高中数学必修(二)期中检测试卷

期中检测试卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1〜

10题只有一项符合题目要求；第11〜13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选

对但不全的得2分，有选错的不得分）

1.已知向量a=（l,m）,向量b=（—1,5），若a〃6,则胆等于（）

A.小C.乎D.一乎

4

2.已知i为虚数单位，z=含，则复数z的虚部为（）

A.-2iB.2iC.2D.-2

3.已知边长为2的正方形A8C£＞中，E为力。的中点，连接8E,则骷•血等于（）

A.-2B,-lC.lD.2

4.（2019・淮北、宿州模拟）已知i为虚数单位，在复平面内，复数士的共扼复数对应的点位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.在长方形ABCQ中，E为CD的中点，F为AE的中点，设赢="，AD=b,则脐等于（）

3,1,c31,

A.一平+/〃B.毕一5力

一3/,

C.2。.bJLX2aI4^

6.在△ABC中，若lg。-lgc=lgsinB=—lg\△且B6（0,习，则△ABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

7.在△ABC中，NA=120。，ABAC=~2,则|两的最小值是（）

A.2B.4C.2小D.12

8.已知向量。=（1,5），8=（一去乎），则在6上的投影为（）

A.2B.小C.lD.-1

9.已知向量a=（cos2,sin。），其中OCR,则间的最小值为（）

A.lB.2C.V5D.3

10.已知点。是“BC内一点，满足豆+2加=晶寰斗则实数利为（）

11.在△ABC中，若sinZA+sidBvsi/C,则△ABC的形状不可能是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

12.设z是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若z220,则z是实数

B若z2<0,则z是虚数

C.若Z是虚数，则z220

D.若Z是纯虚数，则z2<0

13.定义两个非零平面向量的一种新运算《%=|亦|回sin[a,b）,其中（a,b>表示a,b的夹

角，则对于两个非零平面向量a，h,下列结论一定成立的有（）

A.a在力上的投影向量为asin〈a,b）

B.（a*i）2+（a-6）2=|a|2|6|2

Cl（a*b）=（Aa）*b

D.若a*b=0,则a与分平行

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

14.i是虚数单位，则复数曰=______,其实部为________.

1—31

15.已知向量a,b的夹角为仇且同=2,步|=小，。乃=3,贝.

16.（2019・南宁模拟）在正方形A8C。中，E为线段AO的中点，若丘^垃十〃懿，则％+〃=

17.（2019•宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘

密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8

两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得C£>=80,NAOB=135。，ZBDC=ZDCA

=15。，/ACB=120。，则A,8两点间的距离为.

三、解答题(本大题共6小题，共82分)

18.(12分)已知复数z=3+mi(»»GR),且(l+3i)z为纯虚数.

⑴求复数z；

(2)若z—(2—i)w,求复数w的模|w|.

19.(12分)已知向量。=(1,2),6=(-3,4).

(1)求a+b与a-b的夹角;

(2)若c满足c_L(a+Z>),(c+a)〃b,求c的坐标.

20.(14分)在△ABC中，设4,B,C的对边分别为。，b,c,已知C=争，c=小,求△4BC

周长的取值范围.

21.(14分)设复数窃=2—ai(aGR),z2=4-3i.

(1)若Z|+z2是实数，求Z1-Z2；

(2)若包是纯虚数，求窃的共枕复数.

Z2

22.(15分)已知闷=2,|回=小,(。+2仍0—3修)=9.

(1)求a与5的夹角仇

(2)在△ABC中，若赢=a,AC=b,求8c边的长度.

23.(15分)在△ABC中，已知cosB+(cosA—2sinA)cosC=0.

(1)求角C的余弦值；

⑵若BC=邓,AB边上的中线求△ABC的面积.

期中检测试卷

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1〜

10题只有一项符合题目要求；第11〜13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选

对但不全的得2分，有选错的不得分)

1.已知向量a=(l,m),向量b=(—1,5)，若a〃6,则胆等于()

A.小C.乎D.一乎

答案B

解析由题意得1X4§—7"X(-1)=0,.•.〃?=一5.

4

2.已知i为虚数单位，z=系，则复数z的虚部为()

A.-2iB.2iC.2D.-2

答案D

解析2=去=祥浮5=空/=2—2i,故虚部为一2.

3.已知边长为2的正方形A8CD中，E为AO的中点，连接BE,则时•血等于()

A.-2B,-lC.lD.2

答案B

解析以A为原点，A8所在直线为x轴，A。所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0),

8(2,0)E(0,l)，施=(一2,1),血=(0,-1),

4.(2019•淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数的共趣复数对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析由题意可得七=八।

1—1(1—1)(1+1)22

则其共甄复数为义一去，对应的点0,一0位于第四象限.

5.在长方形A8CZ)中，E为CO的中点，F为AE的中点，设初=a,AD=b,则赤等于()

c3L

B不一予

1313

C^a-^b口.呼+心

答案A

解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得标=助一赢==硅一祐=:

AD+^AB—AB—^b—^a.

6.在△ABC中，若lg“一lgc=lgsin8=-1班且8<0,习，则△ABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

答案C

解析Vlg«—lgc=lgsinB=~\g^2,

.'.^=sinB=乎，

：8W（0,工8=今,

c^+c^—b24+（啦“）2一〃啦

••c°sB=2ac=2。缶）=2，

jr

.'.a2=b2,则a—b,.'.A=B=-^,

••・c=3，

AABC为等腰直角三角形.

7.在aABC中，ZA=120°,ABAC=-2,则|的的最小值是（）

A.2B.4C.2小D.12

答案C

解析石•启=|矗11nleosA--||AB||AC|

=-2"|丽京1=4,

\BC\=\AC-^\=>\BC\2=\AC-^B\2

=|AC|2+|W+4>2|AB||AC|+4=12,

当且仅当|启|=|崩|时取等号，

所以|的22小.

8.已知向量。=（1,小），6=（一；，芈），则在》上的投影为（）

A.2B，V3C.lD.-1

答案A

解析a+〜在力上的投影为

{a~\-b）-ba-b-Vb2（2+2）十1

।例=，r=।=2

9.已知向量a=（cos6-2,sin0）,其中。dR,则同的最小值为（）

A.lB.2C.小D.3

答案A

解析因为a=（cos夕一2,sin。），

所以\a\=yj（cos0—2）2+sin20=^\/l­4cos0+4=^/5—4cos0,

因为9WR,所以一iWcosOWl,

故的最小值为45—4=1.

10.已知点。是△ABC内一点，满足苏+2协=〃灰，沁2=小则实数胆为（）

A.2B.-2C.4D.-4

答案D

解析由万1+2协=小说得■|d+；为元

设个女=而,贝片

；.A,B,。三点共线,

如图所示，

•..历与无反向共线，

.\OD\m

••一~m—39

\CD\

.SAAOB|O£)|/n4

SAABC।cb|机37

解得m=-4.

11.在△ABC中，若sinZA+sidBvsiMC,则△ABC的形状不可能是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

答案ABD

解析由正弦定理知，sinsin8=6，sinC=点.

Zi\Z.KZA

sin2A+sin28Vsin2c可化为

qZ+/cc2,a2+b2-c2<0.

.•.角C为钝角，△ABC为钝角三角形.

12.设z是复数，则下列命题中的真命题是()

A.若z220,则z是实数

B.若z2<0,则z是虚数

C.若Z是虚数，则z2\0

D.若z是纯虚数，则z2<0

答案ABD

解析设z=a+6i,a,bWR,z1—c^—b^+labi,

对于A：z220,则人=0,所以z是实数，真命题；

对于B：z2<0,则4=0,且人W0,可得z是虚数，所以B为真命题；

对于C：z是虚数，则所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；

对于D：z是纯虚数，则a=0,Z?#0,所以z2<0,所以D是真命题.

13.定义两个非零平面向量的一种新运算。％=|研|臼sin(a,b),其中〈a,b)表示a,Z(的夹

角，则对于两个非零平面向量a，b,下列结论一定成立的有()

A.a在b上的投影向量为asin〈a,A

B.(a%)2+(a"=|a|2|42

C.，(a%)=(Aa)%

D.若a切=0,则a与匕平行

答案BD

解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；

(a*Z>)2+(ab)2=|a|2|ft|2sin2(a,b)+|a|2|Z>|2-cos2{a,b>=|a|2|A|2,故B成立；

协=刖的sin(a,b),(痴)*力=|〃||旬sin〈a,b),当4<0时不成立,故C不成立;

由a%=0,得sin{a,b)=0,即两向量平行，故D成立.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

14.i是虚数单位,则复数注

，其实部为.

答案i0

解析言部郭詈

3+9i+i+3i2.八

==1,其实部为0.

15.已知向量》的夹角为仇旦|。|=2,|例=小，ab=3,贝ij。=.

答案I

解析由题意，利用向量的夹角公式，得85。=献=坐，又由柒[0,TT],•••64.

16.（2019・南宁模拟）在正方形ABCQ中，E为线段AO的中点，若诙=疵+/前，则%+“=

3

答案2

解析因为病=E£）+Z）C=/b+初，所以4+〃=义+1=].

17.（2019•宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘

密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B

两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,ZADB=135°,NBDC=NDCA

=15°,ZACB=120°,则A,8两点间的距离为.

答案8ss

解析由已知，在△人口）中，ZACD=15°,ZADC=150°,

：.ZDAC=15°,

由正弦定理，得AC》哪:真=谭g=40（4+何

4

在△BCD中，ZBDC=\50,ZBCD=135°,

：.ZDBC=30°9

由正弦定理，得s一inN笑CBRD=一sinNBOC

.CDsmZBDC80Xsin15°

BC=

•■SinZCBDT

=160sin15°=40(加一地)；

在△ABC中，由余弦定理得A4MAG+BG-ZACBCCOSNACBMI600(8+4小)+1600(8-

4V3)+2X1600(76+^2)X(V6-A/2)X1

=1600X16+1600X4=1600X20,

解得/18=8即，

则两目标A,8间的距离为8M.

三、解答题(本大题共6小题，共82分)

18.(12分)已知复数z=3+mi(mGR),且(1+3i)z为纯虚数.

(1)求复数z；

⑵若z=(2—i)如求复数w的模勿

解(1)(1+3i>(3+n/i)=(3—3m)+(9+m)i,

・「(l+3i>z是纯虚数，

/.3—3m=0,且9+mNO,

••/zz=1,

・・・z=3+i.

o、3+i(3+i)-(2+i)5+5i

⑵吁2-1(2-i>(2+i)—5-1+l

\w\—yj\2+\2—yf2.

19.(12分)已知向量a=(l,2),8=(—3,4).

(1)求a+Z»与a—力的夹角；

⑵若c满足c_L(a+Z»),(c-\~a)//b,求c的坐标.

解⑴：a=(l,2),*=(-3,4).

.,.a+b=(—2,6),.*.a—b=(4,—2),

(a+b)・(a—b)=-20,

：.\a+b\="(-2)2+62=2四,

|«-/>|=^42+(-2)2=2^5.

设a+b与a-b的夹角为0,则

(4+万)“一力)_—20__也

COS\a+b\-\a-b\-2VT0X2V5~~-2，

又兀］,.・・夕=学

(2)设c=(x,y),则c+a=(x+l,y+2),

Vc±(a+Z>),(c+a)//b,

.J-2x+6y=0,

"l-3(y+2)-4(x+l)=0,

x=—2,、

解得｛=_2即c=(一2,-|

产一'

20.(14分)在△ABC中，设A,B,C的对边分别为“，b,c,已知C=与，c=小,求AABC

周长的取值范围.

解由正弦定理得焉=前石=款=2,

.,.a=2sinA,Z?=2sinB,

则△ABC的周长为L=a+0+c=2(sinA+sin8)+小

=$sinA+sing-A)+仍

=2(sinA+坐cosA-；sinA)+小

=2sin(A+2+/.

*/0<B=^—A<j,0<A<?

・,•日vsin(A+1)W1,

•・.△ABC周长的取值范围是(2小，2+V3].

21.(14分)设复数zi=2—ai(〃£R),z2=4-3i.

(1)若Z1+Z2是实数,求Z1・Z2；

(2)若日是纯虚数，求zi的共辗复数.

Z2

解(1);ZI+Z2=6—(3+〃)i是实数,

.*.3+«=0,。=—3,z】=2+3i,

・・・Z[・Z2=(2