高中数学讲义微78 定值问题

微专题78圆锥曲线中的定值问题

一、基础知识：

所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化,

但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。

1、常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否

得到一个常数。

2、定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而

给后面一般情况的处理提供一个方向。

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算

二、典型例题：

4

例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y=右焦点尸（5,（））,

双曲线的实轴为44，P为双曲线上一点（不同于A，4），直线分别于直线

9

=g交于M,N两点

（1）求双曲线的方程

（2）试判断丽.•成是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由

解：（1）由尸（5,0）可得c=5,且焦点在x轴上

22

所以设双曲线方程为：x=y=则渐近线方程为y=±—bx

cTa

b4.L,[a=3

-由49+/?~=。02=25解得：＜

a3[Z?=4

22

•••双曲线方程为L-匕=1

916

(2)由(1)可得:4(-3,0),4(3,0),设p(%%)

y=：(x+3)

设AP:y=%(x+3),联立方程(9解得：Mf924

I5

y=A"x-3)

f96

同理：设&P:y=&（x-3）,联立方程＜可得：N二,一^22

x=—9

I5

...丽.丽=变」44快

2525

下面考虑计算&上的值

•.,优，%）在双曲线上需T=lny：=萼—16卷（片一9）

'■25614416

.­.FM-FN=--------

25259

所以而7•所为定值

22n（n:\

例2：已知椭圆J+二=1（。＞。＞0）的离心率为火，且过点V2,—

ah"22

（1）求椭圆方程

（2）设不过原点。的直线/：丁=辰+m（左HO）,与该椭圆交于P,。两点，直线OP,。。的

斜率依次为且满足4Z=K+%2,试问：当左变化时，祖2是否为定值？若是，求出此

定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由

解：（1）由e=£=——可得：a:b:c=2:l:g

a2

22r壶、

椭圆方程为J+A=i代入V2,—可得:

4b2b22

2

1•闺=1解得：b=la=2

x".

，椭圆方程为上+丁=1

4-

（2）设尸）,0（孙必），联立方程可得:

y=kx+m

消去y可得:/+4（京+m）2=4,整理可得:

x2+4y2=4

（4左2+l）x2+Skmx+4nr-4=0

,y,kx,+m,m,v,kx,+m,m

依题意可知：k、="=」——=｝（+—/=4=———=k+—

再X|xtx2x2x2

11

4k-kt+k2=>4Z-2k+m——l---

lx%2

即2人=机•上也①

玉工2

由方程（4左2+1）/+4加2-4=0可得:

Skm4m2-4

x.+x----z---,xx,=——；---

12'4二+1।-4父+1

代入①可得：

8km

2k=m-"'I,整理可得：2k=一一学一=/_]=_加2

4m-44"-4

4k2+1

m2--

2

.•・可知，"为定值，与女的取值无关

e=¥，动点/（2,。«>0）

（1）求椭圆标准方程

（2）设尸为椭圆的右焦点，过尸作OM的垂线与以为直径的圆交于点N,求证：ON

的长为定值，并求出这个定值

解：(1)由6=——可得：a:b:c=y/2:1:l

2

22r/T.\

•••椭圆方程可转化为：金+方=1，将Py-'i代入椭圆方程可得:

(2)由(1)可得：F(1,0)=

思路一：通过圆的性质可得ONLMN,而NFLOM(设垂足为K),由双垂直可想到射

影定理，从而|ON「=|OKH(9M|,即可判定|ON|为定值

2

FN:y=一一(x-1),设OM与FN相交于K

\OM\="+"

•.•Q0为圆的直径：.ONLMN-.-NKA-OM

由射影定理可得:

\ON^\OK\-\OM\=2

：.\ON\=yf2

思路二：本题也可从坐标入手，设'(后,%)，则只需证明|ON「=*+尤为定值即可，通

过条件寻找%,为关系，一方面：FNA_OM=>FNOM=0,可得2%+%=2；另一方

2

/t\f2

面由N点在圆上可求出圆的方程(X-1F+y——=—+1从而

\2)4

产

--F1,展开后即可得到汇+yj为定值

4

解：设N（毛,%），则丽=（%一1,%）,丽=（2,r）

：.FN-OM^2（x0-1）+y0t=Q

/.2x0+卬=2

yjt2+4

OM的中点坐标为,|皿=J/+4r=---------

2

2a

=+1

.•.以0M为直径的圆方程为：（x—l）2+y——l7

V2

、2

代入NG。,%）,可得：（/-以+%-：1

7r

2，c,rt2.

二%+%_2x（）+1-％+a=I+]

=芯+巾=2X（,+%=2

x；+y；=2即|ON「=2

:.\ON\=y/2

220

例4：已知椭圆C:亲■+专■=l（a〉b>0）的离心率为半焦距为c（c>0）,且a—c=l,

经过椭圆的左焦点尸，斜率为匕（匕。0）的直线与椭圆交于A8两点，。为坐标原点

（1）求椭圆C的方程

（2）设R（l,0）,延长AH,3R分别与椭圆交于C,。两点，直线CQ的斜率为及，求证：—

&2

为定值

c2

解：（1）e=_=_,设c=2k,a=3k

a3

由。一c=1可得：3k—2k=\=k=\

6/=3,c=2

.・.b2=a2-c2=5

x2y2

/.C:一+—1

95

⑵由⑴可得产（一2,0）,设4（%|,芦）,5（々,必），。（工3，%），。（％4，”）

可得：AR:y=-^—（x-1）=x=[],y+1

-x,-1

.X.—1,

x=———y+1

y5—X,2x.—1

.•.联立方程4n——y_4=o

22

y

-X-n+------1

I95

3■-y3=^-

'''

5—XjX）—5x,-5

X,{5x,—95x「9,4/

^3=--为+[=—^..C

y玉一5、%—5%-5,

"5X-94%、

同理，直线以与椭圆交点。的坐标为o2

、

%2—5%2—57

4y4%

七一%一％—5%—5_4）1（%—5）-4%（内—5）

七一55七-9_5々-9（5芭_9）（々一5）—（5/-9）（芭—5）

%1—5%—5

4y|（马一5）-4y2（X-5）=一%占+5（%一必）

16（X2-X|）4（X2-xj

M=匕（芭+2）

设A3:y=K（x+2）代入可得:

%=&（x,+2）

=匕（4+2）9一人（々+2）龙|+5（%一%）=2kl色-X］）+5（%—%）

4（%一演）4（々一为）

5y2一M1,57

+--—~~—=-k1,+-k,1=-k1,

4x2-X1244

k2_7

1—1

小炼有话说：本题中注意X/一丁2尤1的变形：可通过直线方程用玉,々表示必，必，代入后

即可得到关于玉+々，玉工2的表达式

22

例5：已知椭圆。：］+/=1（4＞。＞0）的右焦点为尸（1,0）,且点尸在椭圆c

上，。为坐标原点

（1）求椭圆。的标准方程

x2y24

（2）过椭圆G:=+上==1上异于其顶点的任一点。，作圆。：/+＞2=5的切线，切

3

点分别为M,NCM,N不在坐标轴上）,若直线MN的横纵截距分别为，求证：」V+士

2

3加n

为定值

解：（1）依尸（1,0）可知c=l椭圆方程为，+黄工=1代入尸6,乎］解得：

矿=4b~=a"—c~=3

椭圆方程为三+二=1

43

r23V2

（2）思路：由（1）可得：G：］■+二j=l，可设。（%，%），由题意可知MN为过。作

444

圆切线所产生的切点弦，所以MN:xox+yQy=—,从而可得〃z=----,n=-----,所以

33x03yo

二3+l=+3y；），由椭圆方程可得X；+3y；=4,从而不二+J=得=］为定

3mn~48/3mn~124

值

222a2

解：由（1）可得：C,I----1—"=1=>----1—-——1

1

4Q544

3

设0（%,%）可知MN是过。作圆切线所产生的切点弦

设M（X1,y）,N（9,必），由",N是切点可得：OM工MQ,ON：LNQ

1_玉

,k

…“M0

k（）M必

，加。：y一%=」（%-%）,代入%一为=-

即xtx0+M%=无；+>；,同理可知对于NQ,有x2x0+y2y0=x1+

因为M,N在圆O:/+y2=3上

-_4r_4

%2+为2=—玉玉）+M%=-4

44M,N为直线/彳+丫/=一上的点

%；+¥=]X2X0+>2%=~

因为两点唯一确定一条直线

4x:y

MN:x（}x+yny——，即）----r-+7—r--1

3F『

（3%）{3y0J

…44

由截距式可知加=，n=

3%3%

'Jr+±=;•也*：+白丁；=+3常）

3mn3161648'7

・・・Q在椭圆G上

•••X；+3y；=4

，-U+-l=2（x；+3y；）=3即」v+4为定值

3m2n248V,43m2n2

小炼有话说：

(1)本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后片+3%=4的特点整体消去小,%所得，

所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。

(2)本题求直线MN方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”

的特点，从而确定直线方程

注：切点弦方程：过圆夕I'一点。作圆：/+V=/的切线，切点为A,B,则切点弦AB的方

2

程为：xox+yoy=r

例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C:工+2-=1,设为椭圆上任意一

点。过原点作圆R:(x—%)2+(y—%)2=8的两条切线，分别交椭圆于P,Q

(1)若直线OP,0Q相互垂直，求0R的方程

(2)若直线OP,OQ斜率存在，并记为勺,修，求证：仁就2是一个定值

(3)试问|OP『+|OQ『是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由

解：(1)由OR:(x—Xo『+(y—%)2=8可得r=2及

-,•OPVOQ:.\OR\=y/2r=4,即x；+y；=16

片

区

1。2

+七%%=

1

或

或<

<

联立方程：，242V2夜

片12

2为

61%%-

+%V/,V

.•.OR的方程为：

(x+20『+(y+20)2=8或(尤+2血『+(>—2血y=8或

1_2码2+b+2行『=8或1_20『+卜-20『=8

(2)思路：可设直线OP:y=Kx,OQ:y=&x，均与圆相切，可得4=与二虱(其中

i=1,2)化简可得：(X；—8)代一2玉)％仁+y：—8=0,可发现人&均满足此方程，从而仁,k2

为(片一8袂2一2%"+北一8=0的两根。则秘，=鸣二号，再利用椭圆方程消元即可得到

一痛-8

定值

解：设OP:y=ktx,OQ:y-k2x

•：OP与OR相切

-d-g'。—）M-r-2J?

••aR-op-i-，,-r-2.-42.

n（4xo—%）2=8（l+6）

化简可得：（片一8）仔一2X0%K+乂-8=0

对于OQ:y=&x，同理可得：（只一8）代一2七为女2+$-8=0

:.kpk?为（x；—8）攵2-左+N；-8=0的两根

22

.kk-—8•.•2+九=1.•.其=24-2W

1282412

N；-8

.,.kk

}224-2^-8~2

（3）思路：设。（百/）,0（%,%），呼+|OQ『=x；+y；+¥+£,由第⑵问所得

结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将P,Q坐标分别用匕进行表示，再判断

|OP「+|OQ『是否为定值

解：当P,Q不在坐标轴上时，设P（x“J,。（天，必）

P：'x22=＞x2+2k?x2=24

一+乂v=1

【2412

224224M

12#+1力2&：+i

242_2%

同理可得：x；2k[+l，y，2.2、+1

24+2%+24+24M_240+将）+240+用

2k；+1+2k：+i+2k[+l+2抬+1-26+1+2r+1

36+72%；

=24-------z--------=Jo

2k；+1

若P,Q在坐标轴上（不妨设P在x轴）上，则尸（2指,0）,。（0,26）

:.\OPf+\OQ\"=36

综上所述，|OP『+|OQ「为定值36

例7：已知椭圆。：二+斗=1（〃＞。＞0）,称圆心在原点，半径为必存的圆为椭圆C的

ab

“准圆”，若椭圆C的一个焦点为尸（夜,0）,其短轴上的一个端点到F的距离为石

（1）求椭圆C的方程及其“准圆”方程

（2）点P是椭圆。的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线4,4交“准圆”于点M,N

①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线4,4的方程并证明4，4

②求证：线段MN的长为定值

解：（1）依题意可得：c=五,a-y/3

2_________

/.b2=a2-c2=\—+/=1r='Ja2+b2=2

3

QO:x2+y2=4

（2）①由（1）可得?（0,2）,设切线方程为：y^kx+2

（2

X2一1

联立方程：JT+＞，=消去y可得：Y+3（丘+2）2=3

y=依+2

整理可得：（3公+1）/+[2丘+9=0

A=144左2_36（3左2+1）=0n36k2-36=0

解得：左=±1

所以PM:y=九+2,PN:y=—尤+2

・,.PM1PN

PMxx

②设P5,%）-y-yo=^（-o）

y—=匕（x-.l,、-12

则｛,2，消去y可得：x2+3[K（x-Xo）+yo]-=3

x2+3y=3

整理可得：（3后；+1）/_（64"（）_6仁％卜+3左：尤；-6kyyoxo+3y：-3=0

A=36（6与-&yo『一4（36+1）（3%餐-6匕＞0%0+3y；-3）=0

整理后可得：（3_君）6+2/%匕+1_尤=0

同理，对于设切线PN的斜率为％2,则有：

（3-%）抬+2%0%为+1-y；—o

・•.女#2=上当在“准圆”上

3—X。

.'.X；+y（；-4y；—1—3一不；.'.k、k、———1

所以PMJ,PNMN为“准圆”的直径

为定值，|仞N|=4

已知点尸［1,—g%2y2

例8：在椭圆C:彳+=1（a>6>0）上，椭圆C的左焦点为（—1,0）

Q~

（1）求椭圆C的方程

（2）直线/过点T（m,o）（〃2>（））交椭圆。于M,N两点,

A3是椭圆C经过原点。的弦，且MN〃AB,问是否存在正

数用,使嚅为定值？若存在，请求出机的值；若不存

在，请说明理由。

解：（1）由左焦点（一1,0）可得C=l,由廿=/—。2=廿=/一1

.•.C：=+<—=1,代入尸（1,一3]可得：二+2.一一=1解得：a=2

a2a2-l[1）a24a2-I

（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量加，直线的另一核心要素为斜

军k（假设人存在），通过犒।•可联想到弦长公式，所以分别将直线的V,AB的方程与椭圆

|AB|2|AB|2

方程联立，进而^——1为关于7%人的表达式，若^——I为常数，则意味着与％的取值无关,

\MN\\MN\

进而确定”的值

设直线/：丁=履+加，/（不凶）川（％2，%），联立方程:

’22

工21=]

<43=>(3+4公b2_8423+4公._12=0

y=kx+m

2

Skm4/m2_i2

z------z------------

X,1+x,2=―2,X,X,-------

4k+34&2+3

I------Jl+k"•J16[(12-3加2伙2+9

|MN|=Jl+%2k-司=--------

-4r+3

三+匕=1I?

设4（七,%），3（%4，”）,贝叶43=>f=鼻Q

{48(4〃+3)

|AB|=\Jl+k2|x—x|=Jl+k°,

34―4r+3-

1

•住I:*

A时I——T11+k2

/.~~L=48V1+k1■=12-

MN心[(12-3也&2+9](12-3加2*+9

所以若当L是个常数，

\MN\

.•.（12—3加2伙2+9也为4（］+公）的形式，即12—3m2=9=>加=1

此时陷7=4,当直线斜率不存在时，可得陷r=4符合题意

\MN\|MN|

：.m-\

小炼有话说：本题在判断加的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项

含女的表达式:

112I।若回

M_12l的值

\MN\(12-3/伙2+12-3加2+3疗一3

y1+k2

与攵无关，则3m2-3=0=>m=1

例9：如图，已知椭圆。：鸟+/=1（。＞。＞0）的离心率为孝，以椭圆C的左顶点T为

圆心作圆T:（^+2）2+/=r2（r＞0）,设圆T与椭圆C交于点M,N

（1）求椭圆C的方程；

（2）求而河的最小值，并求此时圆T的方程

（3）设点尸是椭圆C上异于的任意一点，且直线MRNP分别与x轴交于点R,S,0

为坐标原点，求证：|QR”QS|为定值.

解（1）圆T的圆心7（—2,0）

-^-a=V5b1=a2—c2—\

椭圆方程为：—+y2=\

4-

（2）由圆与椭圆关于x轴对称可得：关于x轴对称

2

设M（Xo，%）,则N（Xo,一%），且有年+%=1

由T(一2,0)可得：TM=(x0+2,y°)而=(x0+2,-y0)

2

丽而=(x0+2)2-y：=(x°+2)2+才—1

52.°5(8丫1

二—玉+4%|+3=-XjH——

44、5,5

因为M在椭圆上(非长轴顶点)-2<x0<2

.”0=—2时，[TM-TN]=一，将与=一代入可得必=一

V

5/min555

g|JA1|代入到圆方程可得：产=12

I55/25

（3）思路：依图可知所|。?卜|。5|可翻译为坐标运算即XR%,且R,S分别为直线MP,NP与

x轴的交点，可设出P（%,y）,从而结合加（%％）和N（/,一%）计算出MRNP的方程，

字+y：=i

从而XR,%可用为，%，司，弘进行表示，再根据椭圆方程《进行消元即可。

解：设P（XpX）,由M（Xo，%）可得:

此“「="&•.•MP的方程为：了一弘二上&a一斗）

令y=0,可解得：XR二血X一"”.

X一%

同理可解得NP与％轴的交点s的横坐标%=+*）'。

%+%

所以1。即1。5|=同=n飞।="诩f。-①

%一X）3+X）II>T_%

因为P（Xi，yJ,"（玉）,％）均在椭圆上

4x

_>fo=4-4^,代入到①可得:

五；=1U=4-4y.

4'

|。如侬=书r产==驾*=4

y.-yoyi-yo

所以|OR|-|QS|=4,即为定值

例10：如图所示