椭圆的简单几何性质(第一课时)高二数学上学期+（人教A版2019）

椭圆的简单几何性质(第一课时)人民教育出版社A版选择性必修第一册执教者：

时间:核心素养发展目标在直观认识椭圆图形特点的基础上,能通过椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质.1能利用椭圆的几何性质解决一些简单的数学问题,发展数学建模、数学抽象素养.2体会用曲线的方程研究曲线的性质的方法,发展直观想象、逻辑推理、数学运算素养.31.圆锥中的椭圆2.科技、生产、生活中的椭圆3.笔尖下的椭圆温故知新——创设情境“重温”椭圆5.椭圆的一条性质4.坐标系下的椭圆的标准方程温故知新——破译方程“推”性质方程的特征一般表现

未知量取值范围方程的对称性

对称性范围式几何性质通过曲线方程研究几何性质的一般表现

未知量特殊取值方程系数间的关系顶点？问题1:前面学习了椭圆的概念，并建立了椭圆的标准方程.接下来，我们研究椭圆的几何性质.结合以往直线与圆的方程的学习经验，你认为应该如何研究椭圆的几何性质？回顾思考“生”方法回顾思考“生”方法椭

圆观察图形标准方程进行代数推理定量刻画对几何性质作出直观判断式“形”“数”数形结合研究椭圆的几何性质的方法回顾思考“生”方法

下面，我们利用椭圆方程

来研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.研究椭圆的几何性质的方法OA1A2B2B1bcaxyF1F2剖析图形、方程“生”性质

观察椭圆

的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？观察OA1A2B2B1bcaxyF1F2剖析图形、方程“生”性质OA1A2B2B1bcaxyF1F2图3.1-7

问题2：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？探究一:范围剖析图形、方程“生”性质这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框里．OA1A2B2B1bcaxyF1F2图3.1-7探究一:范围由方程，可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即

，同理有

，即

.剖析图形、方程“生”性质OxyF1F2观察椭圆的形状探究二:对称性

,可以发现椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.问题3：如何利用方程说明椭圆的对称性？剖析图形、方程“生”性质

综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．xyO探究二:对称性x轴y轴原点(1)以-y代

y

,方程不变,椭圆关于

对称;(2)以-x代

x,方程不变,椭圆关于

对称;(3)以-x代

x,同时以-y代

y

,方程也不变,椭圆关于

对称.

在椭圆的标准方程（）中，剖析图形、方程“生”性质A1B1B2A2xyO图3.1-8

研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置．问题4:你认为椭圆

上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？探究三:顶点剖析图形、方程“生”性质B1B2A1A2xyO图3.1-8

线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．探究三:顶点令x=0,得y=±b.因此B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,令y=0,得x=±a.因此A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.长轴短轴顶点

在椭圆的标准方程

（）中,剖析图形、方程“生”性质图3.1-9问题5:观察图3.1-9,我们发现,不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？探究四:离心率剖析图形、方程“生”性质剖析图形、方程“生”性质方程的特征一般表现

未知量取值范围方程的对称性

椭圆对称性椭圆范围式几何性质通过方程研究椭圆的几何性质

未知量特殊取值方程系数间的关系椭圆顶点？本质：椭圆定义中基本量的a与c可以发现：

(1)当c越接近a，椭圆越扁平；

(2)当c越接近于0，椭圆越接近于圆．信息技术演示1：(3)如果把a、c同时缩小或扩大相同倍数时,椭圆的形状不变.信息技术演示2：图3.1-10xyO

这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.探究四:离心率

(2)因为a>c>0，所以0<e<1.当且仅当a=b时，c=0.此时图形变为圆，它的方程为x2+y2=a2.剖析图形、方程“生”性质OA1A2B2B1bcaxyF1F2椭圆范围对称性顶点离心率椭圆的简单几何性质剖析图形、方程“生”性质椭圆的简单几何性质剖析图形、方程“生”性质方程的特征一般表现

未知量取值范围方程的对称性

椭圆对称性

范围式几何性质

未知量特殊取值方程系数间的关系椭圆顶点离心率离心率的本质：椭圆定义中基本量---a与c的关系椭圆的简单几何性质标准方程图形范围，.对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点.顶点A1(-a,0)

，A2(a,0)，B1(0,-b)，

B2(0,b).离心率

剖析图形、方程“生”性质例4:求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．经历实践“用”方程、性质师生互动：已知椭圆方程，如何研究性质？问题1：这个椭圆方程“标准”吗？问题2：这个椭圆的焦点在哪里？问题3：这个椭圆方程的基本量a,b,c是什么？问题4：这个题目求的椭圆的性质是什么？例4:求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得于是,,,.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是

和

;两个焦点坐标分别是

和;四个顶点坐标分别是,,和.离心率;经历实践“用”方程、性质反思感悟：用标准方程研究椭圆几何性质的一般步骤将椭圆方程化为标准形式.确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)求出a，b，c.写出椭圆的几何性质.化标准定位置求参数写性质总结反思“悟”知识强化训练“固”知识1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？2.求下列椭圆的焦点坐标：3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(-3,0),Q(0,-2)两点

（2）长轴长等于20，离心率等于

5.比较下列每组中椭圆形状，哪一个更接近于圆？为什么？知识总结思想方法几何性质数形结合范围对称性顶点离心率通过椭圆图形直观判断用标准方程通过坐标法推理核心素养直观想象逻辑推理数学抽象数学建模数学运算形数椭圆总结反思、单元小结“悟”结构总结反思、单元小结“悟”结构

未知量取值范围方程的对称性

椭圆对称性