高中数学直线和方程

第三章直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

【课时目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了

解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.

1.倾斜角与斜率的概念

定义

倾当直线/与X轴________时，我们取________作为基准，X轴________与直线

斜

/________________之间所成的角叫做直线1的倾斜角.当直线/与X轴平行或a

角

重合时，我们规定它的倾斜角为0°

斜

k=

生直线1的倾斜角a（aW90。）的____________

tana

2.倾斜角与斜率的对应关系

二

图示二’7一

3X

rO

°

倾斜角

a=0°0°<a<90°a=____90°<a<180°

（范围）

斜率斜率不

0大于0小于0

（范围）存在

一、选择题

1.对于以下命题

①假设a是直线/的倾斜角，则0°<«<180°;

②假设A是直线的斜率，则ZGR；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.斜率为2的直线经过点4（3,5）、-3,7）、C（T,与三点，则八b的值为（）

A.a—4,b—0B.a——4,b——3

C.a=4,h=~3D.〃=—4,h=3

3.设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转45。,

得到直线小那么人的倾斜角为（）

A.a+45°

B.«-135°

C.135。一a

D.当（TWa<135。时，倾斜角为a+45。；当135。Wa<180。时，倾斜角为a-135。

4.直线/过原点（0,0）,且不过第三象限，那么/的倾斜角a的取值范围是（）

A.[0°,90°]B.[90°,180°）

C.[90°,180。）或a=0。D.[90°,135°J

5.假设图中直线小12、/3的斜率分别为心、心、依，则（）

A..ki<k\<ki

C.ki<k2<k\D.k\<k，3<kz

6.直线1=0同时过第一、三、四象限的条件是（）

A.nm>0B.mn<0

C.m>0,/?<0D.m<0,n<0

二、填空题

7.假设直线AB与y轴的夹角为60。，则直线AB的倾斜角为,斜率为

8.如图，4ABC为等腰三角形，且底边8C与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜

率之和为•

9.直线/的倾斜角为a—20。，则a的取值范围是.

三、解答题

10.如以以下列图，菱形ABQ9中，ZBAD=60°,求菱形A8CD各边和两条对角线所

在直线的倾斜角和斜率.

11.一条光线从点4-1,3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点8（3,1）,求P点

的坐标.

【能力提升】

12.实数x,y满足y=-2x+8,当2WxW3时，求金的最大值和最小值.

13.函数,/（x）=k）g2（x+l）,a>b>c>0,贝吟^的大小关系是.

1.利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜

率不存在的情况在解题中容易无视，应引起注意.

2.三点共线问题：（1）三点A,B,C,假设直线A8,AC的斜率一样，则三点共线；（2）

三点共线问题也可利用线段相等来求，假设|AB|+|BC|=|AC|,也可断定A,B,C三点共线.

3.斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾

斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意

想不到的效果.

第三章直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率

答案

知识梳理

1.相交X轴正向向上方向正切值

2.90°

作业设计

1.C[①②③正确.]

If-bl--53=2

1IAC=2,

2.C[由题意，得即

kAB—2,

解得a=4,b=—3.J

3.D[因为0。忘01<180。，显然A,B,C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画

图（如以以下列图）可知：

当（rWa<135。时，倾斜角为a+45。；

当135°Wa<180°时，倾斜角为45°+a—180°=a-135°.]

4.C[倾斜角的取值范围为0。为<180。，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴

和y轴.]

5.D[由图可知，k,<0,k2>0,k3>0,

且k比b的倾斜角大.，ki〈k3<k2.]

6.C[由题意知，直线与x轴不垂直，故nWO.直线方程化为y=一簧+孑，则一与>0,

且不0,即m>0,n<0.]

7.30。或150°坐或一坐8.0

9.20°^a<200°

解析因为直线的倾斜角的范围是[0。，180。)，

所以(TWa—20。<180。，解之可得2(rWa<200。.

10.解aAD=ctBC=60°,aAB=aDC=0°,aAc=30°,aBD=120°.

rj

kAD=kBc=小，kAB=kcD=0,kAc—3,kBD—

3—03

11.解设P(x,0),则kpA=^j—=—F，

—1—Xx+1

,1—0]?、日K4

kpB=3_x=3-x，依就意，

由光的反射定律得kpA=-kpB,

即币3=亡1，解得x=2,即P(2,0).

12.解

3=弓其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率.

xxU

点(X,y)满足y=-2x+8,且2WxW3,则点(x,y)在线段AB上，并且A、B两点的

2

坐标分别为A(2,4),B(3,2),如以以下列图.则koA=2,koB=J

所以得乎的最大值为2,最小值为圣

XD

3典典

'cba

解析画出函数的草图如图，中可视为过原点直线的斜率.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两

条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.

1.两条直线平行与斜率的关系

(1)对于两条不重合的直线八，11，其斜率分别为包、％2,有/1〃/2=.

(2)如果直线小/2的斜率都不存在，并且与/2不重合，那么它们都与垂直，

故h-

2.两条直线垂直与斜率的关系

(1)如果直线/k/2的斜率都存在，并且分别为21、h，那么.

(2)如果两条直线从/2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么人与，2的位置关系

是.

一、选择题

1.有以下几种说法：(/卜/2不重合)

①假设直线/2都有斜率且斜率相等，则人〃/2；

②假设直线则它们的斜率互为负倒数：

③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；

④只有斜率相等的两条直线才一定平行.

以上说法中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.0

2.以A(—1,1)、8(2,-1)、C(l,4)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A点为直角顶点的直角三角形

D.以8点为直角顶点的直角三角形

3.A(l,2),8(m,1),直线AB与直线y=0垂直，则根的值()

A.2B.1C.0D.-1

4.A(m,3),B(2m,m+4),C(w+1,2),。(1,0),且直线4B与直线CD平行，则，〃的值

为()

A.1B.0C.0或2D.0或1

5.假设直线h/2的倾斜角分别为外、«2,且则有()

A.(x.\一仪2=90°B.。2一8=90°

C.|虑一81=90。D.ai+a2=180°

6.顺次连接A(—4,3),8(2,5),C(6,3),。(一3,0)所构成的图形是()

A.平行四边形B.直角梯形

C.等腰梯形D.以上都不对

二、填空题

7.如果直线乙的斜率为4,/1±/2,则直线/2的斜率为.

8.直线/”/2的斜率是关于k的方程2必一3Z—6=0的两根，假设则6

=；假设/1〃，2，则h=.

9.直线/i的倾斜角为60。，直线6经过点A(l,6)，B(-2,一2回则直线八，b的

位置关系是.

三、解答题

10.ZX/IBC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高

所在直线的斜率.

11.△ABC的顶点坐标为A(5,-1),8(1,1),C(2,m)，假设△ABC为直角三角形，试

求m的值.

【能力提升】

12./XABC的顶点B(2,l),C(—6,3),其垂心为H(—3,2),则其顶点A的坐标为.

13.四边形ABCO的顶点A(〃z,ri),3(5,-1),C(4,2),0(2,2),求加和〃的值，使四

边形A8C。为直角梯形.

判定两条直线是平行还是垂直要"三看"：一看斜率是否存在，假设两直线的斜率都不

存在，则两直线平行，假设一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；

斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为一1；两直线斜率相等时，三看两直线

是否重合，假设不重合，则两直线平行.

3.1.2两条直线平行与垂直的判定答案

知识梳理

1.(l)kl=k2(2)x轴〃

2.(l)k|k2=-l(2)垂直

作业设计

1.B[①③正确，②④不正确，h或L可能斜率不存在.]

23

k

2.C[kAB=_3(AC=2>kAC，kAB=11,AAB±AC.J

3.B[直线AB应与x轴垂直，A,B横坐标一样.]

4.D[当AB与CD斜率均不存在时，m=0,此时AB〃CD,当kAB=kcD时，m=l,

此时AB〃CD.]

5.C

6.B[kAB=koc,kAi#kBc,1<AD,1<AB=-1>故构成的图形为直角梯形.]

7.-—或不存在

8.2

o

解析假设h_L12,则kik2=—¥=—1,."二？.

9

假设h〃b,则ki=k2,A=9+8b=0,，b=一五.

o

9.平行或重合

解析由题意可知直线h的斜率％=勿"60。=小,

直线12的斜率k2=-2冲—产=木,

-2—1Y

因为ki=k2,所以li〃L或h,b重合.

10.解

由斜率公式可得

,6—(—4)5

kAB=6一(一2)=3

6-6

kBC=15=°，

6-(—4)

kAC=0-(-2)=5.

由kfjc=0知直线BC〃x轴，

...BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.

设AB、AC边上高线的斜率分别为ki、k2,

由kpkAB——1,k2-kAC——1.

即kr|=-1,k2-5=-1,

解得ki=-,,k2=—

ABC边上的高所在直线斜率不存在;

AB边上的高所在直线斜率为一点

AC边上的高所在直线斜率为一点

&力-1-11

11.KAB_5_j—2，kAC

ksc=2_[=m-1.

假设AB_LAC,则有一；(一气’)=-1,

所以m=-7.

假设AB_LBC,则有一去(m-l)=-l,

所以m=3.

假设ACLBC,则有一气」.(m-l)=-l，

所以m=±2.

综上可知，所求m的值为一7,±2,3.

12.(-19,-62)

解析设A(x,y),VAC±BH,AB1CH,

且kBH=_.,

kcH=—

、一3

=5,

x+6x=-19,

解得，

y—1y=-62.

----=3

lx—2

13.解

•・,四边形ABCD是直角梯形，，有2种情形:

⑴AB〃CD,AB1AD,

由图可知：A(2,-1).

(2)AD〃BC,AD_LAB,

n—2__3

kAD=kBCm—2—1

kAD・kAB=-1n—2n+1

m—2m—5

§3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

【课时目标】1.掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素.2.会求直线的点斜式方

程与斜截式方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的点斜式方程和斜截式方程

名称条件示意图方程使用范围

点y

/cwo)斜率

斜点P(M),比)

在

_乙存

式和斜率k/0X

斜存在

斜率左和在)，V

截斜率

轴上的截距bO—

式

2.对于直线八：y—k\x+b\,Z2：y—k2x+b2>

(1)/1〃/2«；

(2)/1±/2«.

一、选择题

1.方程y=%(x-2)表示()

A.通过点(-2,0)的所有直线

B.通过点(2,0)的所有直线

C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线

D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线

2.直线的倾斜角为60。，在y轴上的截距为一2,则此直线方程为()

A.B.y=—*73x+2

C.y———2D.y—y[3x—2

3.直线通过第一、三、四象限，则有()

A.k>0,b>0B.%>0,b<0

C.k<0,b>0D.KO,b<0

4.直线y=or+方和在同一坐标系中的图形可能是()

5.集合4=｛直线的斜截式方程｝,8=｛一次函数的解析式｝,则集合A、B间的关系是

)

A.A=BB.BA

C.4BD.以上都不对

6.直线自一y+1-3%=。当k变化时，所有的直线恒过定点()

A.(1,3)B.(—1,—3)

C.(3,1)D.(-3,-1)

二、填空题

7.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90。，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为

8.一条直线经过点P(l,2)且与直线y=2x+3平行，则该直线的点斜式方程是.

9.以下四个结论：

①方程上=淆与方程y—2=Mx+l)可表示同一直线；

②直线/过点P3,»),倾斜角为90。，则其方程是x=xi：

③直线/过点P(xi,X),斜率为0,则其方程是y=yi；

④所有的直线都有点斜式和斜截式方程.

正确的为(填序号).

三、解答题

10.写出以下直线的点斜式方程.

⑴经过点4(2,5),且与直线y=2x+7平行；

(2)经过点C(—1,—1),且与x轴平行.

11.aABC的三个顶点坐标分别是A(—5,0),8(3,-3),C(0,2),求BC边上的高所在

的直线方程.

【能力提升】

12.直线/的斜率制，且和两坐标轴围成三角形的面积为3,求/的方程.

13.等腰AABC的顶点A(—1,2),AC的斜率为S，点8(—3,2),求直线AC、BC及4

A的平分线所在直线方程.

1.直线/经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程.用点斜式求直线方

程时，必须保证该直线斜率存在.而过点P(M,yo),斜率不存在的直线方程为x=xo.直线

的斜截式方程是点斜式的特例.

2.求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方

程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而到达求出直线方程的目的.但在

求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形.

§3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

答案

知识梳理

1.y-yo=k(x—xo)y=kx+b

2.(I)ki=k2且biNbz(2)kik2=-1

作业设计

i.q易验证直线通过点(2,o),又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.]

2.D[直线的倾斜角为60。，则其斜率为小，

利用斜截式直接写方程.]

3.B4.D

5.B[一次函数y=kx+b(kWO)；

直线的斜截式方程y=kx+b中k可以是0,所以BA.J

6.C[直线kx—y+l—3k=0变形为y-l=k(x-3),

由直线的点斜式可得直线恒过定点(3』).]

r1,1

7.y=-3%+3

解析直线y=3x绕原点逆时针旋转90。所得到的直线方程为y—|x,再将该直线向

右平移1个单位得到的直线方程为y=-|(x-l),即y=-|x+|.

8.y—2=2(x—1)

9.②③

10.解(1)由题意知，直线的斜率为2,

所以其点斜式方程为y—5=2(x—2).

(2)由题意知，直线的斜率1<=柩〃0。=0,

所以直线的点斜式方程为y—(—1)=0,即y=-l.

11.解设BC边上的高为AD,贝i」BC_LAD,

.2+3,3

***kADekBC=-1»・・0_3，kAD=-1,解得kAD=§.

3

ABC边上的高所在的直线方程为y-0=5(x+5),

3

即y=,x+3.

12.解设直线1的方程为y=1x+b,

则x=0时，y=b；y=0时，x=-6b.

由可得去IbH6bl=3,

即61bl2=6,/.b=±l.

故所求直线方程为y=/x+l或y=1x—1.

13.解直线AC的方程：y=，5x+2+/.

：AB〃x轴，AC的倾斜角为60。,

ABC的倾斜角为30。或120°.

当a=30。时，BC方程为y=^x+2+，§,NA平分线倾斜角为120。，

・••所在直线方程为y=—，5x+2一木.

当a=120。时，BC方程为y=—5x+2—35，NA平分线倾斜角为30。，

••所在直线万程为y=2^+2+-^-.

3.2.2直线的两点式方程

【课时目标】1.掌握直线方程的两点式.2.掌握直线方程的截距式.3.进一步稳

固截距的概念.

1.直线方程的两点式和截距式

名称条件示意图方程使用范围

两PGi，yD，y-yi__

点尸2(必丫2)，”一）'i斜率存在

式其中％1#也，-―一汨且不为0

X2~X]

截一

距在x,y轴上的斜率存在且不为0,

式截距分别为a,bKab^Ok不过原点

2.线I费的中点坐标公式

X—

假设点尸|、己的坐标分别为⑶，9)、(X2,")，设P(X,y)是线段P1P2的中点，则，

户

一、选择题

1.以下说法正确的选项是()

A.方程m=%表示过点M(»,%)且斜率为％的直线方程

B.在x轴、)，轴上的截距分别为a,6的直线方程为§+1=1

C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b

D.不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式

2.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()

A.可以写成两点式或截距式

B.可以写成两点式或斜截式或点斜式

C.可以写成点斜式或截距式

D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

3.直线今一方=1在y轴上的截距是()

A.\b\B.一b2c.〃D.±b

4.在小y轴上的截距分别是一3、4的直线方程是()

A.±+；=1B.1+士=1

。言-；=1D.m=i

5・直线与:f=1在同一坐标系中的图象可能是()

6.过点(5,2),且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的

直线方程是()

A.2x+>'_12=0

B.2r+y—12=0或2x—5y=0

C.x~2y~\=0

D.x+2y-9=0或2x-5y=0

二、填空题

7.点A(l,2),8(3,1),则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为.

8.过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是

9.过点P(l,3)的直线/分别与两坐标轴交于A、B两点，假设P为4B的中点，则直线

I的截距式是.

三、解答题_

10.直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为顺，求直线/的方程.

II.三角形ABC的三个顶点分别为4(0,4),5(-2,6),C(一8,0).

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程.

【能力提升】

12.点A(2,5)与点8(4,—7),点尸在y轴上，假设附|+|尸8|的值最小，则点P的坐标

是•

13.直线/经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线/的方程.

1.直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时

要全面考虑.(1)点斜式应注意过P(M,州)且斜率不存在的情况.(2)斜截式，要注意斜率不

存在的情况.(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况.(4)截距式要注意截距

都存在的条件.

2.直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何

特征，求直线方程.

3.强调两个问题：

(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表

示，而应用丫=履表示.不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y=l没有横截距，x=

2没有纵截距.

y2—yiy~-।X~~~^X\

(2)方程*一©)(丁不垃)与;，,=#_「(X|WX2,yiw>2)以及。，一%)(X2-X|)

X2Al>2y\A2A]

=(x—xi)02—yi)代表的直线范围不同(想一想，为什么).

3.2.2直线的两点式方程答案

知识梳理

L\卜1

xi+xzyi+yz

2・22

作业设计

1.A2.B

3.B[令x=0得，y=-b2.]

4.A

5.B[两直线的方程分别化为斜截式：丫=与<一n,

y=^x-m,易知两直线的斜率的符号一样，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符

号一样.]

6.D[当y轴上截距b=0时，方程设为丫=10<,

2

将(5,2)代入得，y=gX,即2x—5y=0；

当bWO时，方程设为东+土=1,求得b=3,・,•选Q.]

3

7,y-2=2(x-2)

解析kAB=—由kkAB=-1得

k=2,AB的中点坐标为(2,2，

3

点斜式方程为y—]=2(x—2).

解析设直线方程的截距式为右+『，则后+?=1，解得a=2或a=l,则直

线的方程是舁/尹1或日产+=1，即方+尹1或烹+y=l.

9-2+6=1

解析设A(m,0),B(0,n),由P(l,3)是AB的中点可得m=2,n=6,

即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6).

则1的方程为'看=1.

10.解方法一设所求直线1的方程为丫=1«+1?.

：k=6,方程为y=6x+b.

令x=0,...y=b,与y轴的交点为(0,b)；

令y=0,；.x=—/与x轴的交点为(一看，0).

根据勾股定理得(一§2+b2=37,

，b=±6.因此直线1的方程为y=6x±6.

方法二设所求直线为:+a=1,则与x轴、y轴的交点分别为（a,0）、（0,b）.

由勾股定理知a2+b2=37.

fa2+b2=37,

a=1,a=—1,

解此方程组可得b=-6或'

b=6.

因此所求直线1的方程为x+±=l或-x+5=l.

11.解⑴由截距式得春+点=1,

AAC所在直线方程为x—2y+8=0,

由两点式得公=土，

AB所在直线方程为x+y—4=0.

（2）D点坐标为（一4,2）,由两点式得专生.

ABD所在直线方程为2x-y+10=0.

（3）由kAc=4，，AC边上的中垂线的斜率为一2,

又口（一4,2）,由点斜式得y-2=-2（x+4）,

.二AC边上的中垂线所在直线方程为2x+y+6=0.

12.（0,1）

解析要使|PA|+|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A'（—2,5）,连接A'B,

直线A'B与y轴的交点P即为所求点.

13.解当直线1经过原点时，直线1在两坐标轴上截距均等于0,故直线1的斜率为今

•••所求直线方程为y=1x,

即X—7y=0.

当直线1不过原点时，设其方程dD

由题意可得a+b=0,①

71

又1经过点（7,1）,有a:+二D=1，②

由①②得a=6,b=-6,贝心的方程为a+t=1,即x-y-6=0.

o_o

故所求直线1的方程为X—7y=0或X—y—6=0.

3.2.3直线的一般式方程

【课时目标】1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.根

据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系.

1.关于x,y的二元一次方程（其中4,B）叫做直线

的一般式方程，简称一般式.

2.比较直线方程的五种形式（填空）

各常数的

形式方程局限

几何意义

点斜式不能表示k不存在的直线国），州）是直线上一定点，”是斜率

斜截式不能表示A不存在的直线人是斜率，b是y轴上的截距

两点式xiWx2，yiW”（XI，＞］）、（孙＞2）是直线上两个定点

不能表示与坐标轴平行及过原a是x轴上的非零截距，〃是y轴上的非零

截距式

点的直线截距

当BWO时，一视斜率，一多是y轴上的

•般式无

截距

一、选择题

1.假设方程Ax+By+C=O表示直线，则A、B应满足的条件为()

A.4KoB.BW。

C.ABWOD.A2+B2^O

2.直线(2,〃2—5"?+2)1—(*-4»+5«1=0的倾斜角为45。，则，”的值为()

A.-2B.2C.-3D.3

3.直线x+2qy—1=0与(a—l)x+ay+1=0平行，则a的值为()

A.：B..或0

C.0D.-2或0

4.直线/过点(一1,2)且与直线2x—3y+4=0垂直，则/的方程是()

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2r-3y+5=0D.2x-3y+8=0

5.直线A：ax—y+〃=0,k：y+a=0(aW0,bWO,aWb)在同一坐标系中的图形

大致是()

6.直线办+by+c=0(而W0)在两坐标轴上的截距相等，则a,b,c满足()

A.a=bB.同=|可且cWO

C.a=6且cWOD.a=b或c=0

二、填空题

7.直线x+2y+6=0化为斜截式为,化为截式为.

8.方程(2m1+%-3)x+(m2—m)y—4机+1=0表示直线，则m的取值范围是

9.4(0』)，点8在直线小x+)=0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方

程为.

三、解答题

10.根据以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率为小，且经过点45,3)；

(2)过点B(—3,0),且垂直于x轴；

(3)斜率为4,在)，轴上的截距为一2；

(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴；

(5)经过C(—1,5),D(2,一1)两点；

(6)在x轴，y轴上截距分别是一3,—1.

11.直线/i：(%+3)x+y—3wi+4=0,h-.7x+(5一"8=0,问当％为何值时，直线

/1与，2平行.

【能力提升】

12.将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(加，〃)重合，则根

+"的值为()

34

A.8B.yC.4D.11

13.直线/：5at—5y—a+3=O.

(1)求证：不管“为何值，直线/总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.

1.在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变

得简捷.

2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现

形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式^化为截

距式有两种方法：一是令x=0,y=0,求得直线在y轴上的截距B和在x轴上的截距A；二

是移常项，得AX+B)，=—c,两边除以一c(cro),再整理即可.

3.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：

①假设一个斜率为零，另一个不存在则垂直.假设两个都存在斜率，化成斜截式后则

k\kz=-1.

②一般地，设入4x+5iy+G=0,

I?：+C2=0,

A,4=44+8区=0,第二种方法可防止讨论，减小失误.

3.2.3直线的一般式方程答案

知识梳理

1.Ax+By+C=0不同时为0

,一y-yix-xi

2.y—y0=k(x—xo)y=kx+b---------=---------

y2yix2-xi

；+卡=1Ax+By+C=O

作业设计

1.D

,_o2m2—5m+2

2.D[由得m2—4W0,M且---s—;-=1,

m一一4

解得：m=3或m=2(舍去).]

3.A

33

4.A[由题意知，直线1的斜率为一家因此直线1的方程为y—2=—京x+1),

即3x+2y-l=O.]

5.C[将h与12的方程化为斜截式得：

y=ax+b,y=bx+a,

根据斜率和截距的符号可得C.]

6.D[直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形：

(1)截距等于0,此时只要c=0即可；

(2)截距不等于0,此时cr0,直线在两坐标轴上的截距分别为一※一巳假设相等,

dD

则有一7=弋，即a=b・

dD

综合(1)(2)可知，假设ax+by+c=O(ab/O)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a

=b或c=0.]

7.y=-1x-3大+士=1

8.m£R且加#1

解析由题意知，2m2+m-3与62一相不能同时为0,

3

由2m2+加一3W0得mWl且2；

由加2一mwo,得且mW1,故m#1.

9.工一y+l=0

解析ABJJi时，A8最短，所以A8斜率为k=l,

方程为yl=x,即x—y+l=0.

10.解(1)由点斜式方程得y—3=小(苫-5),

即小工一)，+3—5小=0.

(2次=-3,即x+3=0.

(3)y=4x—2,即4x—y—2=0.

(4)y=3,即y—3=0.

(5)由两点式方程得三亍二3；,

即2x+y-3=o.

(6)由截距式方程得金+嗨=1,即x+3y+3=0.

11.解当m=5时，h：8x+y-ll=0,/2：7x~8=0.

显然/1与/2不平行，同理，当机=-3时，/1与，2也不平行.

卜佃+3)=；士

当初#5且机#—3时，°，

m=-2.

・・・加为一2时，直线/]与/2平行.

12.B[点(0,2)与点(4,0)关于直线)，-1=2(工一2)对称，则点(7,3)与点(〃?，〃)也关于直线

y—1=2(x—2)对称，

故机+〃=写,]

13.

31

(1)证明将直线/的方程整理为y—m=a(x—5)，・・・/的斜率为m

且过定点A4，1).

而点也，!)在第一象限，故/过第一象限.

不管。为何值，直线/总经过第一象限.

1-0

(2)解直线OA的斜率为％—=3.

5-0

不经过第二象限，二。》？.

§3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两条直线的交点坐标

【课时目标】1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通过求方程组解的个数，判定

两直线位置关系的方法.3.通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.

1.两条直线的交点

两直线/i：A\x-\~B\y~\-C\=0；fe：A2x+&y+C2=0.

[A[x+B\y+Ci=0\X=XQ

假设两直线方程组成的方程组।\「有唯一解，则两直线______,

[A2%十82丫+。2=0ly=yo

交点坐标为________.

’2.方程组的解的组数与两直线的位置关系

方程组两直线

交点方程系数特征

的解位置关系

A\B2=AZB\

无解两直线一交点平行

31c2W