工程力学 第2版 课件 第5章 点的合成运动

工程力学第五章点的合成运动§5.1绝对运动、相对运动和牵连运动xy'x'yo'o

相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。

习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，以Oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，以O'x'y'坐标系表示。

用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：(1)动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动(absolute)；(2)动点相对于动参考系的运动，称为相对运动(relative)；(3)动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动(embroil)。vavevr定参考系动参考系动点牵连运动绝对运动相对运动一点、二系、三运动xy'x'yo'ovavevr(1)动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。

(2)动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。

由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系做平动，否则其上各点的运动都不完全相同。

由于动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：

在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示)。解：静系取在地面上，动系取在杆上，则牵连点的概念例5-1如图杆长l，绕O轴以角速度w转动，圆盘半径为r，绕O′轴以角速度w′转动。求圆盘边缘M1和M2点的牵连速度。§5.2点的速度合成定理点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。处理具体问题时应注意：(1)选取动点、动参考系和定参考系。(2)应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。

动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。

动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。动点动系动点动系动点动系点线接触点线接触点圆接触

点线、点圆接触问题中，常取接触点为动点，动系固连在具有长的直线形或圆形轨道的物体上(即直线或圆所在的物体上)。线圆接触线圆接触动点动系动点动系例5-2如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w

绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。ABeCOqwvevavrq解：因为杆AB做平动，选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例5-3刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为ω，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度ω1。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。jAO1OwBjvevavr例5-4水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：uABOMrjvrvave例5-5求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设OA=a,AC＝b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vAqBCOvavevrvCwOCO'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae§5.3牵连运动是平动时点的加速度合成定理点的速度合成定理两边对时间求导右边第一项：右边第二项：牵连运动是平动时点的加速度合成定理O'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae

曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω做匀角速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。例5-6解：1.选择动点，动系与定系：动系——Bx′y′，固连于丁字形杆。2.运动分析绝对运动——以O为圆心的圆周运动。相对运动——沿槽CD的直线运动。牵连运动——丁字形杆BC

沿水平方向平动。动点——滑块A定系——固连于机座。应用加速度合成定理3.加速度分析绝对加速度aa：aa=OAω

2，沿着OA，指向O。相对加速度ar：大小未知，方向沿铅直槽DE。牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量，沿水平方向得杆BC的加速度

凸轮在水平面上向右做减速运动，如图所示。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。例5-7

解：1.选择动点，动系与定系动系——Ox′y′，固连于凸轮。2.运动分析绝对运动——直线运动牵连运动——水平平动动点——AB的端点A。相对运动——沿凸轮轮廓曲线运动定系——固连于机座。3.速度分析绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆

周的切线

。牵连速度ve：ve=

v，方向水平向右。根据速度合成定理可求得：4.加速度分析绝对加速度aa：大小未知，为所要求的量，方向沿直线AB。相对加速度切向分量art：

大小未知，垂直于OA，假设指向右下。牵连加速度ae：ae=

a

，沿水平方向。相对加速度法向分量arn：arn=vr

2/R，沿着OA，指向O。根据加速度合成定理上式投影到法线n上，得解得杆AB在图示位置时的加速度例5-8图示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ω0转动。套筒A可沿BC杆滑动。已知BC=DE，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：1.选择动点，动系与定系动系——Cx′y′，固连于杆BC。2.运动分析绝对运动——以O为圆心的圆周运动。牵连运动——平动。动点——滑块A。相对运动——沿杆BC直线运动。定系——固连于机座。

3.速度分析绝对速度va：va=ω0r，垂直于OA向下。相对速度vr：大小未知，方向沿杆BC向左。

牵连速度ve：ve=

vB，垂直于BD向右下。可得因而杆BD的角速度大小为应用速度合成定理4.加速度分析。绝对加速度aa：aa=ω0r

，沿OA，指向O。牵连加速度切向分量aet：

与aBt相同，大

小未知，垂直于DB，假设向下。相对加速度ar：大小未知，沿BC杆，指向未知，假设向右。牵连加速度法向分量aen：aen

=aBn=ω2l=ω02r2/l，方向沿直线DB，指向D。上式两端向y轴投影得解得根据加速度合成定理所以杆BD的角加速度例5-9平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC=e，凸轮绕轴O转动的角速度为ω，角加速度为α。求OC与水平线成夹角φ时顶杆的速度和加速度。BACOjyxwMαM解法1用运动方程求解。因推杆做平动，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：BACOjyxwMαMy解法2取圆盘的中心C为研究的动点，动参考系与平底推杆AB固连，分析动点的速度和加速度如图所示。BACOjyxwMMαj可求得：向y轴正向投影：BACOjyxMj线圆接触线圆接触动点动系动点动系§5.4牵连运动是转动时点的加速度合成定理rO'O'j'k'i'y'z'x'xyzO

设动参考系O'x'y'z'以角速度we绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k'的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArAwe同样可得i′、j′的导数：rMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzO

点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。令 ,称为科氏加速度，于是有qwevraC科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。aC大小为工程中常见的平面机构中，we垂直于vr，此时aC=2wevr，且vr按we转向转90°就是aC的方向。weaCvr当牵连运动为平动时，we=0，因此aC=0，此时有这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。在北半球,沿经线(南北)流动的河流的右岸易被冲刷(如香江),铁路的右轨磨损厉害，在南半球则相反。例5-10刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为ω，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度ω1和角加速度。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。vevavrjAO1OwBjAO1OBww1a1araetaenaaaC由于动参考系做转动，因此加速度合成定理为：jAO1OBw1a1araetaenaaaCh为了求得aet，应将加速度合