高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (49)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（49）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.在三棱锥O-ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且4B1BC,CD1DA,M,N分别是棱3C,

CO的中点，下面四个结论：

①AC1BD;

②MN〃平面ABD；

③三棱锥力-CMN的体积的最大值为昌

④40与BC—•定不垂直.

其中所有正确命题的序号是

A.①②③B.②③④C.①②④D.①④

2.在三棱柱ABC-AiBiG中，已知L4411底面ABC,AB1BC,且AA】=AB=BC,若O,M分

别是4当，BBi的中点，则异面直线AO与MC所成角的余弦值为（）

A.|B.|C.\D.I

5346

3.如图，在直三棱柱ABC-&B1G中，BC=AC,AC11A1B,M,N分别是①品,AB的中点，给出

下列结论：①GM，平面4ABB1②1NBi③平面ZMG1平面CB&其中正确结论的个数为

（）

A.0

B.1

C.2

D.3

4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体

积为（）

A.871-16

B.87r

C.16

D.87r+16V2

5.在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，PA与底面ABC所成角

的余弦值为白，则三棱锥P-4BC的外接球的球心到侧面PAB的距离为（）

A.V2B.1C.3D.四

22

6.在如图所示的几何体中，正方形DCEF与梯形ABC。所在的平面互相垂直，4B〃DC,4B=6,

AD=DC=2,BC=2®二面角E—4B-C的正切值为（）

A.立B.3C.1D.2

323

7.在边长为6的正方体4BCD-4道道1。1中，点M是。劣中点，点N是当口的中点，过点A,M,

N的平面与GA交于点P,则PQ的长为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题（本大题共5小题，共20.0分）

8.在三棱锥P-ABC中，AB1BC,P在底面ABC上的投影为AC的中点。，DP=DC=1.现有下列

四个结论：正确的是（）

A.三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等；

B./PAB的取值范围是©常）；

C.若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为风空；

3

D.若AB=BC,E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为空?

2

9.已知球。是正三棱锥（底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心）4-BCD的外接球，BC=3,

48=28，点E在线段上，且BD=6BE,过点£作球。的截面，则所得截面圆的面积可

能是（）

A.nB.27rC.37rD.4zr

10.如图所示，在直角梯形BCEF中=乙BCE=90。,A,。分别是BF、CE上的点，4D〃BC,且

AB=DE=2BC=2”（如图①）•将四边形ADE尸沿4。折起，连接BE、BF、CE（如图②）.在折

起的过程中，则下列表述正确的是（）

A.AC/mBEF

B.四点B,C,E,F可能共面

C.若EF1CF,则平面4DEF_L平面ABCD

D.平面BCE与平面BEF可能垂直.

11.已知正方体ABC。—4$iGDi的棱长为2,M为。的中点，N为正方形ABC。所在平面内一

动点，则下列命题正确的有（）

A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀

B.若N到直线BB］与直线。C的距离相等，则N的轨迹为抛物线

C.若AN与A8所成的角为或则N的轨迹为双曲线

D.若MN与平面ABC。所成的角为全则N的轨迹为椭圆

12.如下图，已知在长方体/BCD—A181GD1中，AB=3,AD=4,=5,点E为CQ上的一个

动点，平面BED1与棱A4交于点F,则下列说法正确的是（）

A.四棱锥当一BED#的体积为20

B.存在唯一的点E,使四边形BEDiF的周长取得最小值2g

C.当点E为CG的中点时，在直线AD上存在点G,使得CG=闻

D.存在唯——点E,使得平面BED1，且CE=3

三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

13.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为工、S2,则有

Sl：52=---------------

14.如图，在正方体48。。一48也1。1中，点。为线段3。的中点，设点P在线段CG上，直线OP

与平面&BD所成的角为a,贝Usina的最小值,最大值___________.

15.已知四边形A8CD为矩形，AB=2AD=4,“为48的中点，将44DM沿OW折起，得到四棱

锥4-DM8C,设&C的中点为N,在翻折过程中，得到如下有三个命题：

①BN〃平面&DM；②三棱锥N-DMC的最大体积为言：③在翻折过程中，存在某个位置，

使得DM1&C.

其中正确命题的序号为.

16.若m、〃表示直线，a、B、y表示不同平面，下列四个命题：

①若aC8=m,nca,n±m,则c_L3；

②，，，_Lc,n±/iml.n,则c_L3；

③any=m,0ny=n,m//n,则戊〃6；

（4）aC\p=m,"与a、夕所成的角相等，则m1n.

其中真命题的有.（请填入编号）

17.如图△力BC是等腰三角形，BA=BC,DC1平面ABC,4E//DC,若AC=2且BEJL4D,则AE+DC

的最小值为

18.已知三棱锥。一ABC中，平面ABC,AB=AD=2,BC=V3/1C,则三棱锥。一4BC体积

最大时，其外接球的体积为.

19.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60。，侧面积为4近，则该棱锥的体积为

四、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

20.如图在四棱锥P-4BC0中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和的中点.

（1）求证：EF〃平面PAB；

（2）若4P=4。，且平面H4D_L平面ABCO,证明AF1平面PCO.

21.如图甲所示，8。是梯形A8C£)的高，/.BAD=45,OB=BC=1,。。=3。4,先将梯形ABCZ)

沿0B折起如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=遮.

(1)在棱尸。上是否存在一点凡使得CF〃平面P02?若存在，请求出PF的值，若不存在，请

说明理由；

(2)点E是线段PB上一动点，当直线CE与OP所成的角最小时，求二面角8-CE-。的余弦值.

22.如图，四边形ABCQ为正方形，E,F分别为的中点，以QF为折痕把回。FC折起，使点C

到达点P的位置，且PF1BF.

(1)证明：BFJ•平面PEF；

(2)求直线OP与平面ABFD所成角的正弦值.

23.如图1,在RtElABC中，Z.ACB=30°,Z.ABC=90%。为AC中点，AE1BD^E,延长AE交

BC于F,将AABD沿8。折起，使平面4BD1平面BCQ,如图2所示.

(/)求证：AEBCD；

(n)求二面角4-DC-B的余弦值;

24.如图，在四棱锥P—ABC。中，。01平面%。，AB//CD,CD=AD=4AB=4,&AC1PA,

M为线段CP上一点.

(1)求证：平面ACO_L平面PAM；

(2)若PM=：PC且4P=(4C,求证：MB〃平面PAO,并求四棱锥M-4BCD的体积.

25.如图所示的几何体中，力BC—4aC1为三棱柱，且441平面ABC,AAt=AC,四边形ABC。

为平行四边形，AD=2CD,Z.ADC=60°.

(I),求证：AC】J■平面&B1CD；

(II)若CD=2,求二面角C--G的正切值(理科做).

26.如图，ABCO是边长为2的正方形，平面EAD，平面ABC。，且瓦4=ED,。是线段AD的中点,

过E作直线尸是直线/上一动点.

(1)求证：0F1BC；

(2)若直线/上存在唯——点F使得直线。尸与平面8CF垂直，求此时二面角B-OF-C的余弦

值.

27.如图所示的多面体是由三棱锥4—BDE与四棱锥D—BCFE对接而成，其中EF1平面AEB,

AE1EB,AD//EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是8c的中点.

(1)求证：BD1EG；

(2)求平面OEG与平面AEF。所成锐二面角的余弦值.

28.仇章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在仇章算术》

中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qianda)；阳马指底面为矩形，

一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵

ABC-,AB1AC.

(1)求证：四棱锥B-4/1CG为阳马;

(2)若GC=BC=2,当鳖膈G-ABC体积最大时，求锐二面角G-48—G的余弦值.

29.如图1,在三棱锥P-ABC的平面展开图中，△ABC为等边三角形，AC=4,BE=BF=4,

FA=EC=2V2,将展开图还原为立体图形，如图2时，点及F与点P重合.

(1)证明：平面PAC平面ABC；

(2)如图3,设点M为线段BC的中点，求二面角M-PA-C的正切值.

30.如图，在四棱锥E-4BC0中，底面A5CD为正方形，4E_L平面CDE,已知力E=OE=2,

为线段QE的中点.

(1)求证：BE〃平面ACF；

(2)求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了线线垂直、线面平行的判断，考查了三棱锥的体积，也考查了命题真假的判断问题，是

中档题.

根据题意画出几何体，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可.

解：设AC的中点为0,连接08、0D,如图所示；

B

则4C1OB,AC10D,

又OBCl。0=。，OB、ODu平面0BD,

所以4c，平面OBD,BDu平面0B£>,

所以AC1BD,故①正确；

M,N分别是棱BC,CQ的中点，［MN〃BD,

BDu平面ABD,MNU平面ABD,

所以MN〃平面4B。，故②正确；

当平面D4C与平面ABC垂直时，V三棱脚_ACM最大，

最大值为「材的=I的，=2x二x立=立，故③错误；

二段镀A-CMN二核ff£N—ACM34448

若4。与BC垂直，又因为ZB1BC,ADQAB=A,AD,ABu平面A8。,

所以BC1平面AB。，BDu平面A8。，:BC_LBD,

又BO1AC,ACCtBC=C,AC.8Cu平面ABC,

所以BC•1平面ABC,OBu平面ABC,

所以8。1OB,

因为OB=OD,所以显然8。与OB不可能垂直，故④正确.

综上知，正确的命题序号是①②④.

故选C.

2.答案：A

解析：

本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

解：如图，取AB的中点E,取BE的中点N,连接BiE,MN,NC,

由题意可得AD〃BiE〃MN,

MN与MC所成的角即为异面直线AO与例C所成的角，

设=AB=BC=a,

则根据题意易得CM=AC==^a，MN=—a>NC=^~a,

1244

则IcSMCl=阈+臂）：（轲=2,

2x%x苧a5

故选A.

3.答案：D

解析:

本题主要考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于中档题.

根据查线面垂直的判定，面面垂直的判定逐项证明即可.

解：①VBC=AC,

・•・B1C1=A1C1,

•••M为4当中点，

・•・GM1A1B1,

•••三棱柱ABC-A/iG为直三棱柱，

AAt1平面力1B1G，

•••GMu平面AiBiG，

:.GM1AAlt

•••AiBiu平面ABBiAi，u平面A1B1nAAr=Ar,

/.CiAfl平面4遇BBi，

•••4M为AG在平面4BB14内的射影，

\ACilAtB,

•••四边形4BB14为正方形，M,N分别是A/iMB的中点，

•••AM“NB\,

—NB,

"ArBu平面488出，

CrM1ArB,

vGMu平面4MG，AMu平面AMG，CrMn4M=M,

•••ArB_L平面4MG，

vArBu平面4/C,

••・平面AA/C'iJ"平面CB&.

故选O.

4.答案:A

解析：解：由题意，几何体如图：

由特征数据得到体积为：GX22X7T—[x4x2)x4=8〃-16；

故选：A.

由三视图得到几何体是一个三棱锥与半个球的组合体，根据图中数据计算体积即可.

本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体.

5.答案：D

解析：

本题主要考查三棱锥的外接球问题，考查学生空间想象能力与推理能力，属于难题.

利用已知条件及PA与底面A3C所成角的余弦值计算出外接球的半径为在，球心。向直线PE作

2

ON1PE,ON为球心到侧面P4B的距离，利用相似三角形计算答案.

解：因为P4=PB=PC,AABC是边长为2的正三角形，

所以点P在底面ABC的射影为M,则PM1面ABC,

M为底面三角形的中心，外接球球心O在直线上，

取A8中点为E,连结CE,PE,所以ME=3，AM=1^,

33

因为PA与底面ABC所成角的余弦值为渔，

3

所以24=鱼，所以PM=7PA2—4M2=渔,PE=1,

3

设外接球的半径为R，所以0M2+4M2=4。2

（日—4+（甯2=髀，所以R=^,

过球心。向直线PE作ON1PE,

易证AB1面PCE,ABu面PAB,

所以面24B，面PCE,交线为PE,ONu面PCE,

所以ON，面AP8,

因为APONs^PEM,所以需=弟

所以。N=立，

2

故选。.

6.答案：D

解析:

本题考查二面角的求解，熟练掌握二面角的定义是解答本题的关键，

过点C作。A/LA3，连接EM,由面面垂直得到EC，平面ABCQ,进而推理得到ABJ■平面EMC,

则NELL即是两平面的二面角，再求出tanNEA/C唧可.

解：过点C作。“L4B,连接EM,如图：

•••平面OCEF与平面ABCD垂直，且EC1DC，

EC1平面ABCD,

ECLAB，又CMdEC=C,CM,ECu平面EMC

.­.AB1平面EMC,

NEA/r即是两平面的二面角，

过C作CN//AD,

四边形AOCN为平行四边形，

•••CN=2,CB=2V3，BN=4,

:•CM=V3.

tanZEA/C=/EC2\/3.

CM3

故选D.

7.答案：B

解析：

本题考查平面的性质及空间中距离的求解，属于中档题目.

先确定平面，再由线线平行得出PG即可.

解：平面AMN如图所示：

由4M〃/VK,得B1K=|,

再由4K〃MP,得PC1=2,

故选员

D,

8.答案：ABD

解析：

本题考查球内接多面体、余弦定理、球的表面积和体积、棱锥的结构特征，属于中档题.

作出图形，依据条件逐个判断各命题即可解出.

解：如图，

•••D为AC中点，且为P在底面上的投影,

・•・PD1AC,AD=CD,

・•・AD=CD=PD=1,

PA=PC=V2.

又。为AC中点，AB1BC,

BD=1,即BP=V2.

•••PA=PB=PC=VL故A正确；

在△ABD中，AD=1,BD=1,

0<AB<2,

COSZPABe(0,y).

vAP=BP,

・•・ZPAB<90°,

・••/PAB的取值范围是©《)，故8正确；

VAD=BD=CD=PD=1,

・•・。为三棱锥外接球的球心，R=1,

・・•卜球=3兀&=(乃，故。错误；

vAB=BC,。为AC中点，AD=CD=BD=1,

・•・AB=BC=V2.

取E为PC的中点，此时BE,DE都取得最小值，

22，22，

BE=VBP-PE=—2D2E=VPD-PE=—

(DE+BE)min=y+y=故。正确.

综上，正确结论有ABD

故选ABD.

9.答案：BCD

解析：

本题考查与球有关的组合体问题，属于较难题.

依题意首先求出外接球的半径，即可求出截面圆的面积最大值，设过E且垂直OE的截面圆的半径

为r,即可求出截面圆的面积最小值，从而得解.

解：如下图所示，其中。是球心，0'是等边三角形BCO的中心，可得0，B=0'D=立BC=^，

3

AO'=>JAB2-O'B2=3,设球的半径为R,在三角形。DO'中，由。。'2+。。已=。。2,即

(3-R)2+(bp=R2,解得R=2,故最大的截面面积为兀改=4兀

在三角形BEO'中，BE=-BD=i/.EBO'=7

626

由余弦定理得0%=l3+--2xV3x^cos-=^

74262

在三角形OO'E中，0E=700'2+00=包,设过E且垂直OE的截面圆的半径为r,〃=R2—

2

OF2=4--=-

44

故最小的截面面积为仃2=2：

所以过点E作球。的截面，截面圆面积的取值范围是［乎,4兀］

故选：BCD.

解析：

本题考查了线面平行的判定、面面垂直的判定、考查了学生的空间想象能力和推理能力，属于中档

题.

本题考查了折叠得到的空间线面关系的判断，用到了线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理.

解：在图2中取4c的中点为O,取BE的中点为M,连结例0,

所以OM〃OE,OM=加

又AF“DE,AF*DE

所以0M〃4F,0M=AF

所以四边形AOMF为平行四边形，即4C〃FM,

因为FMu平面BEF,AC仁平面BEF,

AC/mBEF,故4正确；

若B,C,E,P四点共面，

因为BC//4D,ADc^FjgfADEF,

BC,平面ADEF,所以BC//平面ADEF,

又BCu平面BCEF,

平面8W0平面40EF=EF,

所以可推出BC〃EF,

又BC//AD,

所以AD〃EF,矛盾，

•••B、C、E、F四点不可能共面，故B错误；

在梯形4OEF中，可通过勾股定理逆定理证明：EF1FD,

又EF工CF,FDdCF=F,

：.EF，平面CDF,

又CDu平面CDF,即有CO1EF,

又CDLAD,EE与AO相交且都在平面AOEF内，

CD1平面ADEF,

又CDu平面ABCD,

则平面4DE尸平面ABCD,故C正确；

延长A尸至G使得力尸=FG,连结BG、EG,易得平面BCEJ_平面ABF,且平面BCEn平面AB尸=BG,

过尸作FNJ.BG于N,则FN_L平面BCE.

若平面BCE上平面8EF,则过尸作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故。错误，

故选AC.

11.答案：BC

解析:

本题考查球的表面积公式，以及圆锥曲线的动点轨迹的问题.属于较难试题，根据线段MN形成曲面

为圆锥的侧面，即可得其的中点的轨迹为圆，BCD分别根据抛物线，双曲线，椭圆的定义判断

即可.

解析：

解：对于A,点N在正方形ABC。所在平面内运动，MN=2,则所有满足条件的线段MN组成一个

圆锥的侧面，圆锥的底面半径为百，高为I,

设尸为MN的中点，则P点的轨迹是一个半径为宜的圆，面积为；’：，故A不正确；

对于若N到直线BBi与直线0c的距离相等，即在平面48CD中，点N到点B的距离等于到直

线CZ)的距离，所以N的轨迹为抛物线，故B正确；

对于C,由题意，以D为原点,OA为x轴，DC为)，轴，DDi为z轴建立空间直角坐标系，

设N(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),则取=(x,y,-2),AB=(0,2,0),

若"V与AB所成的角为最

化简得艺一式=1,所以C正确；

124

对于D,若与平面ABCO所成的角为a可得QN为定值，所以则N的轨迹为圆，故。不正确;

故选BC.

12.答案:ABC

解析：

本题以长方体为载体，考查棱锥的体积公式，属于较难题.

利用条件，对选项逐个判断即可.

解：对于A,由题意可得DiF〃8E,

%1-8£。讨=KBI-BED1+^B1-BFD1

=VDI-BEBI+

111

=-X[—,BB],BC•AB+—•BBi•,AB]

=1-|x(5x4x34-5x4x3)=20,所以A正确；

对于8,将长方体展开，如图所示,

当E为BDi与CG的交点时，四边形BED*的周长最小，

此时四边形BED#的周长为2BD「

而在ABOOi中，BDi=552+(3+4尸=g,

所以四边形BE。1尸的周长的最小值为2g,

可得四边形BEDiF为平行四边形，且E为展开图中唯一的点，

所以B正确；

对于C,当点E为CG的中点时，则E到直线A。的最小距离为ED=.+(|)2

故在直线A。上存在点G,使得CG=V73,

故C正确；

对于。，因为=可得面BB1D1D为正方形，可得B1DJ.BD1，

当BE1B1C时，又BELCD,B】CCCD=D,

所以BEJ_平面BiCD,又BiOu平面81C。，

可得当D_1.BE,

又BECBD1=B,

即有Bi。_UEEBDi，

在矩形B/CiC中，BE1fijC,

所以胎=鼠所以CE=^=£，故。错误，

故选ABC.

13.答案：3：2

解析：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1,

所以圆柱的表面积为：S-27T+2X27T-()7T,

球的表面积为：S2=47r.

所以圆柱的表面积与球的表面积之比为Si：S2=3：2.

故答案为：3：2.

根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1,结合圆柱的表面积的公式以及球的

表面积即可得到答案.

本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有独到功效，是基础题.

14.答案:且；1.

3

解析：

此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题.

由题意，直线0P与平面4BD所成的角a的最小值为ZA。&和NC10必中的最小者，然后利用正方体

的性质和直角三角形的边角关系，求出sina的取值范围，再确定其最值

解：连接ac,4。，4G，

因为BD1AC,BD1站,ACn44]=A,

所以8。1平面

所以平面&BD，平面4CG&,

所以直线0P与平面4BD所成的角a的最小值为乙404和NG04中的最小者，

不妨设4B=2,

在RtElAOAi中，sinNZOAi=也==8，

1A。恬93

sin4CiOAi=sin(7r—24Ao41)=s\x\2Z.A0A1

=2sinZ-A0A1-cosZ-AOA1

=2—=出＞也

3333

所以sina的取值范围为卜手,1],

所以sina的最小值为最大值为1,

3

故答案为W;1.

3

15.答案：①②

解析：

利用直线与平面平行的判定定理，并用余弦定理计算8N的长，判断①的正误；求出棱锥的体积的

最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.

本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以

及计算能力.

解：取。C的中点为F,连结尸N,FB,可得N/7/&D,FB//MD,可得平面BFN〃平面为。“，

所以BN〃平面

所以①正确；

当平面aDM与底面A8C。垂直时，三棱锥&-DMC的体积最大，此时三棱锥N-DMC体积也取得

最大值，且匕i-DMC

最大值为：ix|xlx4x2xV2=^,所以②正确，

假设存在某个位置，使0M14C,

因为。M1MC,所以DM1平面&MC,

可得DMJLAiM,即矛盾，所以③不正确.

故答案为①②.

16.答案：②

解析：

本题考查平面与平面的垂直与平行的判定，考查平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力,

属于基础题.

分别对各个选项逐一进行分析即可求解.

解：①若an夕=m,nua,,山〃，不能得到c_L“，故①错误；

②若〃,，则成立，故②正确：

③若any=m,0ny=n,m//n,则a,0有可能相交，有可能平行，故③错误；

@an/?=m,〃与a、口所成的角相等，则〃?、〃有可能平行，有可能垂直，故④错误.

故答案为②.

17.答案:2V2

解析：

本题考查线面垂直的证明，考查基本不等式的运用，确定4E,CD的关系是关键，属于中档题.

取AC的中点0,连接08,OE,则08,47,证明力DJ_平面80E,确定白=与，利用基本不等式,

AE2

即可得出结论.

解：取AC的中点0,连接。8,0E,贝IJ0BL4C,

vDC_L平面ABC,OBu平面ABC,

•••DC1OB,

vDCHAC=C,DC,ACu平面ADC,

OB1平面ADC,ADu平面ADC,

•••OBLAD,

vBE1AD,OBnBE=B,

・・.AD_L平面BOE,

・•・AD10Ef

，Z.AEO=乙CAD,

1CD

•••__——___，

AE2

2

・•・AE=—,

CD

AE+CD=CD+-^>2V2,

当且仅当CO=近时，AE+DC有最小值,

故最小值为2vL

1Q20x^5

lb・合茶：----7T

3

解析：

本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题的难点，属于较难题.

首先根据题意得到当A/IBC的面积最大时，此时三棱锥。-4BC的体积最大，设4C=m,利用正弦

定理和余弦定理得到呼*--;-I)2+3,从而得到当月C=2时，S-BC最大，再将三棱锥

。一4BC放入直三棱柱DBiG-48c中，求外接球体积即可.

解：因为D4J■平面ABC,AB=AD=2,

所以当A力BC的面积最大时，此时三棱锥。-4BC的体积最大.

设AC=ni,则BC=y/3AC=V3m,

/+(倔

cosZ.ACBn)2-4_27n2-2

2xmxyf3mV3m2

所以siM/ACB=1-(瑞，J=

的N1)一〃J+8m2

所以=7xnrx3//rx---------....-二--(///~—41+33

4«)TZ1

当m?=4,即m=2时，最大•

当m=2时，COSNB4C=22+22-(28)2=一匕则484c=120°,

2x2x22

将三棱锥。-4BC放入直三棱柱DBiG-ABC中，

01，。2分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为

则。1。2的中点。为直三棱柱DBiG—力BC外接球球心,

即三棱锥。一ABC的外接球球心，

设外接球半径为上如图所示：

根据正弦定理得二^-=2r，解得r=2,

sinl20°

所以/?=，/+22=V5.

故外接球体积V=:乃（通）3=当加

故答案为生17r.

3

19.答案：|V6

解析：

本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

如图所示，正四棱锥P-4BC。，0为底面的中心，点M为A8的中点，则4P4。=60。，设4B=a,

根据正四棱锥的侧面积求出a的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到

答案.

如图所示，

p

正四棱锥P—4BC0,。为底面的中心，点M为A8的中点,

则Z_P4。=60°,设4B=a,

22

AOA=—a,APA=V2a»PM=y/PA—AM=—a»

22

・•・4xG•a・?a)=4V7=a=2,

17a2a2通

・•・pnon=----------=—a，

\442

.-.v=^Xa2xPO=—.

33

故答案为：越.

3

20.答案：(1)证明：因为点E、尸分别是棱PC和尸。的中点,

则EF为APDC的中位线，

所以EF〃CD,

又在矩形ABCD中，AB//CD,

所以EF〃4B,

又4Bu面PAB,EF仁面PAB,

所以EF〃平面PAB.

(2)证明：在矩形A8CD中，＞401CD,

又平面PAD，平面ABCD,

平面PADn平面4BCD=AD,

CDu面ABCD,所以CO_L平面PAD,

又AFu面PAD,所以CD1AF.①

因为P4=4)且尸是PO的中点，

所以4F1PD,(2)

由①②及P。<=面PCD,CDu面PCD,

PDCCD=D,所以4F_L平面PCD

解析：本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及线面垂直的判定.

(1)证明EF〃CD,AB//CD,即可证明EF〃4B,利用线面平行的判定即可得解；

(2)利用平面24。平面ABCD,证明CD1AF,PA=AD,所以AF1PD,即可证明力F1平面PCD.

21.答案：解：(1)存在点凡使得CF〃平面P4B,此时「尸=苧，

理由如下：依题，PC=A/3，OC=y/2,OP=1.

即。。2+0p2=pc2,所以OPJ_0C，

因为OP，。/?.OCC平面03。。.03U平面0310.OCC03O,

所以OP,平面OBC'O,所以OP，。。，所以PD=ar^=m，

过尸作FG〃。。交OP于G,连接CF,BG,

易知FG=[00=BC,FG//OD//BC,所以FG〃BC,FG=BC,

即四边形BCFG为平行四边形，所以CF〃BG,

因为BGu平面POB,CF<t平面POB，即以CF“平面POB,

故存在点F,使得CF〃平面尸48,此时PF=半；

(2)以。为坐标原点，。8,。0,。「分别为久4*轴建立空间直角坐标系.

有C(l,l,0),0(030),P(0,0,1),B(l,0,0),

设两=A而(04A41)，E(x,y,z),

即(x,y,z-l)=2(1,0,—1),所以EQ,0,1—;I),

CF=(A-1,-1,1-A),DP=(0,-3,1)，

设直线CE与。P所成角为。，则

「_*=---/-A

=K।、E/八)1=-\A--0--\/2A2-4A+3V^l0v/2A2-4A+3(0O,

令t=4—A,则2—4—t(34t<4),

cos。——____________________________

_32t2_i2t+19-一Ji唳)2_啰+2,

令Z'IQKT2a+2,

当。=总时’—=40力/一⑵+2取最大值，

此时直线CE与OP所成的角最小.此时；I=J所以E(J,O,3，

666

又因为C(l,l,0),0(0,3,0),8(100),

所以证=(0,1,0),CF=(-i-1i),CD=(-1,2,0),

oo

可求得平面BCE、平面CE。法向量分别为为元=(1,0,1),局=(2,1,8),

CCI1I-11()57138

所以<*<而"2>=在词=飞1'

由图可知，二面角B—CE—D为钝二面角，则其余弦值为-工例.

69

解析：本题考查了线面平行的判定、异面直线所成的角、利用向量求二面角相关问题等综合问题，

属于较难题.

(1)先根据已知得到。。2+OP2=PC?,从而有op，。。，然后可得到0P,平面，OP1OD,

PD=VTT9=V10.再过尸作FG〃OD交OP于G,连接CF,BG,进而可得到FG〃BC,FG=BC,

最后即可证明得到答案；

(2)先以。为坐标原点，08,0D,0P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.有

C(l,l,0),D(0,3,0),P(0,0,l),B(l,0,0),再设方=4而(01),E(x,y,z),设直线CE与。尸所成

角为0,再根据条件利用向量得到

cosS=i,—(()WA41),求出;l,从而确

“V/WV/2A2-4A+3vI(j\/2A2-4A+3

定E©,01),最后再利用向量即可算出二面角8-CE-。的余弦值.

22.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是A。、8c的中点，

则AE=

由于四边形A8CZ)为正方形，

所以EF1BC.

由于PF1BF,EFCPF=F,EF,PFu平面PE凡

则BF，平面PEF.

由(1)得BF，平面PEF,PHu平面PEE

得BF1PH，又EFCBF=F,EF,BFu平面ABEO,有PH，平面ABFD

故直线DP与平面ABFD所成角为NPDH，

由于EF1为面A8CD和面PEF的交线，PH1EF,

则PHJ_面ABFD,

故PH1DH.

在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求P4,

因为。E〃BF且PF1BF,

所以PF1DE,

又因为△PDF三AW,

所以乙FPD=4FCD=90°,

所以PF1PD,

由于DEnPD=C,DE,PDu平面尸

则PF_L平面PDE,

故力-PDE=qPF,S^pDE>

因为BF//ZM且BFIffiPEF,

所以DA1面PEF,EPu平面PEF,

所以DE±EP.

设正方形边长为2a,

则PD=2a,DE=a,

在APDE中，PE=V3a-

所以S"DE=1。2,

故KF-PDE=

2

又因为SADE尸=|a-2a=a,

所以2”=火警=出置

a22

所以在APHD中，sin/PDH=—=—,

PD4

即DP与平面48H(所成角的正弦值为3

4

解析：本题考查直线、平面的位置关系，直线与平面所成角的求法，几何法的应用，考查转化思想

以及计算能力.

(1)利用正方形的性质和线面垂直的判定定理即可证明；

(2)在平面QEF中，过P作PH1EF于点4,联结。4,直线QP与平面ABFO所成角为，

利用等体积法可求出点P到面A8CQ的距离尸”是求解的关键.

23.答案：(1)证明：•••平面4BDJ■平面BDC,交线为BD,

又在ZMBD中，AE1BD^E,AEu平面ABO,

AEJ_平面BCD.

(2)解：由(1)得4E1平面BC£>,；.AE1E凡

由题意得EFlBD,又AE1BD,

如图，以E为坐标原点，

分别以EF,ED,E4所在直线为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，

设AB=BD=DC=AD=2,贝“BE=ED=1,

由图1条件计算得4E=V3.BC=2V3,EF=

则E(0,0,0),0(0,1,0),8(0,-1,0),4(0,0,b)，

F(p0,0),C(V3,2,0),DC=(V3,l,0)>AD=(0,1)-圾,

由AE1平面BCD,得平面BCD的法向量为瓦？=(0,0,遮)，

设平面AOC的一个法向量为元=(x,y,z),

(n•DC-y/3x+y=0«._厂

则L——.广，取z=1,-zf#rn=(-1,V3,1)>

(jn-AD=y-V3z=0

-7r7、EAnVs

・••cos<n,EA>=,—，一,=——，

IE用•同5

.•・二面角4-DC-8的余弦值为渔.

5

解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间中线线、线面、

面面间的位置关系与性质的合理运用，是中档题.

(1)由平面4BD!_平面8OC,交线为BD,4E1BC于E,AEu平面48。，能证明AE_L平面BCD

(2)以E为坐标原点，分别以EF,ED,E4所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出平面

BCD的法向量和平面ADC的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角力-DC-B的余弦值.

24.答案：证明：(1)因为CD1平面PAO,PAu平面P4。，

所以CD1P4又4clp4且CDn4C=C,所以P41平面4CD,

因为P4u平面PAM,所以平面4CD_L平面PAM；

(2)在PO上取一点E,使得PE=PD,

因为PM=；PC,所以ME^LCD，

44

又AB=-CD,所以ME么4B，

4-

所以四边形ABME为平行四边形，

所以MB〃4E,乂AEu平面PA。，MBC平面PAO,

所以MB〃平面PAD.

因为P4_L平面ACD,所以H4_LAD.因为力D=4,AP=^AD,即点P到A。的距离为"C=2,

即得点P到平面ACD的距离为2,

PM=；PC,所以点M到平面AC。的距离为"2=I，

解析：本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查运算求解能力与推理能力，属于中档题.

(1)首先证明CO_LP4,又4CLP4得出P4_L平面AC。，利用面面垂直的判定定理即可证明平面

4CD1平面PAM-,

(2)在上取一点E,使得PE=PD,证明四边形ABME为平行四边形，利用线面平行判定定理

即可得到MB〃平面PAD.先求出点M到平面ACO的距离，再利用体积公式求解.

25.答案：证明：—为三棱柱，

•i-44iGC是平行四边形，

又叫1平面ABC,AB、ACu平面ABC,

力力i1AC,AAr1AB,

又AAi=AC,

441GC是正方形，

•••4cl1ArC,

四边形A8CD为平行四边形，AD=2CD,/.ADC=60°.

设CD=a,贝