高考数学一轮复习：函数模型及其应用（数学建模一）

函数模型及其应用高考数学一轮复习1.几种常见的函数模型2.三种增长型函数模型的图象与性质3.解函数应用题的步骤（四步八字）教材研读考点一用函数图象刻画变化过程考点二应用所给函数模型解决实际问题考点三构建函数模型解决实际问题考点突破教材研读1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=ax+

(a>0,b>0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,且a≠0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①

增函数

②

增函数

③

增函数

增长速度④

越来越快

⑤

越来越慢

相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥

y轴

平行随x增大逐渐表现为与⑦

x轴

平行随α值变化而不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用

数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:

知识拓展形如f(x)=x+

(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,-

)和(

,+∞)上单调递增,在[-

,0)和(0,

]上单调递减.(2)当x>0时,在x=

处取最小值2

,当x<0时,在x=-

处取最大值-2

.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,

若按九折出售,则每件还能获利.

(✕)(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.

(✕)(3)不存在x0,使

<

<logax0.

(✕)

(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=

xα(α>0)的增长速度.

(

√

)(5)“指数爆炸”是比喻指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1)的增长速度越来越快.

(✕)答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√(5)✕

2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是

()x45678910y15171921232527A.一次函数模型

B.幂函数模型C.指数函数模型

D.对数函数模型答案

A根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数

值的增量是均匀的,故为一次函数模型.A3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:则对x,y最适合的拟合函数是

()A.y=2x

B.y=x2-1C.y=2x-2

D.y=log2xx0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00答案

D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.D4.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与

燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为

()

答案

B由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.B5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额

x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的

奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为

万元.答案1024解析依题意得

即

解得a=2,b=-2.所以y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时.x=1024(万元).6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形

的面积最大,则隔墙的长度为

.答案3解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-

3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.用函数图象刻画变化过程考点突破典例1(1)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快

稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时

间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关

系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的

是

()

B(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述

了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确

的是

()

DA.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙

车更省油答案(1)B(2)D解析(1)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切

线斜率应该逐渐增大.(2)对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升

汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度

行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B

错;对于C选项:甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则

行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于选项D:速度在80km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.方法技巧判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再

结合模型选图象.(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量

的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,排除不符合实际的情

况,选择出符合实际情况的答案.1-1如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系

图,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是

()

C答案

C由题图可知,张大爷的行走路线:开始一段时间离家越来越

远,然后有一段时间离家的距离不变,最后离家越来越近,C符合.1-2已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点

运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是()

答案

D依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12

时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求.D应用所给函数模型解决实际问题典例2(1)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称

为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足

函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上

述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为

()B

A.3.50分钟

B.3.75分钟C.4.00分钟

D.4.25分钟(2)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的

沙子,则再经过

min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案(1)B(2)16解析(1)由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有

解得

故p=-0.2t2+1.5t-2,其图象的对称轴方程为t=-

=

=3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.(2)依题意有a·e-b×8=

a,所以b=

,所以y=a·

.若容器中的沙子只有开始时的八分之一,则有a·

=

a,解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16min.规律总结求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.2-1某工厂生产某种产品的固定成本为2000,并且每生产一单位产品,

成本增加10.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-

Q2,则总利润L(Q)的最大值是

.答案2500解析由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000=

-10Q-2000=-

(Q-300)2+2500,所以当Q=300时,L(Q)max=2500.2-2某市家庭燃气的使用量x(m3)和燃气费f(x)(元)满足关系式f(x)=

已知某家庭某年前三个月的燃气费如下表:若四月份该家庭使用了20m3的燃气,则其燃气费为

元.月份用气量燃气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元答案11.5解析根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=

,C=4,所以f(x)=

所以f(20)=4+

×(20-5)=11.5.故四月份煤气费为11.5元.

构建函数模型解决实际问题命题方向一构建二次函数模型典例3某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注

水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120

吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少

吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24

小时内,有几小时出现供水紧张现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120

,令

=x,则x2=6t,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.(2)由(1)及题意有400+10x2-120x<80,得x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<

<8,

<t<

,由

-

=8小时,得每天约有8小时供水紧张.命题方向二构建指数函数、对数函数模型典例4(1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足

函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0

℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33

℃的保鲜时间是

()A.16小时

B.20小时C.24小时

D.28小时(2)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全

年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

(

)(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年

B.2019年C.2020年

D.2021年答案(1)C(2)D解析(1)由已知得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②将①代入②得e22k=

,则e11k=

,当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=

×192=24,所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C.(2)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1>200,则lg[130(1+12%)n-1]>lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>lg2+2,∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>

,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选

D.命题方向三构建函数y=ax+

(a>0,b>0)模型典例5要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容

器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的

最低总造价是

元.答案160解析设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为xm,则长方体的底面矩形的宽为

m,依题意得y=20×4+10

=80+20

,由基本不等式得y≥80+20×2

=160

当且仅当x=

,即x=2时取等号

,所以该容器的最低总造价为160元.命题方向四构建分段函数模型典例6提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在

一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/

千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成交通堵塞,此时

车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60

千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)解析(1)由题意可知当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax

+b(a≠0),显然v(x)=ax+b在[20,200]上是减函数,由已知得

解得

故函数v(x)的表达式为v(x)=

(2)依题意及(1)可得f(x)=

当0≤x<20时,f(x)为增函数,f(x)<1200,当20≤x≤200时,f(x)=

x(200-x)≤

=

,