DEA线性规划模式

第5章進階線性規劃應用5.1資料包絡分析5.2收益管理5.3投資組合模型及資產配置5.4賽局理論第5章進階線性規劃應用第201頁5.1資料包絡分析資料包絡分析(dataenvelopmentanalysis,DEA)是線性規劃的應用，用來衡量相同目標的營運單位間的相對效率。例如，用來衡量速食連鎖體系的不同分店間的相對效率。第5章進階線性規劃應用第202頁資料包絡分析的應用─醫院的績效評估例子：四家包括綜合醫院、大學醫院、郡立及州立醫院的管理者共同討論彼此如何協助以改善各自醫院的經營績效。衡量的依據是以下三種輸入量及四種輸出量。第5章進階線性規劃應用第203頁資料包絡分析的應用─醫院的績效評估輸入量全職非醫療人員的數目（包含兼職人員換算後的數目）2.供應品的花費可用病床數（以一天一床為單位）輸出量醫療保險的病人住院日數（以一天一病人為單位）非醫療保險的病人住院日數受訓的護士人數受訓的實習醫生人數第5章進階線性規劃應用第203-204頁醫院的績效評估第5章進階線性規劃應用第204頁DEA方法概述根據目標相同的所有營運單位的輸出及輸入資料，運用線性規劃模式建構一個虛擬的混合單位(hypotheticalcomposite)。混合醫院的每項輸出值為四家醫院該項輸出的加權平均值。混合醫院的每一項輸入值為四家醫院該項輸入的加權平均值。混合醫院的所有輸出值必須大於或等於被評估醫院，如果混合醫院的輸入值可以被證實小於郡立醫院的輸入值，則表示混合醫院可以用較少的輸入獲得相同，甚至更多的輸出。因此接受評估的醫院和其他的醫院相比為相對無效率。第5章進階線性規劃應用第204頁DEA線性規劃模式決策變數：wg=綜合醫院輸入及輸出的權重wu=大學醫院輸入及輸出的權重wc=郡立醫院輸入及輸出的權重ws=州立醫院輸入及輸出的權重E=郡立醫院輸入值中混合醫院可用的部分DEA模式的目標函數在使E為最小，相當於極小化混合醫院的可用資源。第5章進階線性規劃應用第205,207-208頁DEA線性規劃模式第5章進階線性規劃應用第206頁DEA線性規劃模式第5章進階線性規劃應用第207頁DEA線性規劃模式完整的模式如下：第5章進階線性規劃應用第208頁DEA線性規劃模式第5章進階線性規劃應用第209頁混合醫院是由綜合醫院(wg=0.212)、大學醫院(wu=0.260)及州立醫院(ws=0.527)的加權平均所組成。Slack/Surplus欄的資料提供有關郡立醫院相對效率的額外資訊。DEA方法摘要步驟1.定義決策變數，也就是每一個營運單位的權重，以便用來決定混合營運單位的輸出及輸入。步驟2.以一個限制式令所有權重和等於1。步驟3.對每項的輸出，以一個限制式令混合單位的輸出必須大於或等於第j單位的輸出。步驟4.定義決策變數E，代表混合單位可使用的輸入相對於第j單位輸入值的比率。步驟5.對每項輸入，以一個限制式令混合單位的輸入必須小於等於其可使用的輸入值。步驟6.令目標函數為MinE。第5章進階線性規劃應用第210頁5.2收益管理收益管理在於管理定量非耐久性庫存的短期需求，以提升組織的潛在收益。目前收益管理已經被用於包括定價策略、超額預訂政策、短期供應決策及耐久性資產管理。第5章進階線性規劃應用第210頁5.2收益管理例子：立足航空立足航空是一家地區型航空公司，為匹茲堡、紐渥克、夏洛特、墨爾淘海灘及奧蘭多的旅客提供服務。2.採用兩種票價等級：折價Q等及原價Y等。16種ODIF訂出5月5日的票價及需求預測。建立線性規劃模式以決定立足航空應該分配多少機位給每種票價等級。第5章進階線性規劃應用第210-213頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第212頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第212頁5.2收益管理決策變數為：PCQ

=分配給匹茲堡─夏洛特的Q等機位數PMQ

=分配給匹茲堡─墨爾淘海灘的Q等機位數POQ

=分配給匹茲堡─奧蘭多的Q等機位數PCY

=分配給匹茲堡─夏洛特的Y等機位數…NCQ

=分配給紐渥克─夏洛特的Q等機位數…COY

=分配給夏洛特─奧蘭多的Y等機位數第5章進階線性規劃應用第213頁5.2收益管理有16個決策變數、4個產能限制式及16個需求限制式的完整的線性規劃模式如下：第5章進階線性規劃應用第214頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第214頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第216頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第216頁5.2收益管理第5章進階線性規劃應用第216頁5.3投資組合模型及資產配置資產配置是指在諸如股票、價券、共同基金、不動產及現金等不同資產類別中分配投資金額。投資組合模型用來決定應挹注於各項不同投資標的之百分比。目標是創造兼顧風險及報酬之最佳平衡的投資組合。本節將說明如何以線性規劃模式發展包含幾種不同投資標的在內的最適投資組合。第5章進階線性規劃應用第217頁共同基金的投資組合霍克公司想發展一投資組合模型，可以決定包含六種共同基金在內的最適投資組合。表5.4是六種共同基金某5年的年報酬率。第5章進階線性規劃應用第217頁共同基金的投資組合第5章進階線性規劃應用第217頁準確預測共同基金在未來12個月內的報酬率是不可能的事，但霍克投資服務的經理人認為，表5.4的5個年度的報酬率資料可以代表未來5年的可能狀況。霍克的經理人將從六種共同基金中，為客戶建立投資組合模型，並假定五個方案來描述未來12個月的報酬。保守投資組合經理人的任務是決定六種共同基金的投資比例，使得該投資組合在最小風險下得到最佳的報酬。要決定投資組合中每種共同基金的投資比例，我們使用以下的決策變數：FS=外國股票共同基金IB=中期債券共同基金LG=大型成長型基金LV=大型股價型基金SG=小型成長型基金SV=小型股價型基金第5章進階線性規劃應用第217-218頁保守投資組合投資比例的總和為1，需要以下的限制式：其他限制式則與表5.4的每一個計畫狀況中的投資組合的報酬率有關。R1表示第1年代表的狀況出現時產生的投資報酬，R2表示第2年代表的狀況出現時產生的投資報酬，以此類推。五個狀況的投資報酬如下：狀況1的報酬第5章進階線性規劃應用第218頁保守投資組合狀況2的報酬狀況3的報酬狀況4的報酬狀況5的報酬第5章進階線性規劃應用第218-219頁保守投資組合變數M作為投資組合的最小報酬。為確保每個情節的報酬至少與最小報酬M相同，我們必須增加以下的最小報酬限制式。第5章進階線性規劃應用第219頁保守投資組合將前述的R1、R2等值代入上述不等式，得到5個最小報酬限制式如下：第5章進階線性規劃應用第219頁最小風險之下報酬最佳的投資組合使投資組合的最小報酬極大化，目標函數是MaxM加上五個最小報酬限制式。由於線性規劃模式是要在所有考慮狀況中的最小報酬極大化，稱此為極大化最小值(maximin)模式。第5章進階線性規劃應用第219頁完整的極大化最小值模式第5章進階線性規劃應用第220頁霍克公司極大化最小值投資模式的電腦解第5章進階線性規劃應用第220頁中度風險投資組合假定此種風險類別中的客戶願意承擔某種風險，但不希望年報酬率低於2%。在極大化最小值模式的最小報酬限制式中，設定M=2，即能限制模式提供的年報酬率至少為2%。年報酬率至少為2%的最小報酬限制式如下：第5章進階線性規劃應用第221頁中度風險投資組合除了以上報酬5個最小報酬限制式以外，我們還需一個限制式，將投資於個別共同基金的比例總和限制為1。第5章進階線性規劃應用第221頁中度風險投資組合目標表示如下：此版本的投資組合最適化問題的完整線性規劃模式有11個變數、11個限制式。第5章進階線性規劃應用第221頁中度風險投資組合第5章進階線性規劃應用第222頁中度風險投資模式的解

第5章進階線性規劃應用第223頁5.4賽局理論賽局理論(gametheory)中，稱為參與者(players)的兩個或更多的決策者，彼此競爭。參與者在事先不知道其他參與者（們）所選策略的情況下，在若干種策略中選擇其一。競爭策略的組合為參與者們提供賽局的價值。賽局理論應用是團隊、公司、政治候選人及合約的競標者等情況。第5章進階線性規劃應用第224頁5.4賽局理論雙人零和賽局(two-person,zero-sumgames)雙人(two-person)係指賽局中有兩位參與者。零和(zero-sum)則指一位參與者的所得（或損失）等於另一位參與者的損失（或所得）。賽局的得與失是平衡的（導致總和為零）。一位參與者贏得的即另一位參與者輸掉的。我們將以兩家公司競逐市場占有率的例子來說明雙人零和的賽局。第5章進階線性規劃應用第225頁競逐市場占有率假設市場上僅有兩家企業提供某種獨特商品；它們彼此競逐市場占有率。兩家公司都會從以下三種策略中選擇其一，由對手公司取得市場占有率。三種策略如下：策略1：增加廣告策略2：提供數量折扣策略3：延長保固第5章進階線性規劃應用第225頁競逐市場占有率A公司在不同的策略組合中取得的市占率。由於是零和賽局，A公司的贏得的市占率即B公司損失的市占率。第5章進階線性規劃應用第225頁競逐市場占有率第5章進階線性規劃應用第226頁市占率賽局符合雙人零和賽局：兩家公司即兩位參與者，A公司增加（減少）的市占率即B公司減少（增加）的市占率，所以是零和。賽局理論的邏輯假定每個參與者都有相同資訊，會由自身觀點選擇可得到最佳可能報酬的策略。競逐市場占有率第5章進階線性規劃應用第226頁A公司找出自己的每個策略的最小報酬，即報酬表的每一列的最小值。這些列的最小值見表5.6。競逐市場占有率第5章進階線性規劃應用第226-227頁A公司選擇的策略是得到若干列策略最小值中的最大值。此策略稱為極大化最小值策略(maximinstrategy)。找出單一策略解第5章進階線性規劃應用第227頁無論對手的選擇是什麼，兩位參與者都選擇自己的最佳策略，此種賽局即有單一策略解(purestrategysolution)。列的幾個最小值中的最大值等於欄的幾個最小值中的最大值時，參與者即使改變策略也得不到更好的報酬，我們稱此種賽局有鞍點(saddlepoint)或平衡點。單一策略解的條件如下：一個賽局有單一策略解，如果：最大值（列最小值）＝最小值（欄最大值）找出單一策略解第5章進階線性規劃應用第227-228頁以下步驟可用以決定賽局是否有單一策略解，並找出個別參與者的最佳單一策略解。步驟1.計算每一列的最小報酬（參與者A）。步驟2.對參與者A而言，選擇可提供數個列最小值中最大值的策略。步驟3.計算欄的最大報酬（參與者B）。步驟4.對參與者B而言，選擇可提供數個欄最大值中的最小值的策略。步驟5.如果列最小值的最大值等於欄最大值的最小值，此賽局有單一策略解。參與者A的最佳單一策略可在步驟2找到，參與者B的最佳單一策略可在步驟4找到。如果列最小值的最大值不等於欄最大值的最小值，此賽局沒有單一策略解。找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第228頁找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第228-229頁混合策略(mixedstrategy)是指每位參與者根據機率分配來選擇策略。A公司將根據以下的機率選出策略：PA1=A公司選擇a1

策略的機率PA2=A公司選擇a2

策略的機率PA3=A公司選擇a3

策略的機率找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第229頁將每個策略的報酬以機率為權重並加總後，得到A公司市占率增加的期望值(expectedvalue)。如果B公司選擇b1策略，此期望值指的是如果選擇b1策略的期望收穫(expectedgain)，可以表示如下：對A公司而言，在B公司的不同策略下，表達市場占有率之增加的期望值算式整理如表5.9。找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第229頁找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第229頁賽局理論的邏輯假定A公司選擇混合策略時，B公司將選擇使A公司的市占率增加期望值最小的策略。A公司如何以線性規劃來找到最佳混合策略。我們的目標是找出機率PA1、PA2及PA3，使A公司的市占率增加期望值為最大，無論B公司的策略選擇是什麼。找出混合策略解第5章進階線性規劃應用第230頁A公司將運用極大化最小值策略來選擇其最佳混合策略，此策略將使最小期望所得極大化。目標表示如下：定義GAINA是A公司的市占率增加的最佳期望值。GAINA將等於Min{EG(b1),EG(b2),EG(b3)}。A公司試圖使B公司獲得的EG的最小值極大化B公司將選擇使A公