【浅论中学生初等代数思维向抽象代数思维转变策略4400字（论文）】

浅析中学生初等代数思维向抽象代数思维转变策略TOC\o"1-3"\h\u引言 11.中学阶段的初等代数与抽象代数 12.初等代数思维向抽象代数思维转变的实例 22.1关于反函数 22.2关于运算 32.3序关系与大小比较 43.由初等代数思维向抽象代数转变的实例引发思考 53.1适当选择将抽象代数引入中学课堂 53.2关于中学数学抽象问题提出几点教学建议 5结束语 7参考文献 8浅析中学生初等代数思维向抽象代数思维转变策略摘要:初等代数思维作为基本的代数思想,需要我们进行努力转变传统的代数思维,向抽象代数思维转变,而中学生初等代数思维向抽象代数思维的转变需要教师进行教育帮助,学生才能更好的进行思维等方面的有效提升.本文简单的举出几个中学阶段初等代数思维向抽象代数思维转变的实例，并产生教学思考.关键词:初等代数;抽象代数;转变;思考中图分类号:O122中学生初等代数思维向抽象代数思维转变的实例及思考引言众所周知,代数由算术演变而来,但它们的思维方法确有本质的不同.算术思维注重使用数量计算求解,而代数思维则强调利用字母等将关系符号化,与算术思维相比,其思维方式是相对抽象的,不依靠直观.在代数计算中,如果直接设未知数,其思维过程比算数思维过程更容易,计算过程也比算术更直接,学生更易理解.但代数思维能力的提升需要靠大量的算术经验,还需及时关注学生代数思维的过渡段.中学生由形象思维向抽象思维过渡,因此,增强中学生思维能力需要教师寻找各种代数课程资源来,让学生在解决代数问题的过程中经历思维的转化[1].在代数学习中,初等代数是以代数式的运算和代数方程的求解为研究对象,其思维的培养对学生学习初等代数中的基础知识有更好的把握,利于提高学生解决数学问题的基本能力,并为以后学生学习高等代数打下坚实基础.抽象代数的研究对象是代数系统,与初等代数相比,抽象代数具有高度的抽象性[2].某种程度上,在大学开设此课程是为了培养人才,其代数思维的培养有利于我们涉足很多领域,不仅在数学各领域中,比如在物理、化学、计算机科学和其他领域都有将抽象代数作为基础课程.因此初等代数思维和抽象代数思维对学生思维能力的形成都有着重要的意义.1.中学阶段的初等代数与抽象代数在中学阶段,初等代数学习属于必修部分,其中心内容是方程理论,而且难度系数不算高.在高中的考试及学习中占重要地位,对于知识点的结合也有多方面考究,是一个容易得分的知识点,需要教师着重的思考它的解题方式和突破口,对其知识体系进行较为系统的学习.而抽象代数在高等院校教育课程中以抽象晦涩难懂著称,又因其与实际生活联系较少,所以在中学教学中抽象代数的学习是微乎其微[3].中学阶段属于由具体思维向抽象思维过渡的阶段,是发展代数思维最好的时期[4].由于抽象代数思维的抽象层次更高,发展学生的抽象代数思维,能够在高中教学的学习中能起到有效帮助,比如学生在学习有关数列、函数、向量等较为抽象内容时,因为学生对概念、定理、公式等无法更深入的理解,所以在解题时,学生常常感到困难,无从入手.这是由于初等代数思维存在一定的局限性,学生无法突破思维的障碍用更抽象的思维方式去理解题意.因此,在教学过程中,教师要格外注重学生代数思维的培养,增强学生的代数思维能力,帮助学生实现从初等代数思维向抽象代数思维的转变.2.初等代数思维向抽象代数思维转变的实例2.1关于反函数在中学课程中,将反函数的概念定义为:“一般地,设函数,其值域为,若能找到一个函数,使得,如果对于值域中的每一个,在中有且仅有一个与之对应,则式子叫做函数的反函数,记作.由此,我们得知,函数存在反函数的两个充分条件:(1)把看成关于的方程,就能求出其相对应的反函数.(2)解析式对应的函数值必须唯一.若由此进一步引出反三角函数概念,则学生可能会疑问:为什么会有反函数?若把它看成关于的方程,如何通过方程的变形求出其反函数呢[5]?显然上面反函数的定义无法解答此疑问.假如用逆映射的概念去定义反函数,将其引入,学生会不会更容易接受呢?设是一个映射,如果在之下中不同的元素在中的像不同,则称为单射;若中的每一个在中都有逆像,称为满射.像这样既单又满的映射叫一一映射(或满射).如果是一一映射,则一定存在到的映射,就叫逆映射,记.由此得到定义[5]函数的映射若存在逆映射,则此逆映射所确定的函数叫做函数的反函数.这样的映射显然为一一映射,从而它存在逆映射.因此,根据以上定义得到有反函数,记作.由此看到前者即由初等代数思维方式定义的反函数只是反函数存在的表面,而后者由抽象代数思维方式去定义的反函数才是反函数的实质.抽象代数使反函数的概念更具广泛性,所以映射、一一映射的观点在反函数中的这一渗透,将会使学生更好地理解反函数的概念[5].2.2关于运算在抽象代数中,运算的概念定义如下:定义映射叫做非空集合中的元代数运算(1).当时,一元运算与从到的映射两者是统一的.如既可以看成是3的开算术平方根;也可成当时,函数的函数值[5].当时,为二元运算.例如在整数集中数目的加法与乘法运算,已知,求它们的最大公约数与最小公倍数[5].从上面概念的定义中,可得知运算本质上也是映射,那么其结果应该也具有唯一性.中学教材中提到的“实数集上的开平方运算”是不严谨的,这也为强调算术根的重要性提供了理论依据.再有,中学数学中通常把“开方运算看成是乘方运算的逆运算”,从严格意义上看也是不严谨的.因为对一元运算来说,其逆运算存在就是对应的逆映射存在与否的问题[5].一般有:定义[5]若映射是双射,则存在一个双射,使(分别为上的恒等映射),此时称为的逆映射,记为.现令.因为,即;即.2.3序关系与大小比较在中学数学中我们都知道复数没有大小,所以复数不能排序,那么它的理论依据是什么呢?为讨论这个问题我们给出定义设是集合上的一个关系且满条件:(1)且.(2)且,则称是上一个“偏序关系”,叫偏序集.若“”满足:(3)则或或,则叫全序集.说到比较数的大小,则数集上的全序关系与数集上的代数运算要有关系,即:(4)若,则.(5)若,则.下面来证明复数无法比较大小,所以复数不属于有序域.证明用反证法,假设复数之间存在一种全序关系,能使复数域成为有序域.接下来我们用证明,由于是全序关系,必有:或.如果,根据符号规则可得,再由符号规则使得,得,这与是正元素矛盾,所以.那应该有,继续根据符号规则可得,从而使得,即,这与矛盾.所以,由于不能与全序关系做成关系,由此复数域不是有序域[5].3.由初等代数思维向抽象代数转变的实例引发思考3.1适当选择将抽象代数引入中学数学课堂思维是一种技能.数学领域因思维而强大.在数学学习中,思维的形成需要通过不断地思考来获得,而数学研究本身是一种不断思考的过程,它推动了数学的进步.人们通过不断的思考获得新旧知识之间的联系,深化对知识的理解,促进知识同化和迁移,帮助人们从多方面多角度观察事物获得新知[6].因此,教师在教学中,应该通过不停的思考探索出适合学生的教学方法,并不断根据数学思维的特点来促使学生思考,实现学生思维间的转变.上述三个实例,通过抽象代数的角度进一步分析中学教学中出现的反函数、运算、复数,得出中学阶段的数学学习或多或少存在不足,所以会存在学生对教材中出现的少部分较为抽象内容的认识和理解停留在表面,无法深刻领会其知识点的内在原因,会造成学生对数学概念、定理和公式的死记,而没有掌握其根本的理论依据,以致当学生在做这部分题时,原本很简单的数学题,会觉得棘手,找不到解题的突破口,更不用说让学生去求解更难的数学题,这会极大的降低学生的数学学习兴趣,甚至会选择放弃学习数学.在中学数学教学中,学生遇到较为抽象难懂的知识点时,若用抽象代数的角度能帮助学生加以分析,那么是否可以考虑将相对应抽象代数知识补充进去中学课堂中呢?这样或许可以加深学生对此抽象知识的体会.作为教师我们对中学生的认识不应该只停留在初等代数思维层面,而应该相信学生能接受的的代数思维能力远比教师想象中的高.因此,为了更好的教学,教师遇到能引入抽象代数知识时,教师不妨考虑适当的选择将抽象代数引入中学数学课堂中,这样多角度多方面分析有助于强化学生的代数思维,将学生代数思维提升到抽象代数思维层面,利于学生更好的解决数学问题.3.2关于中学数学抽象问题提出几点教学建议在中学数学教学中,学生会遇到的较难理解的抽象问题不止反函数的概念,复数等,还有其他的比如较难的数列问题、三角函数、向量等等,尤其是向量对中学生来说是较为抽象的,教师在实际生活中也找不到与向量密切相关的案例来进一步阐释.针对这样的现象,我给出了几点教学建议:第一,在教学时除知识点本身的传授,教师还可以结合已学知识,联系课程背景,深度挖掘教材背景,以此来增强学生的好奇心,从而促使学生主动的去探索相关领域的知识,通过新旧事物之间的联系主动地去构建概念,这样不仅丰富了学生自己,又使学生领略到知识的广泛应用[7].第二,充分利用多媒体网络教学,教师运用多媒体网络技术制作丰富精彩的课件将教学内容中抽象且概念化的想法具体生动地展现给学生,这种活情境教学方式不仅利于学生对知识从感官世界到意象世界再到符号世界的理解和吸收,实现抽象内容的简单理解[8].第三,巧设课堂提问,设置课堂的提问可以起到反馈教学的作用,但提出的问题不能是无效的或者过于宽泛的,而应当抓住对当前课堂内容重点来提问,有效促进学生对知识的思考,调动学习的主动性,第四,针对不同思维层次的学生,采取不同的手段,进行相应的策略性帮助,这样有益于学生不同阶层较为全面的思维形式的发展以及知识体系的初步形成,逐步在大脑构建属于自己的知识网络.结束语中学教学中常见学生无法深层次理解教材内容的现象,这是由于初等代数思维存在一定的局限性,在某种程度上禁锢了学生的代数思维.所以教师在数学教学过程中要想办法采取一些非常手段,例如对某些概念引入抽象代数的知识,从抽象代数思维的角度进一步分析等,由此也可见,抽象代数思维的应用之广泛可以渗透到中学数学学习中,而抽象代数思维的形成又依赖于学生初等代数思维的不断训练.因此,中学教师在数学教学过程中应注重学生初等代数思维的反复练习,强化初等代数思维,使学生由初等代数思维过渡到抽象代数思维阶段,提高中学生解决数学问题的能力.学生思维能力的形成是教师教学艺术的体现.在教学过程中,培养学生思维能力是数学教学的重点,教师需要不断的思考总结出适合学生的教学方法方式,从多角度帮助学生分析和解决数学问题,让学生在不断地解决数学问题中经历思维的转化,促使学生代数思维的转变.参考文献[1]刘久成,刘久胜.代数思维及其教学[J].课程.教材.教法,2015:78-83.[2]沈吓妹.近世代数教学中抽象思维的开发[J].宁德师范学院学报(自然科学版),2013,25(004):408-410.[3]张倩,李慧珍.抽象代数教学的思考[J].教育(周刊),2016.[4]李保贤.中