《微积分（第4版）》 课件 张学奇 第0-9章 绪论、函数-常微分方程

1线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础一、微积分的设课目的二、微积分的发展过程三、微积分研究的基本问题及方法四、高等数学与初等数学的联系和区别五、怎样学习微积分绪论

3

微积分课程是高等院校必修的一门重要基础课和工具课.通过本课程的学习，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础和数学方法。另外，微积分对人的思维能力的发展具有深刻的影响，通过微积分课程的学习，可以促进学生数学能力与素质的发展。良好的数学能力与素质已经成为衡量一个科技人员文化素质的重要标志.绪论一、微积分的设课目的4

初等数学阶段

17世纪以前的数学，研究的是常量及其常量间的代数运算；研究的形是孤立的、不变的、规则几何形体及其不同几何形体内部及相互间的关系，这样形成了初等数学．二、微积分的发展过程

高等数学阶段

1637年，法国数学家笛卡儿引入了坐标，建立了解析几何．使数学的发展进入了一个新阶段．在这个阶段中，研究的“数”是变数或变量，研究的“形”是不规则的几何形体，而且“数”和“形”开始紧密地联系起来．5

在17世纪英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在许多数学家工作的基础上创立了微积分.微积分为变量建立了一种行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对与自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量作用的整体积累，前者称为微商，后者称为积分，统称为微积分．这一阶段称为高等数学阶段．牛顿（Newton）莱布尼茨（Leibniz）6三、微积分研究的基本问题及方法

1.极限：极限方法是微积分的最基本方法，微积分的主要基本概念都是建立在极限的思想基础之上.

割圆术：公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中曾用割圆术计算圆的面积和圆周率.并指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”

这里就渗透着极限的思想方法.72.自由落体运动的瞬时速度例求自由落体运动在时刻的瞬时速度.

解

考察到时间间隔内速度的变化.局部时间间隔上的平均速度

时刻的瞬时速度8xoy3.平面曲边图形的面积

例求由抛物线直线及轴所围成的平面图形的面积.解(1)分割：将曲边图形分割成部分小曲边图形.

(2)近似：将小曲边图形面积用小矩形面积代替.9(3)积累：将小矩形求和得曲边图形面积近似值.(4)精确：用极限将近似转化为精确.10微积分研究的方法及基本问题综述

1.极限思想方法是微积分的最基本方法，其思想贯穿于微积分内容始终，微积分的主要概念建立在极限基础之上.

3.两类问题求解思想方法的核心是局部以匀代变、以直代曲，通过极限实现匀与变、直与曲的转化.体现了通过矛盾的转化解决矛盾的唯物辨证法的矛盾分析方法.

2.变速直线运动的瞬时速度与平面曲线图形的面积问题是微积分的两个最基本问题,它是微积分的典型代表,微积分的主体内容导数与积分就是由其引出的.11四、高等数学与初等数学的联系和区别初等数学高等数学教学内容以常量为主，量的特征为静止、均匀、有限基本初等函数及基本特性以变量为主，量的特征为运动、非均匀、无限初等函数及一般特性教学方法教师带领下学生被动学习教学内容少、学时多、速度慢，注重内容学习教师启发下学生主动学习教学内容多、学时少、速度快，注重能力培养12五、怎样学习微积分学习微积分的一般原则:1.读认真阅读和深入钻研教材内容.深刻理解概念、定理、公式、方法的内涵与实质及其内在联系,培养抽象思维和逻辑运算能力.

2.思学习中要独立钻研,勤于思考,敢于提出问题,善于钻研问题,培养自己的创造思维和自学能力.

3.练必须做一定数量的习题,深化对概念、理论、思想方法的理解和掌握.

4.用逐步培养自己综合运用所学的数学知识解决实际问题的意识和兴趣,培养数学建模能力.13学习微积分的具体方法抓概念：把握内涵，理清脉络，抓住联系.抓理论：把握本质，深化理解，注重应用.抓方法：把握步骤，掌握类型，注意条件.抓题型：把握特征，注意要点，明确过程.抓总结：把握结构，总结规律，突出重点.一、实数集二、实数的绝对值三、区间与邻域预备知识第一章函数一、实数集整数集

无理数

这种无限不循环小数称为无理数.有理数集有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.16正无理数负无理数

(无限不循环小数)正有理数零负有理数实数有理数无理数正整数正分数负整数负分数

实数的全体充满了整个数轴，即实数不但是稠密的，而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一对应的关系.实数系统可表示为：17二、实数的绝对值|x|的几何意义为数轴上点x到原点的距离.实数x的绝对值，记为|x|，它是一个非负实数.即|x|=实数的绝对值的性质：(1)对于任意的，有.

当且仅当x=0时，才有|x|=0.18(5)设，则|x|<a

的充要条件是–a<x<a.(6)设，则的充要条件是.(7)设，则|x|>a的充要条件是x<–a或者x>a.(8)设，则的充要条件是或者.(2)对于任意，有|–x|=|x|.(3)对于任意，有.(4)对于任意，有.19关于四则运算的绝对值，有以下的结论:对任意的，恒有20三、区间与邻域1.区间：区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们的名称、记号和定义如下21表示分别以为左、右端点的开区间，区间长度为.

2.邻域

称实数集为点a的邻域，记作a称为邻域的中心，称为邻域的半径.由邻域的定义知在中去掉中心点a得到的实数集称为点a的去心邻域，记作.22线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础24第一章函数第一节函数的概念第二节反函数与复合函数第三节初等函数第四节函数模型一、函数的概念二、具有特性的几类函数第一节函数的概念第一章函数

变量：如果一个量在某个过程中是变化的,即可以取不同的数值,则称这种量为变量.变量通常用x,y,t,表示．常量：如果一个量在某过程中保持不变,总取同一值,则称这种量为常量.常量通常用a,b,c，表示.

例变速运动物体的速度、某地区的温度、某产品的产量和成本等均为变量．一、函数的概念第一节函数的概念

变量与变量之间的依赖关系是微积分研究的主要问题．先看下面的例子.

例自由落体运动.设物体下落的时间为t,下落的距离为s，假定开始下落的时刻为t=0，那么s与t之间的依赖关系式为:其中g是重力加速度，假定物体着地时刻为t=T，那么当时间t在闭区间[0,T]上任取一值时，由上式就可以确定相应的s值.1.函数的概念

例设有半径为的圆,考虑内接与圆的正边形的周长.可得内接正边形的周长与边数之间的依赖关系式为:当边数在3,4,5,等自然数中取任意一个确定值时,由上式都有周长的已相应值对应.

上述例子都表达了两个之间的依赖关系,这种依赖关系确定了一种对应法则,这种这种对应法则所反映的关系称为函数关系.

定义1

设D是实数集上的一个非空子集，如果有D到R上的一个映射（对应规则）f，使得对于每个，通过映射f都有惟一确定的数与之对应，则称f为定义在D上的函数，x称为f的自变量，y

称为因变量，函数记作其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个根据映射f对应于一个y，记作y=f(x)，称为函数f在x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域设函数y=f(x)的定义域为D.在平面直角坐标系Oxy中,对于任意的,通过函数y=f(x)都可确定一个点M(x,y),当x取遍定义域D中的所有值时，点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形.一个函数的图形通常是一条曲线.因此,又称函数y=f(x)的图形为曲线y=f(x).xxyyy=f(x)

2.函数的两个要素

(1)函数的定义域函数定义域的确定就是确定使得函数有意义的自变量的取值范围．对于实际问题的定义域，通常由实际问题的性质而定.例求函数的定义域.所以函数的定义域为

.解要使函数y有定义，应满足

例

已知存款的月利率为k%，现存入银行a元本金，按复利计算，记第n个月后的存款余额为C（n）则它给出了存款余额与存款时间的函数关系.其定义域为

(2)函数的对应关系例解

两个函数相等的充分必要条件是其定义域、对应规则分别相同.若函数和则

例

说明函数与是否相同?

解

函数的定义域为函数的定义域为所以，函数与不相同.3.函数的表示法函数的表示法通常有表格法,图象法,公式法三种.

(1)表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，这样函数关系就用表格法来表示出来.如对数表和三角函数表等都是用表格法来表示函数的.

例某地区8天的最高气温可以由下面表格表示.

此表格反映温度与日期之间的对应关系.

(2)图象法用函数y=f(x)的图形直观地表达自变量x与因变量y之间的关系的方法为图象法.例某河道的断面图形如图所示.此图形反映了河道深度y与岸边到测量点的距离x之间的函数关系.

这里河道深度y与岸边到测量点的距离x之间的函数关系是用图形表示的.其定义域为区间[0,b].xyy=f(x)

(3)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.

例设半径为x的圆的面积为S,则面积S与半径x之间的函数关系可由公式表示.函数的定义域为例

f(x)的定义域是[-1,1].其对应关系为

用两个或两个以上的公式来表示一个函数,这类函数称为分段函数

.分段函数是公式法表达函数的一种方式.在理论分析和实际应用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函数是用几个公式合起来表示一个函数,而不是表示几个函数.

用公式法来表示一个函数,通常表达为y=f(x)的形式称为显函数;有时可以用方程F(x,y)=0来表达称为隐函数;有时也可用参数方程来表达.

例半径为r的上半圆其方程分别可以由下述形式表达.显函数形式隐函数形式参数方程形式1.函数的有界性三、函数的特性定义设函数y=f(x)的定义域为D,数集，如果存在正数M,使得对于任意的,都有不等式成立,则称f(x)在X上有界,如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界.

注:如果M为f(x)的一个界,易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.如果f(x)在X上无界,那么对于任意给定的正数M,X中总有相应的点,使

有界函数图象特征:当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时,函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=–Ｍ之间.

例函数f(x)=sinx在内有界.这是因为对于任意的都有(Ｍ=1)成立.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y=–1之间.注:

函数的有界性与自变量的变化范围Ｘ相关.2.函数的单调性

定义设函数y=f(x)在区间I上有定义.如果对于任意的,当时,均有成立,则称函数y=f(x)在区间Ｉ上单调增加

(或单调减少).如果对于区间I上任意两点，当均有则称函数y=f(x)在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).严格单调增加的函数的图形是沿x

轴正向上升的；严格单调减少的函数的图形是沿x

轴正向下降的；单调函数图形特征:xxyy例函数内严格单调增加.

例函数内是严格单调减少的，在区间上是严格单调增加的,而在区间内则不是单调函数.xyxy

定义设函数y=f(x)在关于原点对称的区间I上有定义.如果对于任意的,均有成立.则称f(x)为偶函数.偶函数的图形关于y轴对称.3.函数的奇偶性

如果对任意的,均有成立,则称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.例讨论下列函数的奇偶性:解

若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常周期函数的周期是指其最小周期.4.函数的周期性

定义设函数y=f(x),如果存在正常数

T,使得对于定义域内的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，T为f(x)的周期.例函数y=sinx及y=cosx都是以为周期的周期函数；函数y=tanx及y=cotx都是以为周期的周期函数.例函数的周期为第一章函数第二节反函数和复合函数一、反函数二、复合函数第二节反函数与复合函数一、反函数

定义设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W,如果对每一个,都有确定的且满足的使得与之对应,其对应法则记为.这个定义在W上的函数称为函数的反函数.或称其为互为反函数.反函数的定义域为W值域为D.习惯上将改写为52函数与其反函数的关系是变量x与y互换,所以它们的图形是关于直线y=x对称的.

例设函数y=2x–3，求它的反函数.解53二、复合函数

定义设y是u的函数y=f(u)，,而u是x的函数并且的值域包含f(u)的定义域,即,则y通过u的联系也是x的函数,称此函数是由y=f(u)及复合而成的复合函数，记作并称x为自变量,称u为中间变量.变量之间关系为因变量中间变量自变量54所以可以复合,复合函数为的定义域为值域为所以使可以复合,应满足其复合函数为例求下列函数的复合函数解

(1)由于的定义域为

(2)由于的定义域为的定义域为值域为55例下列函数是由哪几个函数复合而成.解所讨论的复合函数由下列函数复合而成复合函数的复合与分解关系函数复合函数分解函数由里到外函数由外到里56例解57第一章函数第三节初等函数一、基本初等函数二、初等函数一、基本初等函数(一)常函数y=C(C为常数)常函数的定义域为,无论x取何值，y都取值常数C.第三节初等函数常函数的图象为平行于x轴且与x轴间距为C的水平直线.y=C60(二)幂函数幂函数的定义域随的不同而不同.61指数函数的定义域为.当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何的a,的值域都是，函数的图形都过(0,1)点.在高等数学中，常用到以e为底的指数函数这里e=2.7182818，是一个无理数.62对数函数是指数函数的反函数,它的定义域为.当a>1时,它严格单调增加;当0<a<1时,它严格单调减少.对于任何限定的a，的值域都是,函数的图形都过(1,0)点.在微积分中,常用到以e为底的对数函数(记作lnx),lnx称为自然对数.63(五)三角函数正弦函数

y=sinx;余弦函数y=cosx;y=sinx与y=cosx

的定义域均为，它们都是以为周期的函数,都是有界函数.sinx

是奇函数，cosx是偶函数.64正切函数y=tanx;余切函数y=cotx;65(六)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数66二、初等函数定义由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数，称为初等函数

.67第一章函数第四节函数模型一、实际问题函数模型举例二、几种常用的经济函数模型

第四节函数模型函数模型是一种反应变量之间相依关系的数学模型．它是一种最基本的数学模型形式.

一、实际问题函数模型举例函数模型通常可以通过解析式进行表示，用解析式表示实际问题的过程是：

(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；

(2)根据所给条件，运用数学、物理等知识规律确定等量关系；

(3)具体写出解析式，并指明定义域．70

例欲建一个容积为V的长方体游泳池，它的底面为正方形，如果所用材料单位面积的造价池底是池壁的3倍，试将总造价表示为底面边长的函数.

解设底面边长为x，总造价为P

，池壁单位面积的造价为a

，底面单位面积造价为3a，则游泳池的高为，侧面积为，故总造价函数模型为71例某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内每公里k元;超过a公里,超出部分每公里为0.8k元,秋运价P与里程s之间的函数关系.解根据题意可列出函数关系为这里运价与里程之间的函数关系为分段函数.定义域为72

例指数函数模型是实际问题中广泛应用的一类模型，很多自然现象可以通过指数函数模型进行描述.

（1）衰减记忆模型假设t周后你能记住所学知识的百分比是P（t），则其中Q是难以忘记的百分比，k是一个常数，它依赖于所要记忆的知识.

（2）赫尔学习模型一个打字员学习打字，t周后每分钟打的英语单词数W的函数模型为73二、几种常用的经济函数模型

1．需求函数与供给函数设商品的需求量与供给量分别用Q和S表示，商品价格为p，若忽略市场其它因素的影响，只考虑反映该商品的价格因素，则Q和S分别为p的函数，即有（价格取非负值），称为需求函数.（价格取非负值），称为供给函数.通常需求函数是价格的单调减少函数，商品供给函数是商品价格的单调增加函数.74，，，，，类型需求函数供给函数线性函数幂函数指数函数常用的需求函数与供给函数模型75当市场上的需求量和供给量相等时，需求关系与供给关系达到某种平衡，这时的价格和需求量分别称为均衡价格与均衡量，而称为均衡点.如果把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中，由于需求函数Q是单调减少函数，供给函数S是增加函数，它们相交于的点为均衡点，其横纵坐标即为均衡价格与均衡量.p0Q=Q(p)Q0OS=S(p)pQ76

例某商品的需求量和供给量与其价格满足如下关系式：和试求市场平衡的价格和数量.

解求均衡价格和数量，即解方程组解之得或（无意义）故所求均衡价格为84个单位，均衡数量为8个单位.77

2．成本函数、收益函数与利润函数

总成本是指生产一定数量的某种产品所需费用的总和；总收益是指产品出售后所得到的收入；总利润则是指总收益减去总成本．若只考虑产品的数量q，而不考虑市场其它因素的影响，则用表示总成本函数；表示总收益函数；表示总利润函数．总成本函数一般可分为固定成本与可变成本两部分，则总成本函数

78如果产品的销售价格函数，则总收益函数为总利润函数为生产个单位产品时的平均成本、平均收益和平均利润分别为79

例某工厂生产某产品，年产量为台，每台售价为250元，当年产量在600台以内时，可以全部售出．经广告宣传后又可再多售出200台，每台平均广告费20元，若再生产，本年就销不出去了．试建立本年的销售总收入R与年产量q之间的函数关系．解当时当时当时80所以，销售总收入R与年产量q之间的函数关系为8183线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.例

设

观察数列的极限

由数据和图形观察数列的变化趋势123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，当时，数列变化的大致趋势是单调递增，且，可以证明

数e是一个无理数100线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础中国人民大学出版社第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限数列极限定义的精确化数列极限定义用逻辑语言表述为：注：正数具有任意性和给定性，它是用于衡量与A接近程度的.极限定义的几何意义当时，所有点全部落在区间内，只有有限多个（最多N个）点落在区间之外.当n无限增大时，区间向点A无限收缩，介于区间

内的点就向A无限趋近.例

证明分析

因为对于任意给定，要使，只要即即可.证明对于任意给定，取所以例

证明证明由于所以因此，要使只要即，于是对于任意给定，取四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.单调有界准则

单调有界数列必有极限.准则的几何解释:在数轴上,对应于单调数列的点列只能从开始向一个方向排列,所以只有两种可能情况：或者点列沿数轴移向无穷远处(此时发散)；或者点列无限趋近于某一个定点a(常数)，也就是以A为极限.因此,对有界数列必有极限.例

设

观察数列的极限

由数据和图形观察数列的变化趋势123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，当时，数列变化的大致趋势是单调递增，且可以证明

数e是一个无理数第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为xyO几何意义类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左极限右极限对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.所以极限不存在.例解四、函数极限的性质定理(唯一性)定理(局部有界性)定理（保号性）定理（保序性）第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为定义

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyO141例

证明证明所以对于任意给定，由于即取则当有类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.记为说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy148函数极限定义的精确化定义函数极限定义可以简述为150

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyxy151例

证明证明所以对于任意给定，当时，为使即取则当时，有由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左极限右极限对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.所以极限不存在.例解四、函数极限的性质定理(唯一性)证明定理(局部有界性)证明定理（保号性）证明类似的可以证明情形定理（保序性）证明第二章极限与连续第三节无穷小与无穷大一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小量第三节无穷小与无穷大注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.定义若则称

是极限过程下的无穷小量，简称无穷小.1.无穷小量的定义

1.要指明自变量的变化过程(如)；说明:在确定一个量是否为无穷小量应注意2.在这个过程中,函数f(x)以0为极限.例例2.极限与无穷小量的关系证(必要性)定理

例

当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式．解所以，为所求极限值与一个无穷小量之和的形式．

无穷小与微积分无穷小量在建立微积分时具有基础性的地位，早期的微积分常称为无穷小分析.在17世纪下半叶微积分创立以后，微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示了巨大的威力，但由于当时还没有建立起严密的极限理论，在实际应用中常常将无穷小时而变成0，时而又说不是0，显得很“神秘”，难以捉摸，甚至微积分的主要创立者牛顿，也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱，因此，微积分的“神秘性”受到了唯心主义哲学家们的猛烈攻击，嘲笑无穷小是“逝去的鬼魂”.引起了数学史上著名的“第二次数学危机”.为了微积分的健康发展，也为了摆脱这种危机，以及克服由于没有严格的极限理论而导致的一些混乱，许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做出了许多工作.性质1

有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论常量与无穷小之积为无穷小.性质3

有限个无穷小之积为无穷小.3.无穷小的性质注意:无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.注意：两个无穷小之商未必是无穷小.解例定义设函数f(x)在的某去心邻域内有定义.若当时,无限增大,则称f(x)当时为无穷大量，简称无穷大，并且记为二、无穷大

若当时,(或)无限增大,则称f(x)当时为正无穷大(或负无穷大),记为

无穷大的几点说明：

1.函数f(x)当时为无穷大,则极限是不存在的.简记为

2.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量,不是绝对值很大很大的固定数.类似地可以给出x的其他趋向下的无穷大量定义.无穷大的图形特征例三、无穷小与无穷大的关系定理即无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一趋向下,无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.需要指出的是无穷大与无穷小不同的是：在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定结果的，需具体问题具体考虑.第二章极限与连续第四节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数极限运算法则定理一、极限的四则运算第四节极限的运算法则证明定理中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论.结论(2)还有如下常用的推论.推论1

设存在，则对于常数c，有推论2

设存在，则对于正整数n，有例解例解

多项式(有理整函数)的极限则有即有理分式函数的极限例解例解例解例解有理分式函数的极限其中m，n为正整数.此结论可以作为公式使用.例求极限解例解先变形再求极限.二、复合函数极限运算法则

定理设函数与的复合函数为

,若，，且在点的某一去心邻域内，则复合函数在点处极限存在，且特殊地，若则（变量代换）（位置互换）例求极限

解当时分子分母极限均为零，为型未定式，不能直接用商的极限法则.作变换令，则当时，，从而第二章极限与连续第五节极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限第五节极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则定理定理xy例证明极限证

在作圆的内接正多边形求圆面积时,当边数无限增多时弦与弧将无限接近,因此弦与弧比的极限.二、两个重要极限问题的提出:圆的弦与弧之比的极限ABO所以xOy如图.设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作重要极限一

证则sinx=BC，tanx=AD，DABCO又因为和都是偶函数，所以，由函数极限夹迫准则得该极限是微积分中的重要极限之一，后续内容中有关三角函数的一些重要公式可由该公式推得，应该熟练掌握该公式，重要极限的应用说明

1.重要极限的一般形式

2.重要极限解决问题的特征：重要极限解决含有三角函数的型极限.

3.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特征,又要注意极限过程.（极限变形）例解例解例解例解重要极限二观察如下数据表1231010010001000022.252.372.5942.7052.7172.718

从表中可以看出当x无限增大时,函数无限逼近确定的数值,此值为无理数e=2.718281828.自然界中植物、人口的增长，物体的冷却放射元素衰变等现象都与指数函数及无理数e密切相关.重要极限的应用说明

1.重要极限的变形2.重要极限解决问题的特征重要极限主要解决幂指函数的型极限.3.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特征,又要注意极限过程.例解例解

例设有本金1000元,若用连续复利计算,年利率为8%,问5年末可得本利和为多少？解设复利一年计算一次，则一年未本利和为若复利三个月为一期计算，则x年末本利和为同理，若复利一年计算n次，则x年末本利和为现设想n无限增大，以致复利接连不断地计算，则

当时，称之为连续复利，其极限为第二章极限与连续第六节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质第六节无穷小的比较

一、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小.但两个无穷小的商确会出现不同情况.例这些情形表明,同为无穷小,但它们趋于0的速度有快有慢.为了比较不同的无穷小趋于0的速度,引入无穷小量阶的概念.这些无穷小的商为定义

同阶无穷小.例二、等价无穷小的性质定理证明因为即由极限与无穷小之间的关系知其中即所以无穷小等价代换定理证用此定理求两个无穷小之比的极限时,若极限难求,可用分子、分母各自的等价无穷小来代替,以简化运算.应用无穷小等价代换定理求极限，需要预先知道一些等价无穷小.常用等价无穷小的有：例解例解例解所以例解所以例解

注意：相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换,但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换.第二章极限与连续第七节函数的连续性一、连续与间断的直观描述二、函数连续与间断概念三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数性质问题导言——连续与间断第四节函数的连续性

自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是随时间连续地变化的.这种现象在反映在函数关系上就是函数的连续性.连续性描述了自然界的渐变现象.除了渐变现象，自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的间断特征.连续与间断问题举例

在此，从函数连续与间断的矛盾关系出发，展开对函数连续与间断特征的研究.放射性元素铀的衰变的数学模型火箭飞行中的质量变化函数图形一、连续与间断举例与描述连续与间断点特征分析间断点特征连续点特征定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，相应的函数增量也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0处连续.定义1.连续函数的概念二、连续与间断概念函数连续性的判别函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f(x0))处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线.函数的单侧连续若则称函数f(x)在点x0左连续.若则称函数f(x)在点x0右连续.

定理函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续.即函数的单侧连续主要用于分段函数分断点及区间端点处函数连续特征的讨论.若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且称它是开区间(a,b)上的连续函数.若函数f(x)在(a,b)内连续,并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.且称它是闭区间[a,b]上的连续函数.区间上的连续函数结论

基本初等函数在其定义域内为连续函数.例解因此f(x)在x=0点连续.例设函数，问当a为何值时，在处连续？解函数在处有定义，且因为要使在处连续，应满足即当时，在处连续.2、函数的间断点定义但是极限不存在，所以x=0是函数f(x)的间断点.例例函数在x=1