人教版数学九年级上册同步导学案-《2421点和圆的位置关系》导学案

《24.2.1点和圆的位置关系》导学案

课题点和圆的位置关系数学年级九年级上册

1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定

知识

2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆

目标

3.会画三角形的外接圆，熟悉相关概念

重点重点：点与圆的位置关系

难点难点：过三点画圆

教学过程

知识引入观察下列图中的图片，你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？

你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎

么判断出来的？

@

合作探究知识点一、自学内容：阅读课本P92-93.

要求：思考以下问题.

1、点和圆有哪几种位置关系？

2、经过一个点、两个点、不在同一直线上的三个点分别可以作几个圆？

3、如何作三角形的外接圆？什么是三角形的外心？外心有什么性质？

4、锐角、直角、钝角三角形的外心的位置有何特点？

知识点二、点与圆的位置关系

观察下列图形，想一想平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

O

答案：点在圆上、点在圆外、点在圆内

观察下图，回答点和圆的位置关系有几种？你能从点与圆心的距离与半径的大小关系来

判定点的位置吗？

归纳：

点和圆的位置关系

设。。的半径为r,点到圆心的距离为d。则

点P在圆外od>r

点P在圆上od=r

点P在圆内od<r

符号“o”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，也可以从右端得

到左端.

知识点三、过点画圆

画圆的关键是什么？确定圆心、确定半径的大小

1.过一点可以作几个圆?试一试，过点A画圆，你能画多少个？

•A

画无数个圆。

2.过两点可以作几个圆？圆心在哪里？

••

BA

无数个、线段AB的垂直平分线上、这点到A或B的距离

4.过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?具体有哪些步骤说一说。

A

■

•

B*C

①经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.

②经过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.

③经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点0的位置.

通过你的作图，你发现圆心在哪里，它和那3个顶点有什么关系？

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

•归纳：定义：

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是

三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

外心性质：到三角形三个顶点的距离相等。

思考：为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？你能证明吗？

证明：假设经过同一直线1的三个点能作出一个圆，圆心为0.

如右图，假设经过同一条直线/上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆

心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线/i上，又在线段BC的垂直平分线L上，

即点P为/1与的交点，而，」/，h±l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条

直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.

上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不

同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一

条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正

确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.

反证法的步骤为第一步假设结论不成立;第二步是由结论不成立推出和已知条件或

定理相矛盾.第三步是肯定假设错误，故结论成立.

例、用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。

证明：如果AB〃CD,那么/l=/2.,E

假设过点0作直线A'B',-------/l-B

使/EOB'=Z2.B'

根据“同位角相等，两直线平行”，C2D

可得A'B'〃CD。

这样，过点0就有两条直线平行于CD,F

这与平行公理“过直线有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾。

自主尝试1.。。的半径10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm>12cm,则点A、

B、C与。0的位置关系是：点A在；点B在；点C在.

答案：圆内、圆上、圆外

2.。。的半径6cm，当0P=6时，点A在；当0P时点P在圆内；当0P

时，点P不在圆外.

答案：圆上、<6、三6

3.判断下列说法是否正确

（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆（)

（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形（)

（3）经过三点一定可以确定一个圆（)

（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（)

答案：q、x、x、q

4.分组合作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形内，那钝角三角形、直角三角形的

外心呢？画图说明。

B

解：如下图.。为外接圆的圆心，即外心.锐角三角形的外心在三角形的内部，直

结论：锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形

的外心在三角形外。

当堂检测1.用反证法证明命题"三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个

三角形中（）

A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°

解:选D.必须有一个内角小于或等于60°的反面是:每一个内角都大于60°.

2.如图，在4ABC中，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4.cm,CM为中线，以C为圆心,、巧cm为半径

作圆，则A,B,M三点在圆外的有________,在圆上的有________,在圆内的有________.

答案：点B点M点A

解：由勾股定理得,AB=2V5cm,CM=\''5cm.点M在圆上,AC<«5,点A在圆内，BC>\'5,点B

在圆外.

3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样

的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是_______块.

答案:②

【方法技巧】①确定一个圆需要知道圆心和半径.②由垂径定理知，作圆.弧上任意不同

两条弦的垂直平分线，即可确定圆心和半径.

4.如图，AB=0A=0B=0C,则/ACB的大小是________°.

0C

AB

答案：30

解：由题意知A,B,C三点在以0为圆心的圆上，

,.•AB=0A=0B=0C,AZA0B=60°,

/.ZACB=-ZA0B=30°.

?

5.已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点0.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q

在以0为圆心的同一个圆上.

D

B

【证明】,・•四边形ABCD是菱形，

.-.AC±BD,垂足为0,且AB=BC=CD=DA,

M,N,P,Q分别是边AB,BC,.CD,DA的中点,

.\OM=ON=OP=OQ.=-AB,

二根据圆的定义.可知:M,N,P,Q四点在以0为圆心，0M为半径的圆上.

院的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交靠于点C,5

6.如图所示,残彳