第二章正投影2下讲解

第三节直线的投影一、直线的投影特性二、直线的点三、两直线的相对位置§2.3直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。aa

a

b

b

b●●●●●●（1）求出直线两端点的三面投影。（2）用直线连接两端点的各同面投影，即得直线的三面投影。Va’b’AXBbaOa”b”zY注意：直线的投影规定用粗实线绘制。直线对一个投影面的投影特性2.3.1直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB真实性直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=Abcosα类似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●§2.3直线的投影投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）2.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面§2.3直线的投影1.特殊位置直线

1.特殊位置直线水平线正平线侧平线（1）投影面平行线§2.3直线的投影规定：直线对H面的倾角用α表示；对V面的倾角用β表示；对W面的倾角用γ表示。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α，与V面的角:β，与W面的夹角:γ。实长实长实长βγααβba

aa

b

b

§2.3直线的投影§1-3直线的投影§2.3直线的投影（2）投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线§2.3直线的投影铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)§2.3直线的投影§1-3直线的投影§2.3直线的投影2.一般位置直线§2.3直线的投影一般位置直线§2.3直线的投影abca

b

c

XABCVHbb

a

aX二、直线上的点cc

如图所示，C∈AB，则有c∈ab

，c′∈a′b′，c″∈a″b″。1、从属性

若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，则点在直线上。§2.3直线的投影例1：AB的三面投影，C在AB上，已知C点的H面投影c。求C点的其他两面投影§2.3直线的投影2、定比性直线上的点分割线段之比，在其投影上仍保不变持abca

b

c

XABCVHbb

a

aXcc

即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

§2.3直线的投影◆若点在直线上,则点的投影必在该直线的同面投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理§2.3直线的投影例2：已知直线AB及点K的投影，试判断点K是否属于AB。XOa'b'k'akba"b"k"§2.3直线的投影例3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV§2.3直线的投影三两直线的相对位置平行相交交叉空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。§2.3直线的投影⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

§2.3直线的投影例4判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

①§2.3直线的投影例5：如图所示，判断两条直线AB、CD是否平行。XOa'b'cdc'bd'aa"b"c"d"AB、CD不平行§2.3直线的投影HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交相交两直线的投影特性为：

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之亦然。交点是两直线的共有点§2.3直线的投影例6：如图，试过E点作直线，使该直线与AB、CD都相交。f'fkk'XOa'b'c（d）c'bd'ae'e§2.3直线的投影例7：如图，判断直线AB与CD是否相交。dXOa'b'cc'bd'aa"b"d"c"直线AB与CD不相交§2.3直线的投影3交叉两直线ABDCabcdABCDEFabcde（f）如果空间两直线既不平行又不相交，即为交叉两直线。§2.3直线的投影XOa'b'cdc'bd'aXOa'b'cdc'bd'a交叉两直线的投影特性为：既不满足相交两直线的投影特性，也不满足平行两直线的投影特性。值得注意的是：交叉两直线同面投影的交点，实际上是分别位于两直线上的两个点对于该投影面的重影点。§2.3直线的投影例8：判别两交叉直线AB、CD的相对位置，并标出重影点的可见性。XOa'b'cdc'bd'a(1)23'(4')2'1'34§2.3直线的投影两直线的相对位置的投影特性§1-3直线的投影§2.3直线的投影直线小结⒊一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒈投影面平行线

在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。2.投影面垂直线

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。一、各种位置直线的投影特性§2.3直线的投影⒈点的投影在直线的同面投影上——从属性。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。二、直线上的点三、两直线的相对位置⒈平行各同面投影互相平行。⒉相交同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间点的投影规律。⒊交叉（异面）同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。§2.3直线的投影直线的投影作业：习题册P23——P27第四节平面的投影二、各种位置平面的投影特性三、平面内的点和直线一、平面的表示方法

平面的投影通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。

上述5种方式中，平面图形是最常用的表示方式。一平面投影的表示方法

几何中定义的平面是无限伸展的，本节要讨论的是平面的有限部分。§2.4平面的投影平面按对投影面的相对位置，可以分为三类：平面分类

平面对投影面的相对位置

特殊位置平面

投影面平行面

平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面正平面（∥V面）

水平面（∥H面）侧平面（∥W面）投影面垂直面

只垂直于一个投影面正垂面（⊥V面）铅垂面（⊥H面）侧垂面（⊥W面）一般位置平面

与三个投影面都倾斜（∠V面、∠H面、∠W面）二、各种位置平面的投影特性§2.4平面的投影1.投影面垂直面正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜投影面垂直面种类:投影面垂直面投影特性:

平面所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实倾角。（积聚性）在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。（类似性）§2.4平面的投影正垂面

正面投影积聚成直线，水平和侧面投影为平面的类似形；

α、γ反映平面对H面、W面倾角真实大小，β=90°。§2.4平面的投影铅垂面

水平投影积聚成直线，正面和侧面投影为平面的类似形;β、γ反映平面对V面、W面倾角真实大小，α＝90°；§2.4平面的投影侧垂面

侧面投影积聚成直线,水平和正面投影为平面的类似形；α、β反映平面对H面、V面倾角真实大小，γ＝90°.§2.4平面的投影投影面垂直面§2.4平面的投影2.投影面平行面正平面：平行于V面，对H，W面垂直水平面：平行于H面，对V，W面垂直侧平面：平行于W面，对H，V面垂直

平面所平行的投影面上的投影反映实形；（实形性）平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。（积聚性）投影面平行面种类:投影面平行面投影特性:§2.4平面的投影正平面

正面投影反映实形；水平投影积聚成直线且平行于OX，侧面投影积聚成直线且平行于OZ;§2.4平面的投影水平面

水平投影反映实形；正面投影积聚成直线且平行于OX，侧面投影积聚成直线且平行于OYW§2.4平面的投影侧平面

侧面投影反映实形；水平投影积聚成直线且平行于OYH，正面投影积聚成直线且平行于OZ.§2.4平面的投影投影面平行面§2.4平面的投影一般位置平面§2.4平面的投影三、平面上的点和线点在平面上的条件：

如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。1、平面内的点§2.4平面的投影

直线在平面上的条件:通过平面上的两个点或通过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线。2、平面内的直线§2.4平面的投影1）d

d过平面内两已知点作辅助线求解●k

2）d

d过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解k

例1：已知平面ABC内一点K的H面投影k,试求K点的V投影k

。Xabca

b

c

k●0abca

b

c

k●X0ee●§2.4平面的投影例2：已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V面投影a′b′c′，试完成其V面投影。1）连接ac和a′c′

得辅助线AC的两投影；2）连接bd

交ac于e；3）由e在a′c′上求出e′；4）连接b′e′

在b′e′上求出d′；5）分别连接a′d

′及c′d′，即为所求。

c′bdaXc′bdaXca′b′d′ee′●●●§2.4平面的投影

例3：已知点N在△ABC平面上，求该点的水平投影n；并根据点M的两面投影，判断M是否属于△ABC。XOabca'b'c'n'm'mnM不属于△ABC§2.4平面的投影⒈一般位置平面三个投影为边数相等的类似多边形

——类似性⒉投影面垂直面

在其垂直的投影面上的投影积聚成直线

——积聚性

另外两个投影类似。⒊投影面平行面

在其平行的投影面上的投影反映实形

——实形性

另外两个投影积聚为直线。平面小结§2.4平面的投影

点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。二、平面内的点和直线1．平面上的直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2．平面上的点

在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。§2.4平面的投影平面的投影作业：习题册P28——P32本章学习指导1.基本要求：

（1）了解平行投影的基本性质，掌握正投影法的基本特点。

（2）熟练掌握点、线、面以及各种位置直线、平面的投影规律、特性、投影特征和作图方法。

（3）掌握直线上取点、平面上取点及平面上取线的作图方法。

（4）掌握两直线相对位置的投影特性。

（5）掌握直线与平面、平面与平面之间互相平行、相交的几何条件以及有关作图方法。能够运用直线、平面之间的相对位置的投影特性来分析和解决平行、相交范围内的图示、图解问题。

2.内容要点：

（1）点的三面投影规律：点的正面投影与水平投影的连线垂直X轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直Z轴；点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影到Z轴的距离。

（2）各种位置直线的投影特性：

投影面平行线：其投影中必有一投影平行于投影轴且反映其实长；

投影面垂直线：其投影中必有一投影集聚为一点，另二投影反映其实长。

（3）两直线相对位置及其投影特性：

两直线平行：其同面投影必相互平行。反之，若各组同面投影都相互平行，则两直线在空间必相互平行。

两直线相交：其同面投影必相交，且交点符合空间点的投影规律。

两直线交叉：其投影既不符合平行的投影特性，又不符合相交的投影特性。

（4）直线上取点及平面上取点、取线：

直线上取点：直线上点的投影在直线的同面投影上，且分割同面投影与空间线段成相同的比例。

平面上取点、取线：一直线过平面上两点则直线在平面上。点在直线上，而直线又在平面上，则点必在平面上。故要在平面上取点，必须先在平面上取直线。

第二章正投影作图基础（5）各种位置平面的投影特性：

投影面垂直面：其投影中必有一投影集聚为一倾斜直线，另二投影为该平面的类似形。

投影面平行面：其投影中必有一投影反映实形，另二投影集聚为一直线且平行于相应投影轴。3.重点难点分析与学习方法提示：

(1)重点：

①点、线、面的投影规律及其投影特性和作图方法是本章的核心，也是工程制图的重要基础，必须熟练掌握。其中重点是弄清特殊位置直线和平面的投影特性，建议用铅笔或细杆作直线，用三角板或硬纸片等作平面，将各种位置直线和平面

比划一遍，以加深对其投影特性的理解，并逐步记熟之。

②在平面上取点取线的几何条件和作图方法应熟练掌握。

③点、线、面在空间的几何关系的求解和判别。尤其是在相交问题中，直线与平面、平面与平面，当二者之一处于特殊位置时，其中必有一个投影具有积聚性，可直接利用有积聚性投影求得交点和交线的投影。第二章正投影作图基础(2)难点：

点、线、面的可见性的判别是本章的一个难点。如：两交叉直线重影点可见性的判别，要注意对两个投影图要分别判断其可见性。

注：凡加“*”号的内容为选学内容。第二章正投影作图基础本章习题指南P23

2-4-2

A点与W面的距离为25，求a’、aP25

2-5-4补画左视图并填空P27

2-6-2过点A作正垂线AB=15（由后向前）P31