选：A．【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握分母有理化是解题的关键．二、填空题6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）计算的结果是______．【答案】【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：原式．故答案为:．【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题的关键是熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．7．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________．【答案】【分析】根据二次根式化成最简根式后，被开方数相同的即为同类二次根式进行判断即可．【详解】解：，∵与是同类二次根式，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．8．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校联考期中）若菱形的对角线长分别为与，则菱形的面积为__________．【答案】/【分析】根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，即可求得答案；【详解】解：菱形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；熟练掌握菱形面积公式是解题关键．9．（2023春·山东济南·八年级校联考阶段练习）对于任意的正数、定义运算※为：※，计算※※的结果为_______．【答案】【分析】根据新定义运算法则，将※※进行变形，然后将各个二次根式化为最简二次根式，再根据平方差公式进行运算即可．【详解】解：，，※※，，，，.故答案为：3.【点睛】本题考查了二次根式的化简及运算，根据题意正确计算是解答本题的关键．10．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）[输入x]→[平方]→[减去]→[输出A]（1）把多项式A分解因式为_____；（2）当时，多项式A的值为_____．【答案】4【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把代入多项式A中，利用平方差公式即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意得；故答案为：；（2）当时，，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．三、解答题11．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）计算(1)(2)【答案】(1)；(2)；【分析】（1）根据平方差公