讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章2 .4 .2 圆的一般方程

2.4.2圆的一般方程

【学习目标】1.掌握圆的一般方程及其特点2会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练

地指出圆心的坐标和半径的大小3能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.

【导语】

前面我们已讨论了圆的标准方程为(x—a)2+(y—力2=尸，现将其展开可得/+)，-2or—2外

+层+〃—产=o.可见，任何一个圆的方程都可以变形为^+/+DA-+Ey+F=0的形式.请

大家思考一下，形如小+产+6++斗/二。的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这

一方面的问题.

一、圆的一般方程的辨析

问题1如果方程/+)2+6+砂+尸=0能表示圆的方程，有什么条件？

提示将方程/+产+6+3+尸=0,配方可得口+争)2+&+§2=。2±|二竺，当加+序

-4F>0时，方程/+),2+6+£>+尸=0表示圆.

问题2当Z^+E2—4尸=0时，方程3+炉+£)犬+/+尸=0表示什么图形？

提示当。2+£2—4尸=0时，方程/+y2+£)x+Ey+F=0,表示一个点(一今，一勺.

［知识梳理】

I.圆的一般方程：当£>2+£2-4Q0时，，二元二次方程/+\2+以+田，+f=0称为圆的一

般方程.

2.方程/+)2+以+或+尸=0表示的图形

条件图形

守+/一4F<0不表示任何图形

表示一个点(一今-£)

D2+E2-4F=0

表示以(2-9为圆心，以迦竽■苴为半径的圆

。2+£2—4/>0

注意点：

(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和炉的系数相同且不为0,没有犯这样的二次项.

(2)二元二次方程炉+)2+以+6+尸=0表示圆的充要条件是32+/_4Q0.

例1若方程/+产+2,"*—2〉+利2+5机=0表示圆.

(1)求实数〃?的取值范围；

(2)写出圆心坐标和半径.

解(1)由表示圆的充要条件，

得(2m)2+(—2)2—4(m2+5⑼>0,

解得忌，即实数，〃的取值范围为(一8,以.

(2)将方程x2+y2-1-2iwc—2y+m2+5m=()写成标准方程为(x+nz)2+(y—1尸=1—5m,故圆心坐

标为(一机,1),半径r=\/l—5/加

反思感悟圆的一般方程的辨析

(1)由圆的一般方程的定义，若。2+序一4Q0成立，则表示圆，否则不表示圆.

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.

跟踪训练1⑴若方程2r2+2)2+2办-2ay=0(aW0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为

较安C父盅囱

口水I2'2/2

解析方程2%2+2y2+2ax—2缈=03工0),

可化为(》+切+(厂|)2端，

故圆心坐标为V，灯，半径为当团.

(2)点M,N在圆/+产+h+2>-4=0上，且点M,N关于直线x-y+l=0对称，则该圆的

面积为.

答案9兀

解析圆/+>2+阮+2)，一4=0的圆心坐标是(一争一1)，

由圆的性质，知直线x—y+l=0经过圆心，

；.一々+1+1=0,得%=4,

圆/+产+4*+2丫­4=0的半径为加耳西正=3,

该圆的面积为97c.

二、求圆的一般方程

例2已知A(2,2),8(5,3),C(3,-1).

⑴求△ABC的外接圆的一般方程；

⑵若点M(a,2)在AABC的外接圆上，求a的值.

解(1)设△4BC外接圆的一般方程为壮+炉+以+或+尸=0,

'22+22+2D+2E+F=0,

由题意，得<52+32+5O+3E+F=0,

22

k3+(-l)+3D-E+F=0,

。=.8,

解得，E=~2,

F=n.

即ZkABC的外接圆的方程为f+y2—8x—2y+12=0.

(2)由(1)知，AABC的外接圆的方程为f+y2-8x-2y+12=0,

；点、M(a,2)在△ABC的外接圆上，

a~4"2~—8a—2X2+12=0,

即足一8。+12=0,解得a=2或6.

反思感悟求圆的方程的策略

(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；

⑵待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于出b,r或O,E,F的方程

组解出系数得到方程.

跟踪训练2已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二

象限，半径长为也，求圆的一般方程.

解圆心《一g，一乳

**,圆心在直线x+y—1=0上，

即D+E=-2,®

'D2+E2-12

又・・•半径长一==y[2,

2

・・・。2+£2=20地

0=2,D=-4,

由①②可得或

£=—4,£=2.

又•.•圆心在第二象限,

D。=2,

-y<0,即£»0.则《

2£=-4.

故圆的一般方程为/+V+2x—4y+3=0.

三、圆的轨迹问题

问题3轨迹和轨迹方程有什么区别？

提示轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的

关系式.

例3点A(2,0)是圆好+产=4上的定点，点8(1,1)是圆内一点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；

(2)若NP8Q=90。，求线段PQ的中点N的轨迹方程.

解(1)设线段AP的中点为M(x,y),

由中点公式，得点P的坐标为(2x-2,2y).

•.•点P在圆/+尸=4上，

(2x—2)2+(2y)2=4,

故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-l)2+y2=I.

⑵设线段PQ的中点为N(x,y),

在Rl/XPBQ中，\PN\=\BN\.

设。为坐标原点，连接ON(图略)，则。MLPQ,

\OP\2=|0邰+/川2=|0所+网2,

.,./+炉+(彳-l)2+(y—I)2—4,

故线段尸。的中点N的轨迹方程为炉+产一工一丫-1=0.

延伸探究

1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.

解设7U，y).

因为点T是弦的中点，所以07,87.

当斜率存在时，有kofkBT=­l.

畔•斗f

整理得炉十产一x—y=0.

当x=0或1时，点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.

故所求轨迹方程为x2+y1—x—y—0.

2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.

解设点E(x,y),P(xo,yo).

Xo+1

x=-5,

山

y-2•

整理得xo=2x—1,yo=2y—I,

点P在圆/+)2=4上，

.'.(2r-l)2+(2y-1)2=4,

整理得点E的轨迹方程为/+产一x—y—；=0.

反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

跟踪训练3已知△ABC的边48长为4,若8C边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.

解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，

则A(—2,0),8(2,0),设C(x,y),BC的中点。(如为).

2+x

-2-=孙

①

0+y

,：\AD\^3,••.(xo+2)2+M=9.②

将①代入②，整理得(》+6)2+产=36.

•.•点C不能在x轴上，...〉#().

综上，点C的轨迹是以(一6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(一12,0)和(0,0)两点.

轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y#0).

-课堂小结

1.知识清单：

(1)圆的一般方程.

(2)求动点的轨迹方程.

2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.

3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.

N随堂演练

1.若％2+尸一x+y—2〃?=0是一个圆的方程，则实数，〃的取值范围是()

+

答案c

解析根据题意，得(-1>+了―4X(-2相)>0,

所以m>—\.

2.已知圆/+>2+.+防+尸=0的圆心坐标为(-2,3),D,E分别为()

A.4,一6B.一4,一6

C.—4,6D.4,6

答案A

解析圆x2+),2+£)x+Ey+尸=0的圆心坐标为(一3，—5

又已知该圆的圆心坐标为(一2,3),

：.D=4,E=-6.

3.(多选)圆N+y2—4x—1=0()

A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称

C.关于直线x+3y—2=0对称

D.关于直线x—y+2=0对称

答案ABC

解析/+y2—4x—l=0=(x—"2)2+y2=5,

即圆心的坐标为(2,0).

A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；

B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，故正确；

C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x+3y-2=0过圆心，故正确；

D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x—y+2=0不过圆心，故不正确.

4.已知△ABC的顶点A(0,0),8(4,0),且AC边上的中线8。的长为3,则顶点C的轨迹方程

是.

答案(x—8)2+>2=36°，#0)

解析设C(x,y)(yW0),

则想,()-

,..8(4,0),且AC边上的中线2。长为3,

•••©-"+(胡=9,

即(乂-8)2+产=360孚0).

课时对点练

L基础巩固

1.(多选)若〃口一2,0,I,寸，方程x2+y+2or+2ay+2a2+a—1=0表示圆，则a的值

可以为()

2

A.—2B.0C.1D.§

答案ABD

解析根据题意，若方程表示圆，则有(2”尸+(2a)2—4(2〃+a—1)>0,解得«<1,又

ae1-2,0,I,|},则a的值可以为一2,0,1,

2.已知圆的方程为炉+产+2"+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为()

A.3B.A/5C.5D.4

答案D

解析圆的方程x2+y2+2ar+9=0,

即(彳+°)2+炉=°2—%

它的圆心坐标为(-4,0),可得a=-5,

故它的半径为J屋-9=^25—9=4.

3.(多选)下列结论正确的是()

A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程

B.圆的一般方程和标准方程可以互化

C.方程9+产―2%+4),+5=0表示圆

D.若点M(xo，yo)在圆/+3»2+m+£^+尸=0外，则而+yS+Dro+Eyo+Q0

答案ABD

解析AB显然正确；C中方程可化为(x—l)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.

4.已知圆C：(x-a)2+(y一份2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是()

A.点B.直线

C.线段D.圆

答案D

解析：圆C：(x—a)2+(y—6)2=1过点4(1,0),

/.(l-a)2+(0-t)2=l,

l)2+h2=l,

.,.圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.

5.圆C：x2+y2—4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的方程是()

A.(x++0—2)2=5B.(x+4)2+&-1尸=5

C.(x+2)2+(y-3)2=5D.(x-2)2+(y+3)2=5

答案C

解析把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+l)2=5,

圆心C(2,-1).

设圆心C关于直线y=x+1的对称点为C'(X0,泗)，

r.vo-(-i)_

Ixo—2，

则〈,

yp—1x()+2

[2=2+L

[XQ——2)

解得_故0(-2,3),

ljo=3,

...圆C关于直线y=x+l对称的圆的方程为(x+2)2+(y—3产=5.

6.若当方程/+>2+"+2>+%2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=(4—l)x+2的倾

斜角a等于()

71_兀_3兀_兀

A-2B-4CTD5

答案C

解析/+V+日+2厂R2=0化为标准式为(x+分+(y+l)2=l一去2,所以当％=0时圆的半

径最大，面积也最大，此时直线的斜率为一1,故倾斜角为号37r.

7.过三点0(0,0),N(4,2)的圆的方程为.

答案炉+产一如+6y=0

解析设过三点。(0,0),N(4,2)的圆的方程为/+产+以+£>+尸=0,

下=0,[D=-8,

则7+l+Z)+E+F=0,解得|E=6,

16+4+4D+2E+F=0,[F=0,

故所求圆的方程为x2+/-8x+6y=0.

8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,4)在圆C上，且圆心到直线2x—y=0的

距离为学，则圆。的一般方程为.

答案x2+y2-4x—5=0

解析设圆C的圆心坐标为(。,0)(4>0),

上加在一/日\2a\4小

由题意可得芯=一：一，

解得a=2(a=-2舍去)，

所以圆C的半径为人22+(一小)2=3,

所以圆C的方程为jr+y2—4x—5=0.

9.己知方程/十丫2-20+3)氏+2(1—4户»+16/+9=0表示一个圆.

(1)求/的取值范围；

(2)求这个圆的圆心坐标和半径；

⑶求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.

解(1)圆的方程化为口—。+3)]2+口+(1—4尸)]2=1+6f—7P.

由7产一6r—1<0,得一手7<1.

故,的取值范围是(T1)

(2)由(1)知，圆的圆心坐标为Q+3,4/2—1),半径为止1+6/—7R

(3)r=、-7f2+6/+1

干F邛

所以r的最大值为斗工此时

故圆的标准方程为(x—匐2+(y+!|)2=华

10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+l)2+y2=4上运动，求线段

AB的端点B的轨迹方程.

解设8点坐标是(x,>),点A的坐标是(xo,泗)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段A3

,,,上,、,，xo+x〜yo+y

的中点k，所以4=-，3=八/，

于是有x()=8—x,yo=6—y.①

因为点A在圆(刀+1)2+产=4上运动，

所以点4的坐标满足方程(X+1)2+V=4,

即(XO+1)2+%=4,②

把①代入②，得(8—x+1y+(6—y>=4,

整理，得。—9)2+0-6)2=4.

所以点B的轨迹方程为(x—9)2+。-6产=4.

L综合运用

11.圆好+)2—ax—2y+1=0关于直线x—y—1=0对称的圆的方程是^+产―4x+3=0,则

a的值为()

A.0B.1

C.2D.3

答案c

解析由于圆炉+72—ox—2y+l=0的圆心为M3,1),圆炉+V一4X+3=0的圆心为N(2,0),

又两圆关于直线x—y-1=0对称，故有尸Xl=-1,解得a=2.

2-2

12.圆N+y2—2x+6y+8=0的面积为()

A.8兀B.4兀

C.2兀D.兀

答案C

解析原方程可化为(X—1)2+。+3)2=2,

半径「=也，...圆的面积为5=兀/=2兀

13.已知圆C经过点(4,2),(1,3)和(5,1),则圆C与两坐标轴的四个截距之和为.

答案一2

解析设圆的方程为x2+)2+£>x+£y+F=0,

将(4,2),(1,3),(5,1)代入方程中，

'16+4+4O+2E+F=0,伊=一2,

得(1+9+D+3E+F=0,解得|E=4,

25+l+5D+E+F=0,〔尸=一20,

所以圆的方程为N+y2—2x+4y—20=0.

令x=0,则V+4)-20=0,

由根与系数的关系得yi+y2=-4；

令y=0,则小一2x—20=0,

由根与系数的关系得为+及=2,

故圆C与两坐标轴的四个截距之和为yi+)，2+xi+x2=—4+2=-2.

14.设直线2x+3y+l=0和圆N+y2—2x—3=0相交于点A,B,则弦A3的垂直平分线的

方程是.

答案3x—2厂3=0

解析圆的方程/+炉―2x—3=0,化为标准方程为(x—1)2+尸=4,圆心坐标为(1,0),由心s

=一2早得AB的垂直平分线的斜3率为*且过圆心，从而所求直线方程为y—30=宗x-l),即

3x-2y-3=0.

L拓广探究

15.已知点P(7,3),圆M：x