人教版初三数学第5讲二次函数的图象及其性质（一）教案

二次函数的图象及其性质(一)

适用学科初中数学适用年级初中三年级

适用区域人教版课时时长(分钟)120

知识点二次函数的概念；二次函数的图象；二次函数的图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)使学生能利用描点法正确作出二次函数的图象。

教学目标

(3)让学生经历二次函数y=ax?+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函

数y=ax2的关系。

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教学重点理解二次函数y=ax+bx+c,y=ax,y=ax+c,性质和相互关系。

教学难点正确理解二次函数y=ax2+bx+c的性质

教学过程

一、课堂导入

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数.看下面两

例子中两个变量之间存在怎样的关系.

例如1正方形的边长是X,面积y与边长x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=x2(x>0)

次问题中x是y的函数，是什么函数呢？

本节课将主要探讨这样的函数—二次函数的图象及其性质

二.复习预习

教师活动

1、上节课作业检查及知识点回顾，解决上节课遗留的问题。

2、本节课知识点讲解：

(1)二次函数的定义。

(2)二次函数的一般式。

(3)二次函数的图像。

3、本节课重点题型讲解分析。

4、本节课常考知识点对应的题型及解题思路和方法总结。

学生活动

L讲解上节课所留作业中典型试题的解题方法。

2、回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部分。

3、课堂笔记及教师补充知识点的记录。

4、重点知识点对应典型试题训练，并且通过训练归纳总结常考题型的解题思路和方法。

三、知识讲解

1.二次函数的概念

情景创设

1.什么叫函数？它有几种表示方法？

2.什么叫一次函数？（y=kx+b）自变量是什么?函数是什么？常量是什么?为什么要有k/0的条件？k值对函数性质

有什么影响？（复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k/0的条

件，以备与二次函数中的a进行比较.）

例1农机厂第一个月水泵的产量为50（台）第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=50（1+x）2,即y=50x2+100x+50（写在黑板上）

由以上两例，启发学生归纳出Q）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）.（2）自变量的最高次数是2（这与一次函

数不同）.

讲解新课

二次函数的定义：形如丫=@乂2+6乂+€：Q。0,2、b、C为常数）的函数叫做二次函数.

巩固对二次函数概念的理解：

1.强调"形如"，即由形来定义函数名称.二次函数即y是关于x的二次多项式.

2.在y=ax2+bx+c中自变量是x,它的取值范围是一切实数.但在实际问题中,自变量的取值范围是使实际问题有意

义的值.如例1中，x>0.

3.在y=50x2+100x+50中，a=50,b=100,c=50.

4.为什么二次函数定义中要求a。。？（若a=0,ax?+bx+c就不是关于x的二次多项式了）

5.b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零.

若b=0,则y=ax2+c;若c=0,则y=ax2+bx;若b=c=O,则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而丫=@乂2+6乂+（:是二次函数的一般形式.

2.二次函数的图像。

情境导入

我们已经知道,一次函数y=2x+1,反比例函数y=-的图象分别是、,那么二次函数y=炉

X

的图象是什么呢？

(1)描点法画函数y=必的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的

值如何？

(2)观察函数y=/的图象，你能得出什么结论？

同学们还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数y=/与y=/+1的图象之间的关系吗？，那么丁=/与y=/_2的图象之间又有何关系？

总结归纳：

1.二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象是抛物线,是轴对称图形；

2.当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下；|a|越小抛物线的开口越大；|a|越大抛物线的开口

越小；

易错点1：忽视二次项系数。。0出错。

例：已知y=(m-4)M—2+2%_3是二次函数，求加的值。

错解：根据题意，有加2—3m—2=2,即m~—3m—4=0.

解得叫=—1,加2=4。

错解分析：根据二次函数的定义,要使y=(加-4)廿="一+2%—3是二次函数,加不但应满足加2—3m-2=2,还应满足

m-4/0,二者缺一不可,上述解法因忽略了m-4/0,而导致错误。

正解：根据题意知!加一^加一2=2,解得机=一1。

加一4w0

易错点2:忽视函数图像的平移与对称轴的变化关系出错。

例：已知二次函数＞=21,将此函数的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后得到的函数关系式

为0

错解:-2)2+3。

错解分析：写出平移后得到的函数关系式的关键是确定函数图像的顶点坐标,因为函数＞=2/的顶点坐标是(0,0),将

其图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的函数图像的顶点坐标是(-2,-3),由于平移前后函数图像的

开口大小和方向不变,所以得到的二次函数的关系式为y=2(x+2)2—3。

正解:y=2(x+2)2-3或y=2尤2+8无+5。

易错点3:忽视自变量的取值范围出错。

例：已知y=/+l,当205时,求它的最大值与最小值。

错解：因为y=/+1的图象开口向上，顶点坐标(0,1),所以函数的最小值为1,此函数没有最大值。

错解分析：函数>=/+1与函数>=%2+1(2WxW5)的图象不同，函数y=/+i(2WxW5)的图象是函数y=/+1

的图象的一部分，对于y=/+1,自变量的取值是全体实数，它的函数有最小值，没有最大值，当自变量的

取值限定在一定的范围内时，函数的最值可能要发生一定的变化。

正解：因为>=/+1,当％>0时，y随x的增大而增大，所以y=1+i(2<X<5)，当％=2时，函数的最小值为5；

当x=5时，函数的最大值为26.

易错点4:忽视二次函数的符号出错。

例：若二次函数v=/zu2+4x+m-l的最小值为2,求m的值。

错解：由顶点公式警士)，知最小值为加J.所以如'产士=2，即疝-3m-4=0.解得m=4或机=-1.

2a4a4a4m

错解分析：当机=-1时，原函数y=-/+4x-2,图象开口向下,由最大值而无最小值。

4m(m—l)—42_

正解：由<4m,解得加二4.

m>0

四、例题精析

[例题1]

【题干】当机=_____时，函数y=(rn-+m)xnr2m'是关于x的二次函数

【答案】3

【解析】根据二次函数定义’:二二-：=2'解得m=3・

[例题2]

【题干】m取哪些值时，函数y=（苏-的/+如+⑺+1）是以*为自变量的二次函数？

【答案】解：若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则m2-m0.解得加w0，且加w1.因此，当机W0,

且加w1时，函数y=(m2-m)x2+znx+(m+1)是二次函数.

【解析】若函数y=(m2-m)x2+mx+(加+1)是二次函数，须满足的条件是：m2-m^O.

[例题3]

【题干】在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点？有何不同点？

(1)y=2/(2)y=-2x2

【答案】共同点：都以V轴为对称轴，顶点都在坐标原点.

不同点：y=2/的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的

右边，曲线自左向右上升.y=-2/的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右

上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.

【解析】在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图

象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

[例题4]

【题干】若点A亿m）在函数y=/_1的图像上，则A点的坐标是

【答案】(2.3)

【解析】将点A坐标代入函数关系式，即可求出y=3

[例题5]

【题干】如图,00的半径为2.C1是函数k必的图象C2是函数y=的图象，则阴影部分的面积是

【答案】2K.

【解析】

.C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,

.•・两函数图象关于x轴对称，

,阴影部分面积即是半圆面积，

，面积为:12TTX22=2TT.

[例题6]

【题干】抛物线y=g/的对称轴是（或—），顶点坐标是,当x时，y随x的增

大而增大,当x时，y随x的增大而减小，当x=时，该函数有最值是；

2

（2）抛物线y=-1x的对称轴是（或），顶点坐标是,当x时，y随x的增大而

增大，当x时，y随x的增大而减小，当x=—时，该函数有最值是；

【答案】(l)x=O,y轴,(0,0),>0,,<0,0,小,0;

(2)x=0,y轴,(0,0),<,>,。，大，0

【解析】根据二次函数的图象的性质来解答。

[例题7]

【题干】如图，一次函数”=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(-L1)和B(2,4)两点则当yi<y2时/x的取值范围是)

A.x<-l

B.x>2

C.-l<x<2

D.x<-l或x>2

【答案】D

【解析】•.一次函数以=而+。与二次函数以=/交于4-L1）和以2,4）两点，

从图象上看出，

当A>2时必的图象在yz的图象的下方，即yi<yz,

当x<-1时人的图象在玖的图象的下方，即yi<y2.

.,.当><-1或%>2时以〈性

故选D.

解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置，yi<y2时，yi的图象在y2的下面，再判

断自变量的取值范围.

[例题8]

【题干】二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是图中的（

【答案】C.

【解析】由二次函数和一次函数图像的性质可知，A中二次函数的a<0,一次函数的a>0,故A错误;由题意知，二

次函数与y轴交于（0,c）,一次函数也与v轴交