高中数学习题1：高中数学人教A版2019必修 第二册 直线与直线垂直

8.6.1直线与直线垂直同步练习

一.选择题

1.在正方体ABCD-AgCQ中，表面的对角线中与4A成60。的有（）

A.4条B.6条C.8条D.10条

2.如图所示，在矩形A38中，AB=4,AD=2,尸为边A8的中点，现将AQ4P

绕直线6翻转至△ZM75处，若M为线段4c的中点，则异面直线3M与RV所成

角的正切值为（）

A.-B.2C.-D.4

24

3.在正方体ABCO-A4GA中，与AC垂直的是（）

A.BDB.CDC.BCD.CG

4.如图，如果MC_L菱形ABCD所在的平面，那么M4与BD的位置关系是（）

B.垂直相交C.异面垂直D.相交但不垂直

5.若空间中四条两两不同的直线《，4，，3，4，满足，2，/3，4，小则

下列结论一定正确的是（）

A.4一定与/4垂直

B.4一定与4平行

c.4一定与乙共面

D.4与乙的位置关系可能是平行，相交，或异面

6.设P是直线/外一定点，过点P且与/成30。角的异面直线（）

A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条

7.如图，在正三角形ABC中，D,E,尸分别为各边的中点，G,H,1,1/分

别为AD,BE、的中点.将AABC沿DE,EF,折成三棱锥以后，GH

与〃所成角的度数为（）

A.90°B.60°C.45°D.0°

8.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）

①8M与£»平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与3M成60。角；

④DW与垂直.

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

9.如图，在四面体ABCD中，点P、Q、M、N分别是棱他、BC、CD、AD的

中点，截面PQMV是正方形，则下列结论错误的为（）

A.AC=CD

B.AC//截面PQMN

C.ACA.BD

D.异面直线PM与BO所成的角为45。

10.如图，点P、。分别是正方体A8CD-ABCA的面对角线4Q、8。的中点,

则异面直线PQ和BQ所成的角为（）

二.填空题

11.如图，在三棱锥A-88中，E、F、G分别为A3、BC、"＞的中点,

ZGEF=120°，则直线3。和AC所成角的度数为.

12.如图，若正四棱柱ABCD-AgCQ的底面边长为2,高为4,则异面直线

与AD所成角的余弦值为.

13.已知四面体ABCD的棱都相等，G为AABC的重心，则异面直线AG与8所

成角的余弦值为—.

14.已知两异面直线4,人所成的角为80。，过空间一点P作直线/,使得/与”,

。的夹角均为50。，那么这样的直线有一条.

三.解答题

15.空间四边形中，AD=BC=2,E、尸分别是Afi、CZ)的中点，若£尸=6,

求异面直线4)、8c所成角的大小.

16.正四棱锥P-A8CD的侧棱长与底面边长都相等，E为PC中点.

(1)求证：PA//平面比应；

(2)求异面直线咫与上所成角的余弦值.

17.在四面体A-3C£＞中，E,尸分别是他，8的中点，若AC,或)所成的角

为60。，且8/)=AC=l,求砂的长度.

18.如图，已知点尸在圆柱OO|的底面OO上，AB.A内分别为OO、的直径,

且平面外

(1)求证：BP1A.P；

(2)若圆柱。01的体积V=12乃，OA=2,ZAOP=120。，①求三棱锥A-AP8的体

积.

②在线段北上是否存在一点M,使异面直线OM与AB所成角的余弦值为|?

若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

8.6.1直线与直线垂直同步练习答案

1.解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和R点的正方体平面的对角

线与它组成的角都是60。,

这样就有4条,

根据正方体的性质，在正方体的和做出的面上的对角线平行的也满足条件,

故一共有8条,

2.解：取4。中点N,连结PN,MN,

•.,M是AC的中点，:.MNI/CDIIPB,且MN=PB,

.•・四边形P8MN为平行四边形，

.-.MB//PN,

在中，tanZA'PN=——=-,

A'P2

••・异面直线皿与PA，所成角的正切值为;.

故选：A.

3.解：正方体A8CQ-A4Gq如图，

考察四个选项，B,C,。三个选项中的线段都与AC相交，由正方体的性质知

此三个线段都不与AC垂直，

故选：A.

4.解：由题设条件及图形，是面的斜线，故与皮）的一定是异面直

线，

平而ABC。

:.BDVMC

是菱形

.-.BDA.AC

MCp|AC=G

.•.8。_1平面的。

•.,M4在平面M4C内

：.MALBD

考察四个选项，A，B,O都不符合题意

故选：C.

5.解:如图所示，

4与乙的位置关系可能是平行，相交，或异面.

故选：D.

6.解：如图：依题意，设过点尸且与直线/平行的平面为

在平面a内过P作/的平行线T,

在平面0内过P直线机使机叮？夹角为30。.

将平面a绕「旋转，且使平面a不过直线/,

则直线机每旋转到一个新位置得到的直线均与/异面，且与/的夹角均为30。,

故选：A.

7.解：将AA8C沿£>E,EF,OF折成三棱锥以后,

/、1/分别为BE、DE的中点，则〃〃侧棱，

故G”与"所成角与侧棱与G”所成的角相等；

AD为折成三棱锥的侧棱，因为ZAHG=60。，

故GH与IJ所成角的度数为60。，

故选：B.

8.解：由题意画出正方体的图形如图：

显然①②不正确；

③CV与成60。角，即ZANC=60。正确；

④平面8CN,所以④正确；

故选：C.

9.解：题意可知，截面PQMN是正方形,

则PQ//QM,SLPQ=QM,ZPQM=90°,NPMQ=45°,

乂点、P、Q、M、N分别是棱河、BC、CD、AD的中点，

MNH-AC,Si.MN=-AC,MNu面PQMN,ACffiPQMN,

22

因为AC//面PQMN,QM//-BD,QM=^BD,ACrBD,AC=BD,

所以A不正确，B,C正确；

QM//BD，

所以尸M与8。所成的角等于QM号所成的角45°,

所以O正确.

故选：A.

10.解：如图所示，

连接RC,则PQ//RC.

连接4G，48,则△AG8是等边三角形，入BUD\C.

则ZABG是异面直线PQ和BG所成的角，为60。.

11.解：在三棱锥A-88中，E、F、G分别为43、BC、4）的中点,

所以EF//AC,EGHBD,

所以直线8£）和AC所成的角为NGEF或其补角，

又NGEF=120。，所以NGW的补角为60。.

所以直线皮）和AC所成角的度数为60°.

故答案为：60°.

12.解：以。为原点，为*轴，DC为y轴，。2为z轴，建立空间直角坐标

系，

•.•正四棱柱ABS-ABCQ的底面边长为2,高为4,

二8(2,2,0),0.(0,0,4),A(2,0,0),0(0,0,0),

BD\=(-2,-2,4),AD=(-2,0,0),

设异面直线BD］与4）所成角为0,

\BD\»AD\4_V6

贝ljcos0=

|西・|砌—必.2—6

.•.异面直线的与AD所成角的余弦值为远.

6

故答案为：忌.

6

，、

13.解：设四面体A8C£）的棱长为a,延长AG交8c于点E，取8n的中点连

接所、AF,

D

由题意知，E为的中点,

:.CD//EF,故ZAE尸即为异面直线AG与CD所成角.

在AAEUp,AE=AF=—a,EF=-a,

22

313

-a2+—«2•——a2n

由余弦定理知，cosNAEF=A&+"尸一”广_444_v3

2AE-EF…17

2x——ax—a

22

二异面直线AG与8所成角的余弦值为2.

6

故答案为：走.

6

14.解：在空间取一点P,经过点P分别作a//4,b//b',

设直线"、加确定平面a,

当直线PM满足它的射影PQ在"、b'所成角的平分线上时,

PM与a'所成的角等于PM与b'所成的角.

因为直线a,。所成的角为80。，得"、//所成锐角等于80°,

所以当PM的射影PQ在d、//所成锐角的平分线上时，

与a'、H所成角的范围是[40。,90°).

这种情况下，过点尸有两条直线与al加所成的角都是50。；

当尸用的射影PQ在，、加所成钝角的平分线上时，PM与a'、Z/所成角的范围是

[50°,90°).

这种情况下，过点尸有且只有一条直线(即PMua时)与"，加所成的角都是50。.

综上所述，过空间任意一点尸可作与a,b所成的角都是50。的直线有3条.

故答案为：3.

15.解：设G为AC的中点，♦.•£、F分别是43、CD中点

:.EG//BCLI\.EG=-1BC=\

2

FG/M£>且FG=』AO=1

2

.•.Z£G尸为异面直线AD、所成的角(或其补角)

EF=M,

..AEGF中，cosZEGF=--

2

.•.NEG尸=120°,

即异面直线4)、8C所成的角为60。

16.解：⑴连接AC,

设AC,8。的交点为O,

连接OE，

因为OE//R1,

PAU而EBD,

又OEu面EBD,

故4P//面由)E，

(2)由(1)可得:

ADEO为异面直线PA与DE所成的角,

设他=2,

贝1JEO=1,OD=垃,DE=6,

由勾股定理可得：

△o/把为直角三角形，

贝ljcosZ.DEO==-4==,

DE乖,3

故异面直线必与小所成角的余弦值为今

17.解：取8c的中点G,连接EG、FG,则NEGF(或其补角)为BD、AC所

成的角

;BD、AC所成的角为60。，.■./成才=60。或120。

•-BD=AC=\,/.EG=FG=-

2

^+--2x—X—xcos120°=^-

/.ZEGF=60°EF=-\/或加=120。时，EF=

244222

EF=-或—

22

故答案为：_L或且.

22

18.(1)证明：♦.・P在0。上，AB