新人教版八年级上册初二数学全册表格式教案

第十一章三角形

一、课标要求

(1)理解三角形及三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)的概念，证明三角形两边的

和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。

(2)理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角

形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于

与它不相邻的两个内角的和。

(3)了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形)，探索并掌握多边形的内

角和公式与外角和•

二、教材分析

第1节研究与三角形有关的线段。首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念，进而研究

三角形的分类。对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边。然后给出三角形的高、

中线与角平分线的概念。结合三角形的中线介绍三角形的重心的概念。最后结合实际例子介

绍三角形的稳定性。

第2节研究与三角形有关的角，对于三角形的内角，证明了三角形内角和定理。然后由这个

定理推出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。最后给出三角形的外角的概念，

并由三角形内角和定理推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

第3节介绍多边形的有关概念与多边形的内角和公式、外角和。三角形是多边形的一种，因

而可以借助三角形给出多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角

形的有关概念推广而来。三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，

利用三角形的性质研究多边形。多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的。将多边形的

有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习。

三、教学建议

1.把握好教学要求

与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了，进一步的要求可通过后

续学习达到。如对于三角形的角平分线，在本章中只要知道它的定义，能够从定义得出角相

等就可以了，学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，在下

一章“全等三角形”中再证明这个结论，同样，三角形的三条中线交于一点的结论也可直接

点明。

在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边分别相等的两个三角形全

等“，可进一步明白其中的道理，证明三角形的内角和等于180°有一定的难度，只要学生

了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握，

对推理的要求应循序渐进。

2.开展好数学活动

镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式，通

过这个数学活动，学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识

解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

这个数学活动可以如下展开：

首先引入用地砖铺地，用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些

不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶

嵌成平面图案，并记下实验结果：

（D用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案。用正五边形不能镶嵌成一个

平面图案。（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案。用正三角形与正六边形也可

以镶嵌成一个平面图案。（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案，用任意四边形可以镶

嵌成一个平面图案。

观察上述实验结果，得出如下结论：如果拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周

角），相邻的多边形有公共边，那么多边形能镶嵌成一个平面图案。

最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用。

11.1与三角形有关的线段

第1课时三角形的边

教学目标

1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三

角形.

2.会判断三条线段能否构成一个三角形，并能运用它解决有关问题.

教学重点

三角形的有关概念，能用符号语言表示三角形，三角形的三边关系.

教学难点

三边关系的推导及应用.

一、创设情景，明确目标

投影：金字塔，斜拉大桥，塔吊，自行车等，让学生感受生活中处处有三角形的身影，我们

研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.

请说一说你已经学习了三角形的哪些知识？

二、自主学习，指向目标

1.自学教材第1至3页.

2.学习至此：请完成学生用书相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一三角形的概念、表示方法及分类

活动一：阅读教材第1至2页内容，并思考以下问题：

(1)具有什么特征的图形叫作三角形？(不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的

图形)

(2)三角形有几条边？有几个内角？有几个顶点？(3,3,3)

(3)三角形ABC用符号如何表示？三角形ABC的边AB、AC和BC怎样用小写字母分别表示？

(a,b,c)

(4)三角形按边分可以分成几类？按角分呢？

展示点评：学生结合图形分别回答，师生共同点评.

小组讨论：三角形的概念，如何用符号表示及分类？

反思小结：三角形的图形特征，有三条边，三个内角，三个顶点，边可以用两个大写字母表

示，也可以用一个小写字母表示.

针对训练：见《学生用书》相应部分。

探究点二三角形的三边关系

活动二：画出一个aABC,假设有一只小虫要从B出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路

线可以选择？各条路线的长有什么数量关系？请说明你结论的正确性.

展示点评：(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C如下几条线段.

a.从人-*•C：

b.从人f4fC.

(2)从B沿边BC到C的路线长为约.

从B沿边BA到A,从A沿C到C的路线长为四+47.

经过测量可以说＞览,可以说这两条路线的长是不相等的.

小组讨论：在同一个三角形中，任意两边之和与第三边有什么关系？任意两边之差与第三边

有什么关系？三角形的三边有怎么样的不等关系？

反思小结：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点三三角形有关知识的运用

活动三：见教材P3例题

小组讨论：等腰三角形的边长的关系？第(2)问中的长4cm没有明确是腰还是底时应怎么处

理？

展示点评：等腰三角形的底和腰的长度，不确定时，应分情况予以讨论.

反思小结：当题目中的条件不明确时要分类讨论.所有的三角形必须要满足三边关系定理.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.概念：三角形，内角，边，顶点

2.符号语言.

3.二边关系.

4.三角形的分类.

五、达标检测，反思目标

1.现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度，要钉成一个

三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)

A.10cm的木棒B.20cm的木棒

C.50cm的木棒D.60cm的木棒

2.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为(C)

A.9B.12C.15D.12或15

3.已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm,则它的最短边长为(B)

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

4.若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可构成

3个三角形.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为17:若等腰三角

形的两边长分别是3和4,则它的周长为10或11.

5.如果以5cm长为等腰三角形的一边，另一边长为10cm,则它的周长为25cm.

6.工人师傅用35cm长的铁丝围成一个等腰三角形铁架.

(1)若腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？

(2)能围成有一边长为7cm的等腰三角形吗？为什么？

解：(1)设底边长xcm,则3x+3x+x=35,x=5,3x=15.，三边长为：15cm,15cm,

5cm.

(2)①若腰长为7cm,则底边长为35—7—7=21(cm),2D7+7,故7cm,7cm,21cm不能组

成三角形.

35—7

②若底边长为7cm,则腰长为p—=14(cm),.•.可以围成一边长为7cm的等腰三角形,

该三角形的三边长为14cm,14cm,7cm.

第2课时三角形的高、中线与角平分线

教学目标

会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在的

直线)交于一点，三角形的三条中线，三条角平分线等都交于一点.

教学重点

了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会画出三角形的高、中线与角平分线.

教学难点

三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别.

一、创设情景，明确目标

你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？让学生动手操作，画一画.在此基础上再提问:

过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？从而引入课题.

二、自主学习，指向目标

1.自学教材第4至5页.

2.学习至此：请完成《学生用书》

三、合作探究，达成目标

探究点一三角形的高

活动一：画出下面三角形的高AD.

A

C

B

(3)

展示点评:三角形的高是什么线？三个图形中的高有什么区别？同一个三角形有几条高？它

们在位置上有什么关系？请分别画出各个三角形的高.

小组讨论：三角形的高的交点位置有何特征？

反思小结：锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形有两条高在边上，钝角三角形有两条

高在三角形外部.任意三角形都有三条高，并且三条高所在的直线相交于一点.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二三角形的中线

活动二：有一块三角形的草地，要把它平均分给四个牧民，且每个牧民所分得的草地都是三

角形，请你探究出几种不同的分法.

展示点评：如何将一个三角形分成两个面积相等的三角形？三角形的中线是什么线？一个三

角形有几条中线？在位置上有什么关系？

小组讨论：三角形的中线所分成的两个三角形的面积有什么关系？

反思小结：三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两个三角形.三角形的三条中线相交

于一点，这一点在三角形的内部，这个点是三角形的重心.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点三三角形的角平分线

活动三：动手画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三个角的平分线.

展示点评：学生分组合作画图，师生共同点评.

小组讨论:三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？一个三角形有几条角平分

线？它们在位置上有什么关系？

反思小结：任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点，我们把这个交点

叫做三角形的内心.三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.本节学习的数学知识是三角形的中线、角平分线、高的概念.

2.本节学习的数学方法是三角形中线、角平分线、高的画法.

五、达标检测，反思目标

1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是aABC的高（D）

2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（B）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

3.如图，在AABC中，Z1=Z2,G为AD的中点，延长BG交AC于E,F为AB上一点，CF

LAD于H,判断下列说法哪些是正确的，哪些是错误的.

①AD是4ABE的角平分线（X）

②BE是4ABD的边AD上的中线（X）

③BE是AABC的边AC上的中线（X）

@CH是4ACD的边AD上的高（J）

4.如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△侬=2,求%的

解：YD、E、F分别是BC、AD、BE的中点，

；.AD是AABC的中线，BE是aABD的中线，AF是aABE的中线.

又2,

♦•SAABE=2SA*BF=4,SAAB0:z=2SaABE_8,..SAABC~2SAAB0~16.

第3课时三角形的稳定性

教学目标

1.了解三角形的稳定性，四边形不具有稳定性.

2.能够用三角形的稳定性解释生活中的现象.

教学重点

了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用.

教学难点

准确使用三角形的稳定性于生产生活之中.

一、创设情景，明确目标

多媒体展示：将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这

时木架的形状还会改变吗？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉

一根木条.为什么要这样做呢？

二、自主学习，指向目标

1.自学教材第6至7页.

2.学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一三角形的稳定性

活动一：见教材P6“探究”部分.

展示点评：1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（不

会）

2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（会）

3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会

改变吗？（不会）

小组讨论：从以上活动中，可以发现三角形和四边形各具有什么特点？

反思小结：三角形是具有稳定性的图形，而四边形等其他多边形不具有稳定性.

针对训练：

1.见《学生用书》相应部分

2.举例说明生活中应用三角形的稳定性的例子.

解：如自行车的三角架，铁索桥等.

探究点二三角形的稳定性的应用

活动二：如图是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了一根木条AE,小明的

做法正确吗？为什么？若不正确应怎样做？

展示点评：小明可以有几种正确的做法？

小组讨论：各种做法的依据是什么？

反思小结：三角形具有稳定性.四边形不具有稳定性，生活中各有用途.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.本节课学习的数学知识：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.

2.本节课学习的数学方法是观察与操作.

五、达标检测，反思目标

1.下列图形中具有稳定性的是（C）

A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形

2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形，这种做法的根据是（D）

A.两点之间线段最短B.矩形的对称性

C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性

3.下列设备，没有利用三角形的稳定性的是（A）

A.活动的四边形衣架B.起重机

C.屋顶三角形钢架D.索道支架

4.要使下列木架稳定至少需要多少根木棍？

四边形木架五边形木架六边形木架

（1根）（2根）（3根）

11.2与三角形有关的角

第1课时三角形的内角（一）

教学目标

1.理解三角形内角和定理及其推论.

2.能灵活运用三角形内角和定理解决有关问题.

教学重点

探索并证明三角形内角和定理.

教学难点

如何添加辅助线证明三角形内角和定理.

一、创设情景，明确目标

多媒体展示：内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不

高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”

老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳

闷.同学们，你们知道其中的道理吗？

二、自主学习，指向目标

学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一三角形的内角和

活动一：见教材P11“探究”.

展示点评：从探究的操作中，你能发现证明的思路吗？图中的直线/与aABC的边BC有什

么关系？你能想出证明"三角形内角和的方法”吗？证明命题的步骤是什么？证明三角形的

内角和定理.

小组讨论：有没有不同的证明方法？

反思小结：证明是由题设出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程.三角形三个

内角的和等于180°.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二三角形内角和定理的应用

活动二：见教材P12例1

展示点评：题中所求的角是哪个三角形的一个内角？你能想出几种解法？

小组讨论：三角形的内角和在解题时，如何灵活应用？

反思小结：当三角形中已知两角的度数时，可直接用三角形内角和定理求第三个内角；当三

角形中未直接给出两内角的度数时，可根据它们之间的关系列方程解决.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.本节学习的数学知识是：三角形的内角和是180°.

2.三角形内角和定理的证明思路是什么？

3.数学思想是转化、数形结合.

五、达标检测，反思目标

1.在直角△ABC中，NBAC=90°,AD是高，找出图中相等的角.

A

解：N1与NC,N2与NB相等.

2.在△ABC中，NA=80°,NABC和NACB的平分线相交于点0.

(1)求NB0C的度数.

(2)将NA换个度数，那(1)求出是多少？你能体会/A和/B0C有什么关系吗？

解：(1)因为NA=80°,所以NACB+NABC=180°-ZA=100°.

因为/ABC和/ACB的平分线相交于点0,所以/1+/2=50°,

所以NB0C=180°-50°=130°.

(2)由题意知(180。-ZA)=90°-g/A,则NB0C=180。-(90°-1zA)=90°

+；NA.

3.如图，在aABC中，AD,AE分别是高和角平分线，若NB=40°,/C=60°,求

ZEAD的度数.

解：在aABC中，NBAC=180°—NB-NC=180°-40°-60°=80°.

因为AE是NBAC的平分线，

所以NEAC=NBAE=40°.

因为AD是边BC上的高，所以NADC=90°,所以NCAD=90°-ZC=30°.

所以NEAD=NEAC—NCAD=40°-30°=10°.

第2课时三角形的内角(二)

教学目标

1.掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质和判定.

2.能运用直角三角形的性质和判定解决实际问题.

教学重点

理解直角三角形的性质和判定.

教学难点

运用直角三角形的性质和判定.

一、创设情景，明确目标

1.三角形的内角和是多少度？（180°）

2.直角三角形的内角和是多少度？（180。）它的两个锐角有什么特殊关系吗？一一引入新课

・自主学习指向目标

1.自学教材P材-14.

2.学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一直角三角形的内角

活动一：已知，在aABC中，ZB=90°,那么/A+NC是多少？

展示点评：：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°,且NB=90°,

.,.ZA+ZC=90°.

由此得出：直角三角形的两锐角互余.

2.直角三角形的表示方法：

为了书写方便，直角三角形可以用符号来表示.

活动二：见教材P14例3

展示点评：如图，/CAE与NDBE分别在哪两个三角形中？（Rt^CAE和

m△DBE）与这两个角互余的分别是哪两个角？（/AEC和/BED）因此能得出

NCAE与NDBE有什么关系？（相等）依据是什么？（等角的余角相等）解题过程见教材P14.

变式：如上图，若AD平分/CAB,BC平分/ABD,请求出/CAD的度数.

解：；AD平分NCAB,BC平分NABD,

NCAD=ZBAD=jzCAB,

ZABC=ZDBC=|ZDBA.

又•.•NCAD=NDBC,

.../CAD=NDAB=/ABC.

在RtZ\ABC中，ZCAB+ZABC=90°,

，/CAD=30°.

小组讨论1：在直角三角形中两锐角互余在解题方面有哪些运用？

反思小结：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以根据直角三角形的两锐角互余求出

另一个锐角的度数，若已知两锐角的关系，也可以借助方程求出它们的度数.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二判定直角三角形的方法

活动三：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形

吗？请说明理由.

展示点评：是.因为在AABC中，ZA+ZC=90°,所以NB=180°-（ZA+ZC）=90°.

所以AABC是直角三角形.

小组讨论：请用文字语言表述直角三角形新的判定方法？

【反思归纳】有两个角互余的三角形是直角三角形.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.直角三角形的内角有什么关系？

答：直角三角形的两个锐角互余.

2.目前已学的直角三角形的判定方法.

答：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）两边互相垂直的三角形是直角三角形；

（3）有两个角互余的三角形是直角三角形.

五、达标检测，反思目标

1.如图，DF1AB,NA=40°,ND=43°,则/ACD的度数是87°.

2.如图，ZA=32°,ZADC=110°,NB=52°,则△BEC是直角三角形.

3.在4ABC中，三个内角NA,ZB,ZC满足/B-/A=/C—/B,NA=30。，则NB=

600,AABC是—直鱼—三角形.

4.如图，一副直角三角板，拼成如图所示的图形，其中/C=90°,ZB=45°,ZE=30°,

则/BFD的度数是（A）

A.15°B.25°C.30°D.10°

5.如图，在4ABC中，ZACB=90°,沿CD折叠aCBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若

ZA=22°,贝UNBDC等于(C)

A.44°B.60°C.67°D.77°

6.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA=a,将AABC绕点C按顺时针方向旋转后得

到aEDC,此时点D在AB边上，ZCDB=ZB,求旋转角/BCD的大小.

N4=a,

・・・NB=90°-a,

1/CDB=NB=9G-a,

・・・/BCD=18(T-NB-NCDB=2a,

即旋转角的大小为2a.

第3课时三角形的外角

教学目标

掌握三角形的外角的两个性质，能利用三角形的外角的性质解决实际问题.

教学重点

三角形外角的性质，外角和定理.

教学难点

三角形外角的定义及定理的推理过程.

一、创设情景，明确目标

1.三角形三个内角的和等于多少度？

2.在△ABC中,

(l)NC=90°,NA=30°,则/B=60°；

(2)ZA=50°,ZB=ZC,则NB=_^2__.

3.如图，在AABC中，CD是BC边的延长线，/A=60°,/B=55°.

(1)求NACD的度数.(115°)

(2)/ACD与/A,/B有什么大小关系？

(ZACD=ZA+ZB)

二、自主学习，指向目标

学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一三角形的外角及相关结论

活动一：阅读教材P14—15.

思考：三角形的外角是如何定义的？一个三角形有几个外角？

展示点评：学生独立写出证明过程，并说明证明的依据是：三角形内角和定理.

小组讨论:三角形的一个外角与它相邻的内角有什么关系？与它不相邻的两个内角有什么关

系？

反思小结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它

不相邻的任何一个内角.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二三角形外角结论的运用

活动二：见教材P15例4

展示点评：一个三角形有几个外角，每个顶点处的外角是什么关系？三角形的外角和是多

少？如何证明你的结论.

小组讨论：你有几种不同的证法？

反思小结：三角形每个顶点处有两个外角，是对顶角.我们只研究其中的一个，三个外角的

和是360°.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

三角形外角的定义，三角形外角的性质.

五、达标检测，反思目标

1.判断题：

(1)三角形的外角和是指三角形所有外角的和.(X)

(2)三角形的外角和等于它内角和的2倍.3

(3)三角形的一个外角等于两个内角的和.(X)

(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(J)

(5)三角形的一个外角大于任何一个内角.(X)

(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.(J)

2.填空:

⑴如图.

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+/F=360°.

(2)五角星的五个角的和是180°.

4.如图，AD是AABC中/BAC的平分线，AE是aABC的外角的平分线，交BC的延长线于点

E,且NBAD=20°，ZE=50°,求NACD的度数.

解：；AD平分NBAC,ZBAD=20°,AZBAC=2ZBAD=40°,

.".ZCAF=180°-ZBAC=140".

：AE平分NCAF,

.•.NCAE=：NCAF=70°,AZACD=ZE+ZCAE=120°.

11.3多边形及其内角和

第1课时多边形

教学目标

1.了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.

2.了解凸(凹)多边形的区别.

教学重点

了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念.

教学难点

多边形的对角线的条数及其规律的探索.

一、创设情景，明确目标

多媒体投影一组图片，让同学们从中抽象出平面图形，从而引出课题.

二、自主学习，指向目标

学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一多边形的定义及有关概念

活动一：阅读教材P19.

展示点评：多边形是怎么组成的？常见的多边形有哪些？边数最少的多边形是几边形？什么

是多边形的边、内角、外角？

小组讨论：结合具体图形说出多边形的边、内角、外角？

反思小结：多边形的定义及相关概念.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二多边形的对角线

活动二：(1)十边形的对角线有一—条.

(2)如果经过多边形的一个顶点有36条对角线，这个多边形是39边形.

展示点评：结合图形说明什么是多边形的对角线？三角形是否有对角线？从五边形的一个顶

点出发可以引几条对角线？五边形有几条对角线？从n边形的一个顶点出发可以引几条对

角线？n边形有多少条对角线？表达式中的(n—3)是什么意思？为什么要除以2?

反思小结：当n已知时，可以直接代入公式求得对角线的条数，当对角线条数已知时，可以

化为方程来求多边形的边数.

小组讨论：如何灵活运用多边形对角线条数的规律解题？

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点三正多边形的有关概念

活动二：阅读教材P20.

展示点评：画图说明什么是凸多边形和凹多边形？正多边形有哪些特点？边数最少的正多边

形是什么？

小组讨论：判断一个多边形是否是正多边形的条件？

反思小结：由正多边形的概念知：满足各边、各角分别相等的多边形是正多边形.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

本节学习的数学知识是：

1.多边形、多边形的外角，多边形的对角线.

2.凸（凹）多边形的概念.

五、达标检测，反思目标

1.下列叙述正确的是（D）

A.每条边都相等的多边形是正多边形

B.如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定

是凸多边形

C.每个角都相等的多边形叫正多边形

D.每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形

2.小学学过的下列图形不可能是正多边形的是（D）

A.三角形B.正方形C.四边形D.梯形

3.多边形的内角是指多边形相邻两边组成的角；

多边形的外角是指多边形的边与它的邻边的延长线组成的角；

多边形的内角和它相邻的外角是邻补角关系.

4.已知一个四边形的四个内角的比为1：2：3：4,求这个四边形的各个内角的度数.

解：设各内角分别为x°、2x°、3x°、4x°,则x+2x+3x+4x=360,

.••x=36,...这个四边形的各个内角的度数分别是36°,72°,108°,144°.

5.一个十二边形共有多少条对角线？

（n3）

解：设这个十边形有n条对角线.当n=12时，°7-54,

一个十二边形共有54条对角线.

6.有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家

庭的每个成员握一次手.若参加会议的人数为15,则一共要握手多少次？

15X(15—3)

解:~2=90.

一共需要握手90次.

第2课时多边形的内角和

教学目标

1.掌握多边形内角和公式及外角和.

2.能把多边形问题转化为三角形问题，体现了转化的数学思想，让学生体会从特殊到一般

的认识问题的方法.

教学重点

探索并证明多边形内角和公式与外角和.

教学难点

探索多边形内角和时，将多边形问题转化为三角形问题来解决.

一、创设情景，明确目标

问题：1.三角形的内角和是18和；正方形的内角和是36go；一般四边形的内角和是多少

呢？{360')

2.五边形的内角和呢？(546)

3.n边形的内角和是多少呢？[180°(n—2)]

二、自主学习，指向目标

学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探窕，达成目标

探究点一多边形的内角和

活动一：探究教材P21“思考”.

展示点评：

分成三

从一个顶点出发

边数角形的内角和外角和

对角线的条数

个数

412360°360°

523540°360°

634720°360°

745900°360°

Dn—3n-2180°(n-2)360°

小组讨论：把一个多边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？都可以推导出多边形的内角

和公式吗？

反思小结：n边形的内角和等于(n-2)•180°.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二多边形的外角和

活动二：见教材P22例1(答案见教材)

展示点评:任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的6个外角加上与它们相邻

的内角，所得总和是多少？上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？你能归纳出多

边形外角和的求法吗？

小组讨论：多边形的外角和与这个多边形的边数之间有数量关系吗？

反思小结：多边形的外角和等于360°.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.本节课学习的数学知识是：多边形的内角和公式及外角和.

2.数学思想：转化、数形结合.

五、达标检测，反思目标

1.填空：

⑴十二边形的内角和是1800°-

(2)一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加18&,它的外角和增加0°

(3)一个多边形的内角和是720°,则此多边形有——个内角.

(4)如果一个多边形的内角和是1440°,那么这是十边形.

2.如图：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=36(T.

3.下列角度不是多边形的内角和的是(A)

A.600°B.720°C.900°D.1080°

4.科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那

么该机器人所走的总路程为(A)

机器人必■点处|

|向前走In：向左转30。|

A.12mB.13mC.14mD.不能确定

5.看图答题:

’这个多边形的内角'

和等于11250吗？

不对，你少学

了一个角.

问题：（D他们在求几边形的内角和？

（2）少加的那个角为多少度？

解：（1）1125+180=6....45,

所求多边形的边数为6+2+1=9.

⑵少加的那个角是180°-45°=135°.

第十二章全等三角形

一、课标要求

(1)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三

角形的性质。

(2)经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实(“边边边”“边角边”

和“角边角”)和定理(“角角边”)，能判定两个三角形全等。

(3)能利用三角形全等证明一些结论。

(4)探索并证明角平分线的性质定理，能运用角平分线的性质。

二、教材分析

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。对

全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相

似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借助全等三角形进一步培

养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式

以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素

相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。

全等形在几何中处处可见，为了避免学生将全等的概念局限于全等三角形，本章从现实世界

中各种各样的全等图形谈起。接着，教科书从“重合”的角度定义了全等形和全等三角形的

概念，这种定义方式有利于学生借助生活经验直观地认识所定义的对象，也便于引出全等形

的对应部分。

性质与判定是研究全等三角形的两个重要方面。教科书由全等三角形的定义直接导出全等三

角形的性质。在研究全等三角形的判定方法时，由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关

系出发，引出由三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。接下来，教

科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动一一首先提出探究的问题：由全等三角形

的定义可知，满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，那么能否减少条件，

简捷地判定两个三角形全等呢？然后从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，分别探究

“一个条件”“两个条件"''三个条件”……能否保证两个三角形全等。对于“三个条件”的

情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况依次进行

了探究。同时，根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式，有的让学生通过

作图实验，猜想结论，再以基本事实的形式给出判定方法，有的让学生通过举反例说明判定

方法不成立，有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形

全等的特殊方法。

由于角的平分线的性质可以用全等三角形的知识证明，本章的最后一节安排了角的平分线的

性质的内容。首先，由平分角的仪器的工作原理引出了一个角的平分线的尺规作图，然后探

究并证明了角的平分线的性质，同时总结了证明一个几何命题的一般步骤，最后给出了角的

平分线的性质定理的逆定理。

本章重点研究了三角形全等的判定方法，并在其中渗透了研究几何图形的基本问题和方法。

在推理论证方面，本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题，又

有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题，在问题的设计中还融入了平行线

的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容，推理论证的难

度比《三角形》一章提高了。为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度，本

章设置了多道例题做出示范，包括怎样分析条件与结论的关系，怎样书写证明格式，还总结

了证明几何命题的一般步骤。

三、教学建议

1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学

学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的

基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图

形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。例如，在教授本章之前，可以先让学生根据研

究几何图形的经验，思考全等三角形的主要研究内容是什么。学生明确了性质和判定也是研

究全等三角形的两个重要方面，不仅可以对将学习的内容做到心中有数，而且可以帮助他们

从数学内部认识研究全等的目的。又如，在学全等三角形的性质之前，可以提示学生：三角

形的性质描述的是三角形的边和角所具有的共同特征，那么全等三角形的性质研究的是什么

内容。而在学生学习三角形全等的判定方法之前，可以先让他们回忆图形的判定讨论的是确

定某种图形的条件，从而明确研究全等三角形的判定就是要确定能保证两个三角形全等的条

件，再让他们利用性质和判定在命题陈述上的互逆关系，得到用边、角的相等关系判定两个

三角形全等的方法。再如，活动2中学生独立研究筝形的性质时，要先让他们回顾研究几何

图形的基本思路和方法。

2.让学生充分经历探究过程

本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的

思路和分阶段的探究活动。教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形

成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件。特别是判定三角形全等的‘'边

边边”“边角边”“角边角”方法是以基本事实的方式给出来的，不需要证明来确认其正确性,

判定直角三角形全等的“斜边、直角边”方法在本章中，也暂时没给出证明，教学中要让学

生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的边、角条件与两个三角形全等

之间的关系，在充分探索的基础上感受结论的合理性。

本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三

角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形。教学中要充分利用探索画图方法的过程

对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动

中发现结论。

3.重视对学生推理论证能力的培养

本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，和通过证明

三角形全等，证明两条线段或两个角相等。教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利

用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力。按照整套教科书对推理能力培养的

循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式,

对于以文字形式给出的儿何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤。教学中可以

以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结论的思路，由教师示范证明的格式，再

逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程。同时要注意根据内容及时地安排相应的训练,

让学生切实提高推理论证能力。

12.1全等三角形

教学目标

1.了解全等三角形的概念及表示方法.

2.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质.

教学重点

全等三角形的概念及性质.

教学难点

全等三角形对应元素的确定.

一、创设情景，明确目标

多媒体展示一组图片，让学生观察每组图片的形状、大小是否相同？从而引入新课.

二、自主学习，指向目标

学习至此：请完成《学生用书》相应部分.

三、合作探究，达成目标

探究点一全等形及全等三角形的概念和表示方法

活动一：什么是全等形？什么是全等三角形？判断两个图形是否是全等形，可以通过什么方

法？如何寻找对应边和对应角？如何表示全等三角形？

展示点评：(DaABC丝4DEF其中：互相重合的顶点叫对应点;互相重合的边叫对应边;互

相重合的角叫对应角.

(2)两个三角形的关系：AAOB丝△COD

对应顶点：/和C,8和〃。和0；

对应边：AB与CD,OAWOC,OB与OD；

对应角：4和/C,/夕和/〃NAOB和NDOC。

(3)两个三角形的关系：^ABD丝4ABC

D

AD的对应边是AC；

AB的对应边是AB-,

ZDAB的对应角是445；

NCBA的对应角是上幽.

小组讨论：寻找全等三角形的对应边，对应角有什么规律？

反思小结：全等三角形是一种特殊的全等形.全等三角形对应角所对的边是对应边，两对对

应角所夹的边是对应边；反之亦然.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点二全等三角形的性质

活动二：完成教材P32“思考”.

展示点评：说说你是如何找到它们之间的关系的？

小组讨论：举例说明全等三角形的对应边、对应角之间各有什么数量关系？

反思小结：全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等.

针对训练：见《学生用书》相应部分

探究点三全等三角形的性质的运用

活动三：己知△ABCgZXDEF,ADEF的周长为32cm,DE=9cm,EF=12cm,求△ABC各边

的长.

展示点评：引导学生画图说明.

小组讨论：根据已知条件知4DEF的各边长，那么如何转化为△ABC各边的长呢？解答此题

的关键是什么？

反思小结：运用三角形全等的性质可以解决求线段长度，角度大小及面积问题.

针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1.本节课学习的数学知识是全等三角形的概念及性质；

2.本节课学习的数学方法是全等变换即平移、旋转、翻折.

五、达标检测，反思目标

1.如图，若△OADgaOBC,且/0=65°,ZC=2O0,则/OAD=95.

E

BA

E

DC

第1题图第2题图

2.如图，若^ABC丝ZXAEF,AB=AE,ZB=ZE,

①AC=AF,②NFAB=/EAB,③EF=BC,④/FAC=/EAB.

其中正确结论的个数是(C)

A.1B.2C.3D.4

3.如图，已知AABE岭aACD,且Nl=/2,NB=NC.请指出其余的对应边和对应角.

解：对应角：/BAE与NCAD.

对应边：AD与AB,AB马AC,BE甘CD.

4.如图，已知aABC丝4FED,求证：AB/7EF.

证明：:△ABC04FED,

•••/4=NtF(全等三角形的对应角相等)，

：.AB//EF.

5.如图，若aABC会△A3G,且NA=110°,ZB=40°,则NQ的度数是30°.

6.如图，Z\ABC名△DEF,且B,E,C,F四点在一条直线上.

(1)写出它们的对应边和对应角.

(2)求证：AB〃DE.

(I)解：对应边：AB与DE,AC与DF,BC与EF；对应角：NA与ND,NB与NDEF,

N4CS与NE

(2证明：:△ABMADEF,:.NB=NDEF,：.AB//DE.

12.2三角形全等的判定（第1课时）

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS）­及利用全等三角形的判定进行

证明.

教学目标

1.知识与技能

了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等.

2.过程与方法

经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题.

3.情感、态度与价值观

培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.

重点与难点

重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.

难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法.

教具准备

一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规.

图1图2

教学方法

采用“操作一实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象.

教学过程

一、设疑求解，操作感知

【教师活动】（出示教具）

问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残

片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.

【学生活动】观察，思考，回答教师的问题.方法如下：可以将图V的玻璃碎片放

在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,♦剪下模板

就可去割玻璃了.

【理论认知】

如果AABC2ABe',那么它们的对应边相等，对应角相等.•反之，如果AABC

与AABC满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A,B,,BC=B,C,,CA=C'A',

NA=NA',NB=NB',NC=/C'.这六个条件,就能保证AABCXA'B'C',从刚才的实践我

们可以发现：•只要两个三角形三条边对应相等，就可以保证这两个三角形全等.

【作图验证】（用直尺和圆规）

先任意画出一个AABC,再画一个AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把

画出的AABC，剪下来，放在&ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）

【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证.（如教材图12.2-2所示）

画一个AA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.

1.画线段取BV=BC;

2.分别以B；C'为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧交于点A'；

3.连接线段A'B，、A'C'.

【教师活动】巡视、指导，引入课题r上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什

么规律？”

【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.

（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.

（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.

【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论一

边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验.

二、范例点击，应用所学

【例1】如教材图12.2-3所示，&ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与

BC的中点D的支架，求证AABDMAACD.（教师板书）

【教师活动】分析例1,要证明AABD*ACD,可看这两个三角形的三条边是否对

应相等.

证明：；D是BC的中点，

BD

..BD=CD.

在AABD和AACD中，

「AB=AC,

<AD=AD,

，BD=CD,

.“ABD•ACD（SSS）.

【评析】符号…'表示"因为表示“所以"；从例1可以看出,•证明是由题设（已

知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程.书写中注意对应顶

点要写在对应位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写.

三、实践应用，合作学习

【问题思考】

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B