高中数学课时作业(二十七)　正弦定理和余弦定理

课时作业（二十七）正弦定理和余弦定理

IA级-基础达标|»>

jr

1.在△ABC中，若A=1,B=；,BC=3P，则AC=()

A.B.5

2

C.2小D.4小

［由正弦定理得：篇AC

CsinB9

3y/2Xsin彳

日门七

s8csin8=2小.]

即有AC=FTJT

sin与

2.在△ABC中，,b=T,ZB=l'则△ABC的形状为（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

D［根据余弦定理有/MQZ+C2—2accosB,即1=层+3—3〃，解得。=1或。=2.当。

=1时，三角形A8C为等腰三角形，当〃=2时，三角形ABC为直角三角形.］

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知6=c,a2=2Z>2(l-sinA),则

A等于（)

3兀7t

A.TB.

7Cc兀

C.D

4-6

C[由余弦定理得〃2=按+”-2bccosA=2b2—2/?2cosA,

所以2fe2(l—sinA)=2"(]—cosA),

所以sinA=cosA,

即tanA=1,又0<A<n,

JT

所以A=z".]

4.ZVIBC的三个内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=120°,sinC=^

c=2,则△ABC的面积等于（）

A,B.2小

cTD.

•・R2X当

h

A[由正弦定^,得匕=枭=逅=巾•由余弦定理左=。2+,2

7

-2accosB,得7=。2+4+2〃，解得〃=1或〃=—3（舍去），所以Sy此sin3=gX1

X2X坐=坐,故选A.]

5.（多选）（2020・即墨期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,若a

sinA=4Z?sinB,ac=y[5（a2—h2—c2）,则下列选项正确的是（）

A.a=2b

4亚

RB.cosA

C.R正

C.sin3—亨

D.ZViBC为钝角三角形

ab

ACD〔由而入=而行，得asinBfsinA,

又asinA=4bsinB,得4bsinB—asinA.

两式作比得看=5

所以a=26,故A正确.

222

由ac=y[5（a—Z>—c）,得。2+/—〃2=―当ac

由冬廿去拜弭.按+「一5一_亚a__亚2b__^5

由余弦代理'付cos4—2bc—2bc--10'b~10•。-5,

故B错误.

由于cosA<0,可得A为钝角，故D正确.

由于悬=焉，可得sinS=Tsin4=^"TY）T>故C正确.

故选ACD.]

6.在AABC中，/4=号，。=巾&贝g=.

入2n

解析：在△ABC中，Z/l=—,

2n

a2=h2+cz-2hccos,艮口a2=b2+c2+hc.

♦:a=y/5c,3c2=b2-hc2+be,.\b2~\~bc—2c2=0,

(/?+2c)(Z>—c)=0,.\h—c=O,:.b=c,=1.

答案：1

2JT

7.(2020•福建省质量检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=—,a

=7.若△ABC的面积为苧，则其周长是—.

解析：由面积公式可得S△诋=义bcsinA=^be,又由题意知阻80=今后，故be

=15.根据余弦定理，得解=按+理+历,可得s+c)2一A=〃2,由4=7,bc=15,解得s+

C)2=64,即b+c=8,所以周长为a+l+c=15.

答案：15

8.(2020•浙江期中)在三角形48c中，角A,B,。对应的边分别为a,b,c,且bcosA

+acosB=2asinC,则4=,若b=2a,且△ABC的面积为小,则a=.

解析：因为AcosA+acosB=2asinC,

所以由正弦定理可得sin8cosA+sinAcosB=2sinAsinC,

可得sin(A+B)=sinC=2sinAsinC

因为sinCWO,所以sinA=g.

又因为A£(0,»),则角A=V或第，

若b=2a,由正弦定理施=磊，可得f，解得sing

2

由于8仁(0,n),可得8=/,贝1|4=看，C=y.

因为△ABC的面积为小=；ahsinC=^XQX2〃X坐,解得。=啦.

答案：或胃；啦

9.(2020・全国卷H)Z\43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos{++A)+

5

cosA=z'

⑴求A;

(2)若b—c=¥”，证明：△ABC是直角三角形.

解析：(1)由已知得sin2A+cosA=1',

即cos2A—cosA+^=0.

所以(cosA—§=0,COSA=£.

JI

由于0<A<JI,故人=亍.

(2)证明：由正弦定理及已知条件可得

小

sin8—sinC=sinA.

,，2五“，(2H\\[3JI

由(1)知3+C=-^-,所以sin8—sinI-y—I=sin亍.

即;sin8一坐cosB=T,sin(8一总=义.

由于0<8<弓",故8=方.从而△ABC是直角三角形.

10.(开放型)在△ABC中，mb,c分别为内角4,B,C所对的边，且满足sinA+#

cosA=2.

(1)求角A的大小;

JlL

(2)现给出三个条件：①。=2；②8=7；③。=小6.试从中选出两个可以确定△ABC

的条件，写出你的方案并以此为依据求aABC的面积.(写出一种方案即可)

解析：⑴依题意得2sin(A+/~)—2,即sin(A+均)=1,

JTn4nnnn

'/0</l<n,<A+w,.•.A+丁=-2，•

(2)选择①②，由正弦定理新=磊，得T号=2p.

•：A+8+C=n,

sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=，:爬,

.*.5AABC=|absinC=1X2X2/义显普=小+1

选择①@,・.7=小by由正弦定理得sin。=小sin8,即sin(A+3)=小sin8,

可得sinAcosB+cosAsinB=yf3sinB,

Jllnr~

,得cosB=，§sinB,解得B=3~,.\b=a=2,c=2y]3,

SAABC—besinA=；X2X2小=小.

选择②©,.*sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4

由人结合正弦定理得sinC=45sin8=半，矛盾,

所以此种方案无法确定△ABC.

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11.△ABC中，BC=2,AC=3,cosC=^,则△ABC外接圆的面积为（）

83兀81兀

A--------R--------

A.32634

C[△A3C中，令内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

\"a=2,b=3,且cosC=Q,

二由余弦定理可知c2=a2+〃-2abcosC=22+32-2X2><3X；=9,；.c=3.

又sinC=、1-(以=乎，,由正弦定理可知外接圆半径/?=1X-fr；X

\/J乙dill乙

3____9^/2

豆=8.

3

O1X1JI

故外接圆面积S=nR2=1Tx为=—.故选C.]

12.(多选)已知a,b,c分别是AABC三个内角A,B,C的对边，下列四个命题中正

确的是()

A.若tanA+tanB+tanOO,则△ABC是锐角三角形

B.若acosA=6cosB,则△ABC是等腰三角形

C.若bcosC+ccos8=6,则△ABC是等腰三角形

D-若急=卷=.,则是等边三角形

ACD[因为tanA+tanB=tan(A+B)(l—tanAtanB),所以tanA+tan3+tanC=tan(4

+8)(1—tanAtanB)+tanC=_tanC(1—tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanGO,所以A,B,

C均为锐角，所以A项正确；由〃cosA=bcos8及正弦定理，可得sin2A=sin28,所

以A=3或A+B=：,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B项错误；由〃cos。

+ccosB=b及正弦定理，可知sin8cosC+sinCcos8=sinB,所以sinA=sinB,所以A

=B,所以C项正确；由已知和正弦定理，易知tanA=tanB=tanC,所以A=8=C,所以

D项正确.故选ACD项.]

13.(开放型)(2020•山东日照二模)在①/+加=屋+理；②acosB=bsinA；sin

B+cosB=2,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,A=?,b=^2.

⑴求角B；

(2)求AABC的面积.

解析：若选择①6+讹=/+°2.

+/一房2

(1)由余弦定理得cosB=~^~~t^+ac—b

ac=~lac-=2，

71

因为3W(0,n),所以3=至.

-sinT

⑵由正弦定理总bbsinA

仔：

~smB3ci=sinBZ=3

2

nnJIJI5n5n

因为A=-r,B=~r,所以C=n————=-7y,所以sinC=sin7y=sin

IJ1J141乙

fnnAJIJInJiy[6+y[2

G+不J=sinycosy+cosysiny=4，

"I”112A/3r~3+V3

所以SAABC=5ABSinC=2X3XgX理工=仔-

若选择②〃cos8=bsinA.

(1)由正弦定理得小sinAcosB=sinBsinA,

因为sinAWO,所以小cosB=sinB,即tanB=<§,

n

又B£(0,Ji),所以8=亍.

(2)同上.

若选择③sinB+cosB=2.

(1)由和角公式得2sin(3+总=2,所以sin(8+弓一)=1.

因为5£(0,冗)，所以5+看£管，票)，

冗冗冗

所以8+石=y,所以8=y.

(2)同上.

14.(2020•河北九校第二次联考)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为小

b,c,其外接圆半径R满足3/?2+2QCCOSB=〃2+C2.

(1)求8的大小；

(2)已知aABC的面积S="警，求a+c的取值范围.

解析：(l)：3R2+2qccos8=霹+(?,

.\3R2=a1+c2—2accosB=b2,

即R=*b,

..nb_3J

..smB=或=bX乖=2'

,n

又B为锐角，.

(2);△ABC的面积S=42c=gacsin-y,

:,b=3,2R=^-^~b=2\[3,又。aA=2R,A+C=n—,

jsinz>sinOxJ

l2n广3s

.*.tz+c=2/?(sinA+sinC)=2小[sinA+sin(^--4)]=2仍伤sinA+cosA)=

6sin(7+A),

由△4BC是锐角三角形得4d（看，4）,

nn2冗

•"+dG（T'—），

灭、后

Asin（A+豆）e（2，I]，

；.a+ce（3小，6],即a+c的取值范围为（3小，6].

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15.《数书九章》中已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个

空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国在古代已具有很高的数学水平.书中

记载的三角形面积的求法是：“以小斜基并大斜累减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜鼎

乘大斜哥减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，

即三边长分别为a,b,c的三角形的面积S=$现有周长为4+V10

的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（g—1）：小：（啦+1）.用以上给出的公式求△ABC

的面积为（）

A.芈B.亭C.*D.当

A[因为sinA：sinB：sinC=（也一1）：小：（也+1）,所以由正弦定理，得a：Z?