导数的概念与计算习题课

综合题型分析基本题型分析要点解析课题：导数概念与计算习题课综合题型分析基本题型分析要点解析一、教学目标识知目标使学生从整体上把握教学内容结构及知识点间相互关系，明确教学要点、解决教学疑难，强化学生对导数概念理解、导数基本计算方法的掌握.通过对典型题型的分析和训练，使学生掌握基本教学内容，理清解题思路、把握常见题型.能力目标通过对典型题型的分析和研究，提高学生进行综合运用能力、分析解决问题的能力、构建变化率模型的能力，并受到解题技能的基本训练.二、教学重点导数概念的理解，各种求导方法.三、教学方法、教学手段教学方法：以综合概括把握整体结构和知识点相互关系为基础，通过典型题型分析，讲练结合，逐步深化，深化对教学内容的理解，提高解题能力.教学手段：利用多媒体课件辅助教学.四、教学基本流程教学基本要求内容结构内容概括练习练习练习练习评价归纳总结测试练习五、教学过程设计教学环节教学内容师生活动设计意图内容结构导数与计算内容整体结构及其相互关系教师讲述(课件)使学生从整体上把握教学内容结构及知识点间相互关系内容概括导数与计算内容归纳与概括教师归纳概括与学生复习相结合(课件)归纳复习课程教学内容要点解析导数与计算内容要点分析、疑难解析教师引发学生思考使学生明确教学要点、解决教学疑难基本题型分析基本概念、基本计算、基本方法典型题分析教师启发、分析、归纳、讲述(课件)强化学生对导数概念理解、导数基本计算方法的掌握基础练习基本概念、基本计算、基本方法练习学生练习，教师纠正、指导对学生进行基础训练，掌握基本教学内容综合题型分析知识点的综合、知识点的应用、解题技能技巧的强化教师启发、分析、归纳、讲述(课件)提高学生综合运用能力、分析问题能力及解题技能提高练习知识点的综合运用专题练习学生练习，教师纠正、指导对学生进行综合运用能力、解题技能的训练讲评指导练习、作业中的问题讲评学习方法的指导教师讲述及时反馈、纠正、解决教学中存在的问题归纳总结解题思路、方法的归纳与总结师生共同归纳总结使学生理清思路、把握题型模拟测试专题教学内容综合测试学生课下自测练习，教师评判了解专题教学内容的掌握情况，调整教学教案：导数概念与计算习题课教案：导数概念与计算习题课教学内容设计说明导数概念与计算习题课导数概念与计算是一元函数微分学的重点内容，导数作为变化率模型在实际问题中具有广泛的应用，导数计算是导数应用的基础，对于导数概念与计算必须熟练的掌握.一、教学基本要求1.理解导数的概念，知道导数的几何意义，了解可导与连续的关系. 熟练掌握导数的四则运算公式. 掌握反函数的导数公式，复合函数求导公式. 掌握对数求导法与隐函数求导法. n阶导数的方法.二、内容结构导数概念导数几何意义 导数的计算 函数变化率四则反函复合隐函参数对数运算数求函数数求方程求导求导导法求导导法求导法则法则则法则则法则高阶导数三、内容概括使学生明确教学基本要求，把握教学要点使学生从整体上了解教学内容之间的关系导数概念设函数y=f(x)在x0的某个领域内有定义，f(x)在x0处的导数为f'(x)=limΔy=limf(x0+Δx)−f(x0)0 Δx→0ΔxΔx→0 Δx通过表格形式导数使学生清晰的定义了解教学内容要点几何几何特征为曲线y=f(x)在x0处的切线斜率为f'(x0)，其切线方程为y–y0=f'(x0)(x–x0)意义导数平均变化率 Δy=f(x+Δx)−f(x)；Δx Δx变化率 limΔy=limf(x+Δx)−f(x)Δx→0ΔxΔx→0 Δx模型单侧f'(x)存在⟺f−'(x)=f+'(x)存在导数导数可导⇒连续；连续⇏可导连续求导法则四则运算求导法则定理若函数u=u(x)与v=v(x)在点x处可导，则（1）[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);（3）u(x)'=u'(x)v(x)−u(x)v'(x)(v(x)≠0)v(x) v2(x)进一步强化对知识要点的理解和掌握反函数求导法则定理若单调连续函数x=φ(y)在点y处可导，而且φ(y)≠0，则它的反函数y=f(x)在对应的点x处可导，且有f'(x)=1 φ'(y)复合函数求导法则uφxx处可导，而函数yfuu处可导，则yfφx在点x处可导，且有fφxf'u'x)求导方法1234隐函数求导法；(5)参变量函数求导法；(6)对数求导法；高阶导数f''(x)=limf'(x+Δx)−f'(x)；f(n)(x)=[f(n−1)(x)]'Δx→0 Δx四、要点解析导数概念1导数概念源于两个最典型的问题：速度与切线，解决这两类问题的思想是在局部强调匀速与变速、直线与曲线之间的辩证关系，重点在于把握匀与变、直与曲、近似与精确之间的转换.2导数概念是一个构造性局部概念，对于导数概念要明确定义的结构特征，把握其解决问题的类型；运用导数定义可以推导求导法则、基本公式；对于函数（分段函数）可导性的讨论一般需要利用导数定义.导数表达式的主要结构形式为f'(x)=limf(x0+Δx)−f(x0)=limf(x)−f(x0)=limf(x0+h)−f(x0)0 Δx x→x x−x h→0 h03导数作为函数变化率模型在实际问题中具有广泛的应用，当函数有不同实际含义时，变化率的含义也不同，如瞬时速度是物体位移对时间的变化率；化学反应速度是液体的浓度对时间的变化率；人口的增长速度是人口总量对时间的变函数变化率（导数）在每门学科中有不同的解释，当彻底地理解了导数概念的本质后，将这些抽象数学结果应用到实际问题中才能发挥出更大的作用.导数计算导数计算是一元函数微分学的重点，导数计算的核心是复合函数求导法则，掌握复合函数求导法则的要点是：明确复合函数的复合结构与复合顺序，求导时从外层到内层逐层求导，层层不漏，直到求到自变量一层为止.对于各类求导方法，要注意把握其解决问题的类型和特征，明确典型题型的求解思路和方法.五、基本题型分析（一）导数概念题型1根据导数定义求导数题型特点与解题技巧：利用导数定义求函数的导数主要用于：对于抽象函数记号，仅知其连续，不知其是否可导，需要用导数定义求导数；对于分段函数（或绝对值函数）在分界点处的导数，需要用导数定义求导数；某些函数在特殊点处，也可以用导数定义求导数.例求下列函数的导数（1）设函数f(x)=xsinx，求f'(0)；（2）设函数f(x)=x(x−1)(x−2)⋯(x−100)，求f'(0)；（3）设f(x)=φ(a+bx)−φ(a−bx)，其中φ(x)在x=a处可导，求f'(0).

指明用导数定义求导数的常见类型（1）f0=lim

xsinx−0=lim

xlimsinx=0

(1)绝对值函数需x→0

x−0

x→0

x→0x

用导数定义求导（2）由导数定义 f'(0)=limx(x−1)(x−2)⋯(x−100)−0x=lim(x−1)(x−2)⋯(x−100)=100!x→0（3）fx)φabxφabxf0φaφa)=0f'(0)=limφ(a+bx)−φ(a−bx)

(2)用定义求导比用求导法则简单(3)因不知φ(x)在x=0处是否可x→0

x−0

导，所以需用导=lim[φ(a+bx)−φ(a)]−[φ(a−bx)−φ(a)]

数定义x=blimφ(a+bx)−φ(a)+blimφ(a−bx)−φ(a)=2bφ'(a)bx

x→0

−bx类题练习：设f(x)=arcsinx 1−sinx1+sinx

，试用定义求f'(0)；题型2利用导数定义求极限题型特点与解题技巧：如果导数f'(x0)存在，则可以利用导数定义求极限

f(x0+Δx)−f(x0)=lim

f(x)−f(x0)=f'(x)Δx

x→x

x−x0000用导数定义求极限时，需要把极限凑成导数定义形式，它解决的是型未定式.0例设f'(x0)存在，求下列极限

注意强调定义的(1)limΔx→0

f(x0+3Δx)−f(x0)Δx

；(2)limh→0

f(x0+h)−f(x0−h)h

结构特征fx

)存在，求极限limnfx

+1

−fx

−1n0 n→∞ 0 n

02nlim

题型3讨论函数的可导性题型特点与解题技巧：判断函数的可导性可直接利用导数定义判断极限f(x0+Δx)−f(x0)是否存在？对于分段函数在分界点处的可导性，可以通Δx过左右极限是否存在且相等进行判别，即f'(x)存在⟺f−'(x)=f+'(x)存在x2+2x+3 x≤0例abfx)=

ax+b x>0

在(−∞,+∞)内可导.解显然fx在∪(0,内可导，只需讨论fxx=0处的可fxx=0处的可导必须连续由 limf(x)=lim(ax+b)=b=f(0)=3,所以b=3

注意可导条件中隐含着连续条件x→0x→0fxx=0处的可导，则有f0f0

分段函数的在−但 f'(0)=(x2+2x+3)'−

x=0=2

分段点处的可导性必须利用f'(0)=lim

f(x)−f(0)=limax+b−3=a

导数定义进行+ x→0x

x→0x讨论所以，a=2；故当a=2；b=3时f(x)在(−∞,+∞)内可导sinx x≤0fx)=

ex−1 x>0

在(−∞,+∞)内的可导性.例设f(x)在(−∞,+∞)内有定义，对∀x,y∈(−∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)且f'(0)=1,证明：当x∈(−∞,+∞)时，f'(x)=f(x)证明 因为对∀x,y∈(−∞,+∞)有f(x+y)=f(x)f(y)，取y=0，有f(x)=f(x)f(0)即 f(x)[1−f(0)]=0由f'(0)=1，得f(0)=1；对x∈(−∞,+∞)，有

注意：由f'(0)=1知f(x)≠0f'(x)=lim

f(x+Δx)−f(x)=lim

f(x)f(Δx)−f(x)Δx Δx=lim

f(x)[f(Δx)−1]=f(x)lim

f(Δx)−f(0)Δx Δx=f(x)f'(0)=f(x)题型4导数的几何意义应用题型特点与解题技巧：利用导数的几何意义可以求平面曲线在点x0处的切线方程 y–y0=f'(x0)(x–x0)3例ycosx3

，122

处的切线方程和法线方程.2yxsin2x2

,1+22

处的切线方程和法线方程.（二）各类函数求导法题型一利用四则运算求导法则求显函数导数例求下列函数的导数y'(1)y=cos(x2)⋅sin21； (2)y=arctanx+1；x题型二复合函数求导法

x−1

以复合函数求题型特点与解题技巧：复合函数的求导关键在于搞清复合关系，从外层到里层逐层求导，层层不漏；对于由四则运算和复合函数构成的函数，要先分清运算次序，再用相应的求导法则.例求下列函数的导数y'(1)y=x[cos(lnx)+sin(lnx)]；(2)y=f2[φ2(sinx2)]；

导法为核心，熟练掌握法则的使用过程及导数符号含义1例 设f2x

=sinx，求f'[f(x)],{f[f(x)]}' 解 令t=x，则f(t)=f'(t)=2cos2t，于是2f'[f(x)]=2cos2[f(x)]=2cos(2sin2x)；{f[f(x)]=f'[f(x)]⋅f'(x)=2cos()=4cos()类题练习：求下列函数的导数

明确求导符号的含义(1)y=xsin2

1−lnx；x x (2)若f(u)可导，y=f(sin2x)+f(cos2x)，求y'题型三隐函数求导法题型特点与解题技巧：求由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的导数的关键是y的函数是x的复合函数，如siny=sinf(x),ey=ef(x)等是x的复合函数，因此，求y对x的导数时要用复合函数求导法则，然后将含有y'的项放到等式的一端，不含y'的项移到另一端，解出y'.例 求下列函数的导数1sinxy)lnyx)xyfx，f02eyxye在点0,1处的切线方程.解(1)方程sin(xy)+ln(y−x)=x两边分别对x求导，得cos(xy)⋅(y+xy')+1(y'−1)=1 （*）y−x将x=0代入sin(xy)+ln(y−x)=x解得y=1所以，将x=0，y=1代入（*）式，解得f'(0)=1类题练习：（1）求由方程y=1+xey确定的隐函数的导数y'（2）求曲线e2x+y−cos(xy)=e−1在点(0,1)处的切线方程与法线方程.

注意指明y是x的复合函数题型四参数方程求导法

x=x(t)题型特点与解题技巧：求由参数方程

y=y(t)

yyx的导

了解求导公式的推导过程数可以直接利用公式dy=y'(t)例求曲线

dxx=y=etcost

x'(t)在点(0,1)处的法线方程.解 由x=0,y=1得t=0dy=etcost−etsint

=cost−sintdx +dy =cost−sintdx t=0

sin2t+2cos2t=12t=0所以，法线方程为y−1=−2(x−0)即y+2x−1=0类题练习：求参数方程

x=t(1−sint)y=tcost

所确定函数的导数

dy.dx题型五对数求导法题型特点与解题技巧：对数求导法主要适用于幂指函数、函数的积、商、乘方、开方等函数形式，解题方法是先取对数，然后对x求导，注意其中y是x的函数.例求下列函数的导数

使学生明确对数求导法解决问题的类型及要点x(1)y=1+x

；(2)y=

x+2(3−x)4(x+1)5 xx解 (1)对函数y=1+x

取对数，得 lny=x[lnx−ln(1+x)]上式两边对x求导数，得1y'=[lnx−ln(1+x)]+x

x1−1x

=lnx+1yxxx

1

1+x

1−x

1+x所以，y=1x

n1−x++x （2）取对数得lny=1ln(x+2)+4ln(3−x)−5ln(x+1)2x求导数，解得y=

x+2(3−x)4(x+1)5

12(x+2)

− 4 −3−x

5x+1类题练习：求由方程xy=yx确定的隐函数y=f(x)的导数y'（三）高阶导数题型1显函数、隐函数和参数方程的二阶导数题型特点与解题技巧：以求一阶导数为基础，逐阶求导.例求下列函数的二阶导数y''(1)y=ln(x+1+x2)；(2)y=1+xey；(3)题型2求简单函数的n阶导数

x=acosty=bsint题型特点与解题技巧：逐阶求导，归纳规律，写出一般表达式，用归纳法进行证明.例求下列函数的n阶导数.(1)y=ln(1−x)； (2)y=

x3+x2+1x2+x−2解(1)y'=−1=1；y(n)=(−1)n−1 1 (2)y=

1−xx3+x2+1x2+x−2

x−1=x+1x−1

+1x+2

(x−1)ny(n)=1x−1

(n)

+1x+2

(n) =(−1)n n! +(−1)n n!

(x−1)n+1

(x+2)n+1fxx=0f0=1x有3f(x+3)=3f(x)，求f'(3)

设f'x0

存在，求极限limΔx→0

f(x0−2Δx)−f(x0+3Δx)Δxyx2axb2yxy31在点1,1ab的值.fx可导，Fx)fx)(1+sintx=0f0x2sin1

x>0已知函数f(x)=x

在x=0处可导，求a,b的值.ax+b x≤0y'(1)y=xln[cos(1+x3)]；(2)y=f[ln(x+1+x2)](3)y=x

sinx

+(sinx)

x； (4)

x=t2lnty=etsint(5)ex+y+cos(xy)=0；七、讲评指导根据基础练习、作业中反映出的问题进行讲评指导.八、综合题型分析0fx)gxsinαxxfxx0处可导.0证 因为f(x0)=0，所以

α1gxx0

处连续，证明：

只知g(x)的连续，所以不能直接用乘积求导公式，只f(x)−f(x)

g(x)sinα(x−x)

g(x

) α=1

能用导数的定f'(x

)=lim 0=lim 0=00 x→x

x−x0

x→x

x−x0

0 α>0

义证明所以，f(x)在x0处可导.fx)xxx−1)的可导性.解 由x(x−1)≥0，得x≤0或x≥1；由x(x−1)<0，得0<x<1

首先要去掉绝对值，化为分所以f(x)=

x3−x2x≤0或x≥1x2−x3 0<x<1

且f'(x)=

3x22x x0x≥12x−3x2 0<x<1

段函数，分段函数在分界点的可导性一般又 x→0

f(x)−f(0)x−0

=limx→0

x3−x2x

=0；limx→0

f(x)−f(0)x−0

=limx→0

x2−x3x =0

要考虑左、右导数所以f'(0)=0而 limf(x)−f(1)

=lim

x3−x2

=1；lim

f(x)−f(1)

=lim

x2−x3

=−1x→1

x−1

x→1

x−1

x→1

x−1

x→1

x−1故f(x)在x=1处不可导，因此f(x)在(−∞,1),(1,+∞)上可导.

x=t2+2tt2−y+asiny=1

yfxdydxx'=2t+2

先用隐函数求导法，然后利用参数方程求t求导，得

2t−y'+acosy⋅y'=0

导公式即 x'=2t+2 所以 dy=y'= t y'=

1−acosy

dx

(t+1)(1−acosy)4fx)=12x2，求f−1x'f−13'.13

利用反函数求2解令t=1−2x2,则t=2

1−x

导法则−1 1

21 123 −1 1[f (x)]'=

= 2=− ，[f (3)=−f'(t)

−6t

61−x6 t=f(x)5.设f(x)在(−∞,+∞)上可导，f'(0)=e，且对任何a,b∈(−∞,+∞)有f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)，证明：f'(x)−f(x)=ex+1证 令a=b=0，则得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，于是

使用导数定义，注意结构f'(x)=limΔx→0

f(x+Δx)−f(x)Δx

=lim

exfΔx)eΔxfxfx) 特征Δx=limΔx→0

ex[f(0+Δx)−f(0)]+f(x)[e0+Δx−e0]Δx=exf'(0)+f(x)=ex+1+f(x)所以f'(x)−f(x)=ex+1九、提高练习1.设f(x)在(1,1)内可导，且limx0

f(x)−cosx=2，求f'(0)sin2x

加强综合性训练，提高综合yyxy2fx)xfy)x2fxdydx3.设f(x)=x−aφ(x)，其中φ(x)在x=a点连续，试问在什么条件下f(x)在x=a处可导ufφx)eyyyxeyx的函数，且函数f,φ均可导，求dudxfxx恒有fxy)=fx)+fy，且f0=a0，试fx.答案与提示：1.f(0)=0；

分析问题和求解问题的能力2.dydx

2x−y2f(x)−f(y)；2yf(x)+xf(y)(x−a)φ(x) x≥a3.f'(a)=0；提示f(x)=

(a−x)φ(x) x<a

用左右导数定义进行讨论du y

ey4.dx=f[φ(x)+e]φ(x)+1+ey； 5.f(x)=ax；提示：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0，由导数定义得f(0)=limx0

f(x)x

=a，f(x)=limx0

f(x)=a，x所以f(x)=ax+b，由f(0)=0，得f(x)=ax填空题：（1）设函数f(x)可导，则limx2

模拟测试f(4−x)−f(2)= ；x−2（2 已知ln(1（2 已知 y=arctant

dy= ；dx（3）设f(x)二阶可导，y=sinf(x)，则y''= ；（4）设函数f(x)=1−x1+x

，则f(n)(x)= ；（5）设y=y(x)是由方程ex+ycosxy0所确定的隐函数，则y'(0)=单项选择题：（1）函数y=xx在点x=0处的导数为（ ）（B）2； （D）不存在；（2）设f(x)在点x=0处连续，且limx0

f(x)=a(a≠0)，则f(x)在点x=0处（ ）