初中数学奥林匹克初中训练题

数学奥林匹克初中训练题(18)

第一试

一、选择：

1.已知x(y—'］=2008,其中尤、y均为正整数.则x+y的最大值与最小值的和为()

kx)

A.2010B.2100C.2008D.2000

2.设［x］表示不超过实数%的最大整数，{x}=x—［目.则

2009x832010x834017x83

）.

200920092009

A.249075B.250958C.174696D.251000

3.在2X3的矩形方格纸上各个小正方形的顶点称为格点.则以格点为顶点的等腰直角三角形

有（）个.

A.24B.38C.46D.50

AF）

4.如图1,在等边△ABC中,E为AB的中点,D在AC上，使得——

AC

则有（）.

A.AAED^ABEDB.AAED^ACBD

C.AAED^AABDD.ABAD^ABCD

5.已知直角坐标系中的四点A(-2,4)、B(-2,0)、C(2,-3)、D(2,0).设P是x轴

上的点，且联结PA、PC后它们与AB、CD及x轴所围成的两个三角形(即APAB和

△PCD)相似.则所有符合上述条件的点P的个数为().

A.2B.3C.4D.5

6.方程4加2+2"m2+2”+5=0的正整数解有()组.

A.1B.2C.4D.无穷

二、填空

1.如图2,四边形ABCD是矩形，且AB=2BC,M、N分别为边BC、

CD的中点，AM与BN交于点E.若阴影部分的面积为那么，

矩形ABCD的面积为.

2.设a、b为整数，且方程如2+法+1=0的两个不同的正数根

都小于1.则a的最小值为.

3.关于x的方程f+a|x|+/-3=0(ae凡)有唯一的实数解.则a=.

4.将b2。这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N,而B组所有数的

乘积也等于N.则N的所有可能取值是.

第一试

一、试求出所有的有序整数对（a,b）,使得关于x的方程

/+（2匕一/）/一2依+/一1=0的各个根均是整数.

△ABC的外心关于三边的对称点分别为A'、B\C'.求证：

（1）A4\BB'、C。交于一点P；

（2）设4ABC三边中点分别为A、4、G,则p为444cl的外心.

三、有2009名运动员，号码依次为1,2,2009.从中选出若干名运动员参加仪仗队，但

要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.那么，被选为仪

仗队的运动员至少有多少人？给出你的选取方案，并简述理由.

10中等数学

(A)l(B)2(C)4(D)无穷参考答案

二,填空题(每小题7分，共28分)

第一试

1.如图2.四边形483是矩形，且48=

28c.M、N分别为一R

边8C、C"的中点，“由已知得

与BN交于点J<If2008=*(>-1)

E.若阴影部分的面

积为。，那么，矩形图2=>xy=2009=1x2009=7x7x41.

则(4+>)m、=l+2009=2010,

ABCD的面积为.

(x+y)欣n=49+41=90.

2.设a、6为整数，且方程

故4+.y的最大值与最小值的和为2100.

ax'+Acv+I=0

2.A.

的两个不同的正数根都小于I.则a的最小

原式

值为.

[(2009+0)x831[(2009+1)x831

3.关于x的方程■I20»――J+[20®-]+

x2+aIxI+a2-3=0(aGR)

t[(2009+2008)x83]

…+[2009J

有唯一的实数解.则a=.

4I~2020480x831[1x831

.将这个正整数分成、两=83+2009J+83+I2009J

组，使得A组所有数的和等于/V,而8组所

[2008x831

有数的乘积也等于M则N的所有可能取值83+L2OO9一」

是.sc必、°x831x83

=83x2009+2069+T0b9+，，，+

第二试

2008x83JOx831Jlx831

2009I2009J12009J

一、(20分)试求出所有的有序整数对

12()08x831

(a5),使得关于工的方程

X*+(2b-a2)x2-2ax+h2-]=0

=2009x83+x^(l+2+—+2008)-

的各个根均是整数.

二、(25分)△的外心关于三边的对f0x831f1x83112008x831

ABC120WJ-12"009J--I2009J

称点分别为A'、&、a.求证:

=2009x83+83x1期-聘需｝-

(i)/vr、8*、ca交于一点

(2)设4ABC三边中点分别为/!「卅.

<JI--x-8--3>1—•,•_<J2--0--0-8-x831>

G,则P为△48G的外心.12009JI2009J,

三.(25分)有2009名运动员,号码依次显然，2009与83互质，0x83,1x83,

…,2008x83除以2009有2009个不同的余

为1,2,…,2009.从中选出若干名运动员参

数.所以,

加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个

J0x831JIx83112008x831

人的号码数等于另外两人的号码数的乘积.ITOWJ+l2'009j+…+I2009J

那么，被选为仪仗队的运动员至少有多少人？

0+1+-+2008

给出你的选取方案,并简述理由.~2009

2009年第I期11

=1004.

ADAD1AE221芋居

故原式=2009x83+83x1001-1004M但通=而=3，而===不，才盾.

=166747+82328-3AC

=249075.故排除.

3.D.考虑选项(D)：ZBAD=/BCD,又

以格点为顶点的线段长度可取8个数

N/W8>N〃8C,且N仞8声N8M,不成立.

值：i.打,2,&,2鱼以这些下面证明选项(B)成立：

线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑NBAD=NBCD,又

可以分为以下4种情况：AD_\

CD=J'BC=2AE=2'

1.1,72;72,72,2;2,2,2V2;75,75,/io.

下面按斜边氏分类进行计数.即岩=嚣，故△AEDS*CBD.

(1)当斜边长为々时，斜边一定是小正

5.C.

方形的对角线，这样的线段有条，每条这

12(1).48与C0是对应边.

样的线段对应着两个等腰包角三角形，共有

(i)P是4c与"轴的交点.4C的方程为

个.

2x12=2471P2八

y=--^x+yx=y,y=0.

(2)当斜边长为2时，图形中长为2的线

段有10条,其中有6条在2x3矩形的四周(ii)取点C关于％轴的对称点C'(2,3),

匕每条这样的线段对应着一个等腰直角三。是4a与4轴的交点.4。的方程为y=

用形；另有4条在2x3矩形的内部,每个这-；力+(•有1=14.尸=0・

样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有

6+2x4=14个.(2)48与CD不是对应边，即碧=器.

(3)当斜边长为26时，斜边一定是2x2

设点P(x,O).则

正方形的对角线，这样的对角线有4条，每条

1%+21_3_

这样的线段对应着两个等腰直角：角形，共~4-=lx-21

有2x4=8个.nI炉-41=I2na=±4.

(4)当斜边长为，10时,这样的线段有4所以，符合条件的点尸有4个.即

条,每条这样的线段对应着一个等腰直角三(y,0),(14,0),(4,0),(-4.0).

角形，共有4个.

因此，以格点为顶点的等腰直角二角形6.A.

由方程左边因式分解得

的个数为24+14+8+4=50.

(in2+1)(—m2+2"+5)=0.

4.B.

考虑选项(八)：在4AED中，/4=60°,所以，+2"+5=0.

而^BED无60°的角,故排除.故2"+4=(m+l)(m-1).

考虑选项(C)：由ZE4D=ZBAD,又因为m+1与m-1奇偶性相同,所以,

ZAED>ZEHD,如果选项(C)成立,则必有它们都是偶数，即m为奇数.

设则

NAED=/ADB.m=2A+1.2"-2+l=MA+l).

因此,2"-z为奇数，“=2,m=3.

从而也—埋

从叩'AB~AD'故正整数解有1组.

中等数学

-J.5a.故a的最小值为5.

如图3,作EF3.V3.

LBC于点F.关于方程.r2+aIxI+"-3=0,若x是

设AB=4x,EF其一个解，则-x也是它的解.根据题意.它

=G.则有唯一的解，所以，工=-x.即唯一的实数解

C/V=2x,BM=x.

必为0.因此.屋-3=0且。>0.故a=*/3.

由BC=CN,知NNBC=45。.

4.180J82.192.

从而.BF=EF=h.

设3组的数为a,6,c,d,…，且字母顺

故MF-=x-h.

序在前的数小于字母顺序在后的数.那么，

由^MFEcoAMBA得

N=abed…=210-(。+6+c+d+…).

EFMFh_x-h

AB=MB=~T~所以，/V<210.

,4若8组元素个数/>5,则

=h=4.x-4h=h=5X.

N>Ix2x3x4x5x6=720,

工:户c142与N<210矛盾，而且/也不能等于1.

于是，=-yx*yx=y2­

(1)先考虑/=2的情况.

但S=~'2x'2x=2x',1&由a6=210-(a+6).有a/>+a+/(=

210,即(a+1)(6+1)=211.此整数不定方程

Sg边切岭=S_ficLS.\,1tf=5/=a在a、6都小于20时无解.

(2)若/=3.由5x6x7=210^1«<5.

因此=-1-fl.

此时,方程为abc=210-(a+b+c).

所以，S矩年皿n=4x*2x=8x2=5a.当a=I时，(6+I)(r+1)=210.有两

2.5.组解满足题意，即(b,c,N)=(13.14,182),

设方程的两根为与、&.(9,20,180);

当"=2时.(26+l)(2c+])=417=3x

由xi,z=।>0,u>0.

139,无解;

又/(0)=l>0,故由题设有当a=3时,(3a+1)(36+1)=2x311,

'△=b1-4a>0,(D也无解；

-上<当a=4时，(4b+l)(4c+l)=825,有解

■0<1♦②

(6,c,/V)=(6,8,192).

./(l)=<i+6+l>0.③

(3)若/=4,当”>1时，则a=2,b=3,

因为正整数.由式②、③得

a(6c+1)(6d+l)=l231.无解.

-(a+1)<6<0;当“=1,6=2,3,4时.由类似三种的讨

由式①得b<—2'Th.论可发现，不存在满足题意的N.

所以(a+l)<%<-2v'a.①(4)若/=5,因为1x2x4x5x6>210,

当a=1,2,3,4时，满足式④的整数b所以，a=1.6=2,c=3.故de<35,旦<1>3,

都不存在；(d.e)=(4,5).(4,6)、(4,7)、(4,8)、(5,6)

当a=5,。=-5时,方程为5/-5#+1经检验，只有(4,8)满足题意，N=192.

=0,两根在。与1之间.故N的所有可能值为180,182,192.

2009年第I期13

从而，六边

第二试

形AC'BA'CB'

一,(A：2+6)2—(ax+l)2=O的各边相等，且

=>.v2+ax+b+l=0或工2-陵+&-1=0三组对边分别

平行.

所以，四边

=>X|x2-x3x4=2形AC'A'C为平

(-a-X|)-x3(a-Xj)=2行四边形，故

CC'、A4'互相平分.

=(孙+X3)(X|-Xj+a)=-2

同理，88'、44,也互相平分.

因此，AT、BIT、CCT交于一点P,且该点

为44'、88'、CC'的中点.

（2）由于4为BC的中点，从而，PA为

8七即△ABC外接圆半径的一半.

同理.抽、PC,也是△ABC外接圆半径

的一半，即P为△41,G的外心.

三、由于45?=2025>2009,若两个人的

号码都大于或等于45,则其积大于2009,不

a+3可能是另一人的号码.若两数中有一个数等

%=