高中数学讲义微79 利用点的坐标解决圆锥曲线问题

微专题79利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体

代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心

去处理问题。

一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将

其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用''韦达定理”

的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解

经常与须+々,匹七,必+必，%%相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几

个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，

只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。

2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

/+x2,xix2,yi+%，%%形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得

复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入

3、求点坐标的几种类型：

（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑

把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）

（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或

因式分解求解）

4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能

够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓）

二、典型例题：

22

例1：已知椭圆C：鼻+斗=1（。＞。＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C

的短轴为直径的圆。经过这两个焦点，点AB分别是椭圆C的左右顶点

（1）求圆。和椭圆C的方程

（2）已知P,Q分别是椭圆和圆上的动点（P,Q位于y轴的两

侧），且直线PQ与x轴平行，直线AR8P分别与y轴交于点

M,N,求证：NMQN为定值

解：（1）依题意可得2a=4=>a=2,过焦点，且厂=。

:.b=c,再由6+。2=/=4可得8=0=0

22

椭圆方程为±+2-=1,圆方程为f+y2=2

42

（2）思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设尸（事,％）,由尸。与x轴平行,

可得。（%,%）。若要证明NMQN为定值，可从NMQV的三角函数值下手，在解析中角的

余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑

QMQN

,模长并不利于计算，所以先算两•丽，考虑利用条件设出

COSMQN=.口叫....|_叫_3-

方程，进而M,N坐标可用核心变量司,为表示，再进行数量积的坐标运算可得

QMQN=Q,从而NMQN=C,即为定值

~'2

解：设P。与x轴平行,

.•.设。（%,%），由P,Q所在椭圆和圆方程可得:

22

X0,y0.

-------1-------_11片=4-2第

42=>

%)2=2—yQ

X+>=2

由椭圆可知：A(-2,0),B(2,0)AkAP=^-AP-y=^~x+2)

x04-2x0+2

令x=0,可得：-

、x0+2

同理：3P:y=」一(x-2)可得N0,二^

x。-2<4-2

(、

2%2yo丫七%

：.QM^一%，—^一为一千，二3=一%T”------7

I*o—2J

%+27-2

2+&L,代入

:.QMQN=x^-

片—4

x0+2<入。—2,

两曲=2"+中=2"+（巾-2）=。

TT

：.QMrQN,即NMQN=,为定值

思路二：本题还可以以AP,5P其中一条直线为入手点（例如AP）,以斜率左作为核心变量,

直线AP与椭圆交于AP两点，已知A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标（用人表示），从

而可进一步将涉及的点的坐标都用女来进行表示，得计算丽•丽=（）也可以，计算步骤如

下：

解：设P（方,%），由椭圆方程可得：A（-2,0）,5（2,0）

所以设直线AP:y=Z（x+2）,联立方程:

22

工+匕=1

42=>(2^2+1)X2+8^2X+8A:2-4=0

?=心+2)

8V-44/一2AL

，代入到直线方程可得：y=-^-

20

"°2/+1°2k+14K十1

-12/+1'2/+1

4k

•k=2PT1=__L

2

,‘BP4k-2.2k

-2FZI-2

BP:y^--(x-2),由AP:y=Z(x+2),令x=0可得:

2k

M(O,2A),N(O,(

设Q(玉,%)，则QM=(_玉，2%-y0),QN=(一玉一%

QM-QN=x；+(2Z-=X；+y；+2-"J%

co4k

由。在圆上可得：x；+y：=2,再由%=「一代入可得：

2K+1

CC2&2+14kc

QM•QN=2+2---------------------=0

k2攵2+1

7T

QM±QN,即NMQN=彳为定值

V2V2

例2：设椭圆r+{=1（。>8>0）的左右焦点分别为大，居，右顶点为A,上顶点为3,

«'b~

已知IM耳用

（1）求椭圆的离心率

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点匕，经过原点。的直线

/与该圆相切，求直线/的斜率

解：⑴由椭圆方程可知:A（a,0）,8（。,。）,耳（-c,0）,玛（c,0）

,-.|AB|=，上+从,忻'=2c

\Ja2+h2=-2c=>a2+h2=3c2

2

a2

(2)由(1)可得。：〃：。=夜：1:1

22

椭圆方程为券+色=1设P(面,%),8(0©

F{P=(x0+c,y0),F1B=(c,c)

•••以线段PB为直径的圆经过点片

：.FiPFiB=c(x0+c)+c%=0=%=一(%o+c)

V=-X~C「/、？r

联立方程：，，2,=>/+2(%+°一=2。2,整理可得:

x+2j=2c

3/+45=0,解得：%=一作，代入直线方程：%=]

.,•尸（-3夕）•.•B（O,c）

可知PB的中点为T（—gc,gc],

圆方程为jx+^c]+（y—2。）=—

\3J13J9

设直线/：y=kx

22

——kc——Cr-

dT,=3==%,整理可得：

VFTi3

~k+~j=§k2+1）=左2_8%+i=o,解得:

k=4士厉

直线l的斜率为4+715^4-715

V2、，2

例3：（2014,重庆）如图所示，设椭圆方+>6>0）的左右焦点分别为片,工，点

。在椭圆上，。耳，尸尸2,惊1=2后,△。耳心的面积为夺

（1）求椭圆的标准方程

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在X轴的上方有两个交点，且圆在

这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径

解：⑴设片（一c,0），E（c,0）,由口^=20可得：|。用=但"=也

2>/22

\DFl\

:用=g忻用M用=g,2c.¥c=乎，解得/=inc=i

闺闻=2护引=丁

在AO/但中，|。入「二0£「+恒用2=|一0周=乎

2a=|£＞用+|。用=2夜=＞0=及

2

..力=1.•.椭圆方程为：—+/=1

2

x2

（2）如图：设圆与椭圆一

2

[(%,y),8(9,%)是两个交点

乂＞0,%＞0,K4，K5是圆的切线,

称性可得:

尤2=一%，弘=力二山闾=2㈤

由（1）可得耳（一1,0）,玛（1,0）

.•.耳6=（为+1,y）,窃=（々-1,为）=（一玉_1，凹）

2

4港±F2P2=>FiPX,F2P2=0=>—(%j+1)+y；=0,

22

-(x1+l)+yl=0

4

联立方程4r2=>3x；+4X]=0,解得斗=0(舍)或无]

/+3]3

：.过片，鸟且分别与片6,鸟鸟垂直的直线的交点即为圆心c

由是圆的切线，且可得：C[_LCE

因为|。制=|鹏|=r为等腰直角三角形

,=1。用==夜㈤=

22

例4：已知椭圆二+2=1（。＞方＞°）的焦距为4,设右焦点为月，离心率为e

ah

V2

（1）若6=宫—，求椭圆的方程

2

（2）设AB为椭圆上关于原点对称的两点，Af；的中点为86的中点为N,若原点。

在以线段MN为直径的圆上

①证明：点A在定圆上

②设直线A8的斜率为女，若女N百，求e的取值范围

解：（1）依题意可得：c=2:.a=-=2y[2

e

22

.■,b2=a2-c2=4所以椭圆方程为：—+^-=1

84

（2）①思路：设4（/,%），则8（一.，一%），由此可得M,N坐标（用先进行表示），

而。在以为直径的圆上可得：OMON=0,所以得到关于%,知的方程，由方程便可

判定出A点的轨迹

解：设A（Xo，%）,则3（—/,—%）。因为耳（一2,0）,且M,N为A£,8片的中点

所以有〃（当2.,N（奇匚V）

。在以MN为直径的圆上

：.OMYON

.+出/。

向.丽=

22

/.-—--&=0=>X；+y：=4

44°0

A点在定圆V+V=4上

②\—+^=1=>\a~b~消去X可得：-7+y=w（攵2+l）（*）

T6oz.«4（/

224片+（丘）=

£+y~=41、）

丁C2.心2224-4,4=2

而6=—=—,h=a—c=―-—

aaee

.4_2/1

代入（*）可得：E=——；----->3

2e2

_2z72+41i—

———>0v0<e<l所以解得：一<e2<4—

2e2-l2

例5：已知椭圆三+[=l(a>b>0)的上顶点为8,左焦点为尸，离心率为冷

(1)求直线8户的斜率

(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点8且垂直于BP的直线与椭圆交于点。

(。异于点5),直线PQ与y轴交于点“，|尸徵=川"。|

①求/I的值

7R

②若|PMsin8QP=q—,求椭圆方程

解：(1)由e=£=且可知。：〃：。=石：2:1

a5

设尸（一。,0）,6（0力）=（0,2c）

（2）①设。（5,乂）,。（*2，%）

/.BP:y=2x-k2c

22

•.•。»：。=石：2:1椭圆方程为：泉+#=1

联立方程：+5y=20cn4x2+5（2x+2c『=20。2,整理后可得:

y=2x+2c

24炉+40。*=0可解得：X（=-y

因为BQLBP'设BQ:y=—gx+2c

22

4X+5/=20C（1Y

联立方程：\1=4?+5一一x+2c=2002,整理后可得:

y=——x+2cI2）

[2

21f_40cx=0,解得％=等，即小当，堂）

设M（0,%）,PQ斜率为左，由弦长公式可知:

|QM|=Jl+公等

-0=等"

x\PM\__7

DM40cHF8

21

②由①可得：产4=2=—=>|PM|=—|P0|

\MQ\8闸15111511

|sinBQP=亭怛目=|PQ|sinBQP=y|PM|sinBQP=；逐

由B（0,2c）,P卜了,—《J可得:

:占在.

33

椭圆方程为二+2-=1

54

例6：已知椭圆，+誉=1（。>6>0）的左焦点为F（—。,0）,离心率为今，点M在椭圆

上且位于第一象限，直线被圆/+日截得的线段的长为0,|月0|=年

（1）求直线RW的斜率

（2）求椭圆的方程

（3）设动点P在椭圆上，若直线口的斜率大于3,求直线OP（。为原点）斜率的取值

范围

解：(1)由已知可得e=£=——，a:b:c=6：6：l

a3

/.a—>/3c,b—\flc

元2v2

椭圆方程为彳+会=1n2d+3/=6c2

设直线fM:y=Z(x+c)=>依-y+k?=O,其中Z>0

(iA2

d()-FM=/,•,由^O-fM+c=,可得：

yjk+1[27

(kc\b2k2c22?2

2-+J=±-解得：k

+4c_4n入144

(2)由(1)可得：FM:y=±3(x+c)

y=­(x+c]n

「3''=>2x2'+3--=6c?

2x2+3y2=6c2

.♦.3/+2以:-5c2=0解得：x=上或x=c

3

M在第一象限

X—CZr-、

迪c'即Mc,一C1

4c4g

,-.|FM|=y|c-(-c)|

=方=亍

可得：C=1

22

.二椭圆方程为：一十^—=1

32

（3）由（2）可知尸（一1,0）,设P（x,y）,设FP的斜率为2

PF:y=k^x+\）

y=k(x+1)

联立方程:2X2+3^2(X+1)2=6

3x2+2/=6

y

设直线OP的斜率为m,即机=_=y=iwc

X

•/3x2+2y2=1=>3x2+2m2%2=1=>m2=--——

2x22x22

当冗时，可知y=左(1+1)<0

V3)V2

/.m=—>0m=，由--,—1可得："2£

x2J(33J

当％£(—1,0)时，可知y=《(x+l)>()

V八

/.m=~<0me—00,—

x

综上所述：me

例7：已知椭圆G的离心率为芋，其短轴的两端点分别为A(0』),5((),—l).

(1)求椭圆G的方程;

(2)若C,。是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线与尢轴分别交于点M,N.

试判断以MV为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

解：(1)*:e---:.a\b\c-V2:1:1

a2

由短轴顶点A(0,l),3((),—1)可得：b=\

2

:.a=y[2椭圆方程为、+丁=1

(2)设。(玉),％),则对称点。(一斤,先)

.•.怎°=%二\&。=一/山从而直线AC,3。的方程为:

/X。

AC:y=^^-x+\,BD:y=-^^-x-1,令y=0解得:

%与

/\(\

M-^,0,N二纥,0,设MN中点、为E

(If)(1+%)

%।F玉）乂）

1一九1+%

半径厂=_J_入0_____"o_闯

，2-21-y0\+y0-1-^

<\22

.•.以MV为直径的圆方程为：x——粤+丁=—反方

【i-/,0-^r

22

代入费+邸=1=£=1-y可得:

竺与+分丁二。,代入五=1一火可得:

玉）玉）2

即％2+,2_”“2=0①

：.%=04=±0时，无论无0，%为何值

等式①均成立

.••圆E恒过（0,±0）

例8：如图，设抛物线。］：产=4/3（加>0）的准线与犬轴交于£,焦点为工，以1,居为

焦点，离心率e=g的椭圆C2与抛物线G在x轴上方的交点

为P,延长尸工交抛物线于点。，m是抛物线G上一动点，

且"在P,。之间运动

（1）当m=1时，求椭圆G的方程

（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求AMPQ面积的最大值

解：（1）根=1时，G：〉2=4X,焦点坐标6（1,0）

/.b1=a2-c2=3

22

椭圆G的方程为：亍+（=1

（2）由£:丁=4/nx（m>0）可得：月（加,0）,即c=m

c1

a=2mB=a2-c2=3m2

a-2

・•.椭圆方程为:

4m23m2

3x2+4y2=12m2,

<、=>3x~2+167nx-12m"2=0

y~=

2x76771

/.（x+6/??）（3x-2m）=0=>x=不"代入"="如解得：>=—3一'

,p（22瓜、

133）

,,\PF\=x+P=^.+m=^.

121233

\PFi\=2a-\PF2\=4m-^-=^-忻用=2c=2m=券

•.♦△「片鸟边长为3个连续的自然数.<.777=3

••・抛物线方程为V=12%，尸（2,26）,工（3,0）

即PQ：y=—2遍（为-3）,代入抛物线方程可得：

O

24（x—3）9-=12xn2f_13X+18=O解得=不

-276-

：2、

设M—,t,re(-376,276)

112J

—t2+t-6\/6

6郛76+倔-36卜*75

•d-

一U

M-PQ-724+12JT

2

75

闻-3#,2甸-----G

2-圣。

75V6755/7

•••(Z/"Q)max=与=--------二一

2T3024

IJmax

由网2,2C),Q(|,25

可得：|P2|=V1+24|X-X|

PGT

(S“P。)max=；IPQt(。…。)max=；弓

例9：在平面直角坐标系宜为中，点P(a,8)(a>b>0)为动点，居分别为椭圆

「+2=1的左，右焦点，已知A-PB为等腰三角形

a'b~

(1)求椭圆的离心率e

(2)设直线尸鸟与椭圆相交于A,3两点，M是直线尸入上的点，满足AA/-3A/=—2,求

点M的轨迹方程

解：⑴设耳(一。,0),6(。,0),由图可知,人耳尸鸟为等腰三角形即忸国=忻闾

;上周=J(a+c)2+心忸用=2c,代入可得：

《(a+c)~+b1=2cn(a+c)~+b2=^c~

：.2a~+2ac—4c2=0=>2e2—e—1-0,解得：e=—l(舍)或e=，

2

(2)思路：由(1)可将椭圆方程化简为：3x2+4y2=12c2,与直线「鸟的方程联立，即

3x2+4y2=12c2,

«l消元后发现方程形式为5f—8cx=0,形式极其简单，所以直接求出点

y=V3(x-c)

的坐标可得：A|孰¥，,网0,-&),进而设所求点M(x,y)。将川法,两坐标化后，

再利用AM-BM=-2即可得到关于x,y的方程：

-•!(?)+y--^-c(y+Gc)=-2,方程中含有c,所以考虑利用直线方程

丫=6(%—。)将。消掉：c=x—£y,代入即可得到轨迹方程

解：'：e=—=—a=2c,b=a1—c1=6c

a2

22

.••椭圆方程转化为：J+当=1即3/+4尸=12c2

4c23c2,

P（a,。）即P（2C,6C）kpF,--~=-x/3

:.PF：的方程为:y=g(x—c),设A(X”X),3(X2，%)，联立方程可得:

3x2+4y2=12c2

一、，消去y,方程转化为：

y=6x-c)

3x2+4•3（x-c）2=12c2=>5x2-Sex=0

8’836

解得：%,=—c,x=0A,网0,一⑸

25

8

设M（x,y）,则AA/=,BM=（x,y+Gc）

由无必・丽r=—2可得：x-2,化简可得:

/一二十八空勺一力+2=0①

55-5

因为y=J5（x-c）,所以c=x一定，代入①式化简可得:

18/一16Gxy-15=0

18/—1510A:2+5

将旷=代入C=X--可得:>0=>x>0

16A/3X>/316x

M的轨迹方程为：18X2-1孙-15=0（x>0）

例10：如图，耳,工分别为椭圆C:^+4=l（a>0>0）的左右焦点，椭圆C上的点到月距

矿b~

2

离的最大值为5,离心率为A,8是椭圆C上位于x轴上方的两点，且直线A£与BF?平

行。

（1）求椭圆C的方程

⑵设A鸟与8片的交点为P,求证：忱用+|P闾为定值

c2

解：（1）e=_=_,依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为=5

a3

.,.a=3,c=2b2=a1—c2=5

所以椭圆方程为二+匕=1

95

（2）

解：由⑴可得:耳（—2,0）,6（2,0）,设4（石,〉］）,3（芍,y2）

设直线A耳：x=/2—2,与椭圆联立方程：

x=my-2._，

<，'，=>5（my-2）2'+9/=45,整理可得：

5/+9y2=45V-7

（9+5m2）y2-20/«>--25=0

、_20/〃±］（20加）2+100（9+5>）_10一±15，/〃2+1

一,―2（9+5也―9+5病

,c-1"/且10m+15j〃?2+1

由y〉°可得：%=5/+9

22

二|A"|=\l\+m\y}-0|=\J\+m-+匚史①

5m~+9

同理，设直线3工：工="），+2,与椭圆联立方程:

Xmy+Z..,

《「，=>5（m>'+2）2-+9y2=45

l5x2+9/=45V7

整理可得：

（9+5m2）V+