高中数学-正弦函数的图像与性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《正弦型函数的图象变换》教学设计

一、内容与内容解析

1.本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其

他领域中具有重要的作用."函数y=Asin(口x+s)的图象”是三角函数的一个重

要内容，通过揭示参数A,co,9变化对函数y=Asin(cox+夕)图象的影响，有助

于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述

周期现象的重要数学模型.

2.本课内容剖析

“函数y=Asin(s+s)的图象”主要是探讨函数y=Asin(s+s)的图象与函

数y=siiu的图象之间的关系.图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上

点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换

规律，只需研究图象上每个点的坐标变化规律.

本节课教学设计是先分别探讨s、A、(y对函数y=sin(x+9)、y=Asinx(A>0)、

y=sincox(0>0)的图象的变化规律，再探究y=sin(2x+1)的图象和函数y=sin2x

的图象之间的变化关系.其中，8对y=sin(x+g)的图象的变化规律的探讨方法

可以迁移到后续问题解决中去.

本节课的重点是：分别探讨9、A、①对y=sin(x+e)、y=Asinx(A>0)>y=

sincox(co>0)的图象的变化规律.

本节课的难点是：①函数y=sinox的图象与正弦曲线的关系；②函数y=

sin(2x+l)的图象与函数y=sin2x的图象的关系.

二、目标与目标解析

1.探索并发现3对y=sin(x+g)的图象的变化规律，A对尸Asinx(A>0)的

图象的变化规律，。对y=sinox(。〉。)的图象的变化规律；

2.在理解外A、①对y=sin(尤+Q)、y=Asinx(A>0)、y=sincox((w>0)的图象

的变化规律的基础上，探究y=sin(2x+l)的图象和函数y=sin2x的图象之间的变

化关系；

3.学生在活动中经历观察、归纳、验证的过程，体会从简单到复杂，从具

体到抽象，由特殊到一般的思想.学生在问题的引导下，自主探究研究策略，从

而培养学生的认知策略，发展元认识.

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个实例，增加供归纳的样本,

让学生亲历从简单到复杂，具体到抽象，特殊到一般的探索过程，逐步概括图象

变换的规律.学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论

进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法.

三、教学问题诊断分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角

函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的

延伸和拓展.

1.参数8引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在

教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的

理解；

2.参数A和口的取值，学生会忽视0VAV1和情况，为此，在

这里注意引导，从而全面认识参数A和口的变化引起的图象变化；

3.理解y=sino>x和y=sinx的图象间关系是难点，教学中类比参数”，A对

图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变

换上进行理性分析，从而理解变换的实质.如从y=sinx到y=sin2x,代数上是

用2x代换X,因此是将旷=5布》图象上坐标为（X0，州）的点变换到坐标为（50，yo）

的点，所以是将丁=$山》图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的看得到y=

sin2x的图象；

4.从y=sin2x的图象变换到y=sin（2x+l）的图象是本课又一难点，究竟是

向左平移1个单位还是g个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标

变换理性分析.

四、教学支持条件分析

利用几何画板辅助教学，可以对图象上每个点进行分析，有利于学生突破本

节课的难点.该探讨方法可以迁移到其他一般函数的图象和性质中去，有利于学

生理解函数图象变换的数学本质.

五、教学过程

以问题为载体

以活动为主线

1.创设情境、引出课题

如图，摩天轮的半径为Am(A>0),摩天轮逆时针做匀

速转动，角速度为。rad/min(①>0),如果当摩天轮上点(.

p从图中点H)处开始计算时间.请在如图所示的坐标系中，\'y

确定时刻xmin时点P的纵坐标y.、‘

【设计意图】

函数y=Asin(ox+s)是刻画自然界周期现象的重要模型，具有丰富的自然背

景，借助于实际意义来理解函数y=Asin(0x+s)的图象性质是自然的、清楚的、

明白的！

师生活动：先将点为置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y=Asin①x；

再将点Po置于如图所示位置，得到在时刻xmin时点P的纵坐标产Asin(ox

+夕).

小结:形如y=Asin((wx+夕)的函数在生活中经常可见，字

如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足((M)B

y=Asin(t”+s),如图所示.再比如潮汐现象中水位的

高度、单摆中的摆角等也满足这个解析式，因此今天()以。)•

我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A>0,口>0.

设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢？

结论：图象.

板书课题：函数y=Asin(ox+s)(A>0,w>0)的图象

设问2：显然，参数4,“，°取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进

而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

结论：函数y=sinx.

2.制定方案，分类探讨

问题1：如何由y=sinx的图象得到y=Asin(cox+”)(A>0,co>0)的图象？

师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案.

小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一

个变动，先分别探讨9、A、ty对函数y=sin(x+s)、y=Asinx(A>0)、y=sin&)x(&>>0)

的图象的变化规律，再综合.

【设计意图】

首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决

问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单

化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法.

3.层层递进，探究结论

根据上面制定的计划，分别探讨卬、A、co对y=sin(x+s)、y=Asiiu(A〉O)、

y=sins(0>0)的图象的变化规律.

问题2：如何由j=sinx的图象得到_y=sin(x+l)的图象？

师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②

JT

再举几个例子如：y=sin(x—1),y=sin(x+g)；③抽象到一般.

(P=]0-M:(2.52,0.58)

N:(1.52,0.58)

y=sin(x+1)

点MQo，yo)-----------------------点、N(x。-1,jo)

向左(夕>0)或向右⑷<0)

y=sinx---------------------->y=sin(x+^)

平移助个单位

点A/(xo，泗)----------------*点、N(XL(/),yo)

【设计意图】

第一，人们总是借助具体的东西来理解抽象的东西，因此结合具体的实例说，

增加供归纳的样本，具体的清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什

么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这

里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释变换.

着重探讨清楚<p对y=sinQ+s)的图象的变化规律，学生可以将探讨方法迁

移到后续对A、0的探讨中去.

问题3：⑴如何由y=sinx的图象得到函数^=念加直4>0)的图象？

(2)如何由y=sinx的图象得到函数y=sin“x(ry>0)的图象？

师生活动：让学生类比之前的方法充分探讨，然后交流.

①y=Asiiu(A>0)的图象可以看作是把y=sint图象上所有点在横坐标不变的情

况下纵坐标变为原来的A倍得到的.

板书：y=sinx-------------------------->•y=Asinx(71>0)

纵坐标变为原来的A倍

点M(xo,yo)*■点N(xo，Ayo)

②y=sina>x(a»>0)的图象可以看作是把y=sinr图象上所有点在纵坐标不变的情

况下横坐标变为原来的1倍得到的.

CD

点M（xo，yo）--------------------------►点N（在，yo）

【设计意图】

类比前面的探讨方法，请学生独立探讨A、0对y=Asinx、y=sincox的图象

有什么影响.此处与问题2的解决有所不同，更加突出代数角度分析.

设问3：刚才我们分别探讨了中、4、co对函数图象影响的变化规律，我们是怎

样研究的呢？

师生活动：（1）控制变量；（2）作图比较；（3）理性分析.

探究：如何由函数产sin2x的图象得到产sin（2x+l）的图象呢？

师生活动：学生讨论后交流.这里是向左平移1个单位还是向左平移g个单位?

①利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析.

板书:向左平移上个单位

y=sin2x-----y--=--s-i-n--(-2--x-+--l-)--

点M（xo,州）-------------------点N（xo-q，yo）

小结：从中发现,横向变换只对x的变化而言，同理纵向变换仅对y的变化而言.

y=sin2r的图象向左平移个单位，得到的函数图象对应的解析式是y=sin2（x+g）,

而不是y=sin（2r+1）.

【设计意图】

探讨y=sin（2r+l）的图象与y=sin2x的图象的关系，不仅是对本节课探讨的

深入，也为下一课时的探讨拉开序幕.“为理解而学习、教学”是建构主义的核

心目标.

4.回顾总结，反思提高

小结：今天我们分别探讨了外4、/对函数y=sin(x+。)、

y=Asinx(4>0)、y=sincyx(g>0)的图象的变化规律，下面

探讨什么呢？

【设计意图】

培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.

布置作业：1.阅读课本(系统回顾本节课学习内容，学习规范表达)；

2.书第44页第2题.

六、教学设计说明

1.本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性，体会

产Asin(0x+s)(A〉0,。>0)是刻画周期现象的重要数学模型.

2.本节课主要问题是认识尸4sin(ftzr+s)(A>0,。〉0)的图象与y=sinx的图

象的关系，因为这里参数A,0，0对函数图象都将产生影响，因此往往学生感到

抽象和难于解决.为了突破此难点，在教学中引导学生制定探讨思路，并在此基

础上确定探讨思路，即相对固定其中2个变量，只探讨1个变量的作用，体会探

讨多变量问题的一般方法.值得指出的是，本节课学生在问题的引导下，自主探

究研究策略，从而有利于培养学生的认知策略，发展元认识.

3.本节课鼓励学生独立进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学

生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答.我认为

这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力，对于教师,

也能及时抓住学生的想法、及时引导，有效驾驭课堂.

学情分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在

三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内

容的延伸和拓展.

1.参数夕引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在

教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的

理解;

2.参数A和①的取值，学生会忽视OVA＜1和0＜。＜1情况，为此，在

这里注意引导，从而全面认识参数A和口的变化引起的图象变化；

3.理解y=sinox和y=sin_x的图象间关系是难点，教学中类比参数”，A对

图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变

换上进行理性分析，从而理解变换的实质.如从＞=5m丫到丁=5足2达代数上是

用2x代换x,因此是将丁=5指》图象上坐标为（xo,泗）的点变换到坐标为gro,泗）

的点，所以是将〉=51皿;图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的g,得到y=

sin2x的图象；

4.从y=sin2x的图象变换到y=sin（2x+l）的图象是本课又一难点，究竟是

向左平移1个单位还是g个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标

变换理性分析.

效果分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角

函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的

延伸和拓展.

1.参数°引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在

教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的

理解；

2.参数A和①的取值，学生会忽视0VAV1和情况，为此，在

这里注意引导，从而全面认识参数A和口的变化引起的图象变化；

3.理解y=sinox和y=sin_x的图象间关系是难点，教学中类比参数”，A对

图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变

换上进行理性分析，从而理解变换的实质.如从＞=5m丫到丁=5足2达代数上是

用2x代换x,因此是将^=5指》图象上坐标为（X0，泗）的点变换到坐标为（gxo，yo）

的点，所以是将〉=4必图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的3,得到>=

sin2x的图象；

4.从/=5皿2》的图象变换到y=sin(2x+l)的图象是本课又一难点，究竟是

向左平移1个单位还是g个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标

变换理性分析.

教材分析

1.本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其

他领域中具有重要的作用.“函数y=Asin3x+s)的图象”是三角函数的一个重

要内容，通过揭示参数A,co,(p变化对函数y=Asin(ox+g)图象的影响，有助

于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述

周期现象的重要数学模型.

2.本课内容剖析

"函数y=Asin(cox+s)的图象”主要是探讨函数y=Asin(a>x+g)的图象与函

数y=siiu的图象之间的关系.图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上

点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换

规律，只需研究图象上每个点的坐标变化规律.

本节课教学设计是先分别探讨(p、A、a)对函数y=sin(x+s)、y=Asin_r(A>0)、

y=sincox(0>0)的图象的变化规律，再探究y=sin(2x+l)的图象和函数y=sin2x

的图象之间的变化关系.其中，8对〉=5足(》+8)的图象的变化规律的探讨方法

可以迁移到后续问题解决中去.

本节课的重点是：分别探讨9、A、。对y=sin(x+g)、y=Asin_r(A〉0)、y=

sincox(co>0)的图象的变化规律.

本节课的难点是：①函数>-=sin(yx的图象与正弦曲线的关系；②函数y=

sin(2x+1)的图象与函数y=sin2x的图象的关系.

评测练习

jr

1、已知函数y=3sin（x+《）（xeR）的图象为C：

jr

（1）为了得到函数y=3sin（x—《）（xeR）的图象，只需把C上所有的点（）

A.向左平移三个单位B.向右平移三个单位

55

C.向左平移2二4个单位D.向右平移二24个单位

55

TT

（2）为了得到函数丁=35亩（2%+《）（犬6/e）的图象，只需把，上所有的点（）

A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变

2

C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变I）.纵坐标缩短到原来的1倍,横坐标不变

2

2、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩短为原来的一半，纵坐标保持不变，

再把图象向左平移多个单位，则所得函数的解析式为（）

4

.TC.

A.y-sin（2x---）B.y=-sin2x

4

.冗

C.y=cos2xD.y-sin（2xd——）

4

jrJi

3、把函数y=sin（2x+：）的图象向右平移;个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短

为原来的则所得图象的函数解析式是

2

课后反思

1.本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性，体会

>=Asin（tyx+s）（A>0,0>>0）是刻画周期现象的重要数学模型.