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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.秦九韶是我国南宁时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、,则输出的值为()A. B. C. D.2.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.3.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.904.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.5.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.6.偶函数关于点对称,当时,,求()A. B. C. D.7.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.8.若双曲线的焦距为,则的一个焦点到一条渐近线的距离为()A. B. C. D.9.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.1510.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.411.已知复数z,则复数z的虚部为()A. B. C.i D.i12.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如果抛物线上一点到准线的距离是6,那么______.14.函数的定义域为_____________.15.已知,则______,______.16.记为数列的前项和,若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).18.(12分)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,且经过点.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点,满足,记点N的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线与曲线C交于P,Q两点,求的值.20.(12分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求证:直线与椭圆相切;(2)判断是否为定值,并说明理由.21.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.22.(10分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
列出循环的每一步,由此可得出输出的值.【详解】由题意可得:输入,,,;第一次循环,,,,继续循环;第二次循环,,,,继续循环;第三次循环,,,,跳出循环;输出.故选:B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值,一般要列举出算法的每一步,考查计算能力,属于基础题.2、C【解析】
根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.3、A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.4、C【解析】
模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.5、C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.6、D【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数,由此可得出,代值计算即可.【详解】由于偶函数的图象关于点对称,则,,,则,所以,函数是以为周期的周期函数,由于当时,,则.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值,推导出函数的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.7、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.8、B【解析】
根据焦距即可求得参数,再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的焦距为,故可得,解得,不妨取;又焦点,其中一条渐近线为,由点到直线的距离公式即可求的.故选:B.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程,以及双曲线的几何性质,属综合基础题.9、B【解析】,∴,选B.10、C【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.11、B【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】,则复数z的虚部为.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12、C【解析】
计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先求出抛物线的准线方程,然后根据点到准线的距离为6,列出,直接求出结果.【详解】抛物线的准线方程为,由题意得,解得.∵点在抛物线上,∴,∴,故答案为:.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,属于基础题.14、【解析】
由题意可得,,解不等式可求.【详解】解:由题意可得,,解可得,,故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,属于基础题.15、【解析】
利用两角和的正切公式结合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值,进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】,,,.故答案为:;.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用,难度不大.16、-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比数列,再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以,即,所以。故答案为:【点睛】本题考查已知与的关系求,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)先求出,又由可判断出在上单调递减,故,令,记,利用导数求出的最小值即可;(2)由在上不单调转化为在上有解,可得,令,分类讨论求的最大值,再求解即可.【详解】(1)已知,,由可得,又由,知在上单调递减,令,记,则在上单调递增;,在上单调递增;,(2),,在上不单调,在上有正有负,在上有解,,,恒成立,记,则,记,,在上单调增,在上单调减.于是知(i)当即时,恒成立,在上单调增,,,.(ii)当时,,故不满足题意.综上所述,【点睛】本题主要考查了导数的综合应用,考查了分类讨论,转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ)。【解析】
(Ⅰ)分类讨论,去掉绝对值,求得原绝对值不等式的解集;(Ⅱ)由条件利用基本不等式求得,,再由,求得的范围.【详解】(Ⅰ)当时,原不等式可化为,此时不成立;当时,原不等式可化为,解得,即;当时,原不等式可化为,解得.综上,原不等式的解集是.(Ⅱ)因为,当且仅当时等号成立,所以.当时,,所以.所以,解得,故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及转化与化归思想,难度一般;常见的绝对值不等式的解法,法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.19、(Ⅰ)(t为参数),;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)直接由已知写出直线l1的参数方程,设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由题意可得,即ρ=4cosθ,然后化为普通方程;(Ⅱ)将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中,得到关于t的一元二次方程,再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值.【详解】(Ⅰ)直线l1的参数方程为,(t为参数)即(t为参数).设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),则,即,即ρ=4cosθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中,得,即,t1,t2为方程的两个根,∴t1t2=-1,∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用,是中档题.20、(1)证明见解析;(2)是,理由见解析.【解析】
(1)根据判别式即可证明.(2)根据向量的数量积和韦达定理即可证明,需要分类讨论,【详解】解:(1)当时直线方程为或,直线与椭圆相切.当时,由得,由题知,,即,所以.故直线与椭圆相切.(2)设,,当时,,,,所以,即.当时,由得,则,,.因为.所以,即.故为定值.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查向量的运算,注意直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.21、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即
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