中考数学试卷分类汇编 直线与圆的位置关系

2011年中考数学试卷分类汇编：33直线与圆的位置关系

一、选择题

1.（2011宁波市，11,3分）如图，。。/的半径为1,正方形ABC。的边长为6,点。2为

正方形ABCD的中心，0。2垂直A8与P点，002=8.若将。。/绕点P按顺时针方

向旋转360。，在旋转过程中，。。/与正方形ABC。的边只有一个公共点的情况一共

【答案】B

2.（2011浙江台州，10,4分）如图，OO的半径为2,点O到直线1的距离为3,点P是直

线1上的一个动点，PB切。。于点B,则PB的最小值是（）

【答案】B

3.（2011浙江温州，10,4分）如图，。是正方形ABC。的对角线8。上一点，OO边A8,

BC都相切，点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与

相切，此时点。恰好落在圆心。处.若DE=2,则正方形ABC。的边长是（）

（第10题图）

A.3B.4C.2+0D.20

【答案】c

4.（2011浙江丽水，10,3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧,

点8与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

C.点(5,1)D.点(6,1)

【答案】C

5.（2011浙江金华，10,3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧,

点8与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

【答案】C

6.（2011山东日照，11,4分）已知AC_LBC于C,BC=a,CA=b,A8=c,下列选项中。。

【答案】C

7.（20H湖北鄂州，13,3分）如图，AB为。O的直径，PD切（30于点C,交AB的延

长线于D,且CO=CD,则NPCA=()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

p

c

第13题图

【答案】D

8.（2011浙江湖州，9,3）如图，已知43是。。的直径，C是43延长线上一点，BC=OB,

CE是。。的切线，切点为。，过点A作垂足为E,则CDOE的值是

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】C

9.（2011台湾全区，33）如图（十五），瓦后为圆。的直径，在圆。上取异于A、8的一点

C,并连接就、

AC.若想在而上取一点P,使得尸与直线8C的距离等于无「长，判断下列四个作法何

者正确？

88(+5.)

A.作AC的中垂线，交A3于P点

B.作NACB的角平分线，交通于尸点

C.作/ABC的角平分线，交衣于。点，过。作直线BC的并行线，交彳后于P点

D.过A作圆。的切线，交直线8c于。点，作/AOC的角平分线，交通于P点

【答案】D

10.（2011甘肃兰州，3,4分）如图，AB是。O的直径，点D在AB的延长线上，DC切

。。于点C,若/A=25°,则/D等于

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

11.（2011四川成都，10,3分）已知00的面积为9在加2,若点0到直线/的距离为由篦,

则直线/与。0的位置关系是c

（A）相交（B）相切（C）相离（D）无法确定

【答案】C

12.（2011重庆泰江，7,4分）如图,B4、尸3是。。的切线，切点是A、B,已知NP=60。，

。4=3,那么/AOB所对弧的长度为（）

A.6JIB.5JIC.3JID.2JI

【答案1D

13.（2011湖北黄冈，13,3分）如图，AB为。O的直径，PD切。O于点C,交AB的延

长线于D,且CO=CD,则NPCA=（）

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

第13题图

【答案】D

14.（2011山东东营，12,3分）如图，直线y=]-x+近与x轴、y分别相交与A、B两

点，圆心P的坐标为（1,0）,圆P与y轴相切与点0。若将圆P沿X轴向左移动，当圆

P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

15.（2011浙江杭州，5,3）在平面直角坐标系尤0y中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的圆

（）

A.与％轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相切，与y轴相交D.与无轴相切,与y轴相离

【答案】C

16.（2011山东枣庄，7,3分）如图,K4是。。的切线，切点为A,B4=2A/3,ZAPG»=30°,

A.1B.A/3C.2D.4

【答案】C

二、填空题

1.（2011广东东莞，9,4分）如图，A8与。。相切于点B,A。的延长线交。。于点，连

结BC.若/A=40。，则NC=°

【答案】25°

2.（2011四川南充市，13,3分）如图，PA,PB是。。是切线，A,B为切点，AC是。O

的直径，若NBAC=25°，则/P=度.

【答案】50

3.（2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径八用角尺的较

短边紧靠O,并使较长边与。相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点8,

较短边AB=8cm.若读得BC长为em,则用含a的代数式表示r为.

（第16题）

【答案】当0<a<8时，r=a；当

a>8时，r=—«2+4.或当0<r<8,r=a;当r+4.

1616

4.（2011浙江绍兴，16,5分）如图，相距2cm的两个点A,3在在线/上，它们分别以2cm/s

和Icm/s的速度在/上同时向右平移，当点A3分别平移到点4,4的位置时，半径为1cm

的A,与半径为3q的3相切，则点A平移到点4的所用时间为s.

~AB~

第16题图

【答案】1或3

3

5.（2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是。0的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC,

CD与。。相切，切点为D.若CD=百，则线段BC的长度等于.

【答案】1

6.（20H江苏宿迁,17,3分）如图，从。。外一点A引圆的切线A3,切点为2,连接49并

延长交圆于点C,连接BC.若/A=26°,则/AC8的度数为▲.

（第17题）*

【答案】32

7.（2011山东济宁，13,3分）如图，在Rt/UBC中，N“C=90。，/4=60。，BC=4cm,

以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则0c与48的位置关系是.

【答案】相交

8.（2011广东汕头，9,4分）如图，A3与。。相切于点8,A。的延长线交。。于点，连

结BC.若NA=40。，则NC=°

【答案】25°

9.（2011山东威海，17,3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）

纸片放置成轴对称图形，/AC3=9（F,C£），AB,垂足为D,半圆（量角器）的圆心与点D重

合，没得CE=5cm,将量角器沿。C方向平移2cm,半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、

2C相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）

图①（第17题）图②

【答案】24.5

10.（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是。。的切线，A、B为切点，AC是。。的直

径，ZP=40°,贝Ij/BAC=.

（第11题图）

【答案】20。

11.（2010湖北孝感，18,3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C,大半

圆M的弦AB与小半圆N相切于点F,且AB〃CD,AB=4,设CD、CE的长分别为x、y,线

段ED的长为z,则z(x+y)=.

【答案】8n

12.(2011广东省，9,4分)如图，48与。。相切于点8,A。的延长线交。。于点，连

结BC.若乙4=40。，则/C=____°

1■

【答案】25°

三、解答题

1.(2011浙江义乌，21,8分)如图,已知。0的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点

E.。。的切线3尸与弦AO的

延长线相交于点R且AD=3,cosZBCD=.

(1)求证：CD//BF-,

(2)求。。的半径；

(3)求弦C。的长.

A

D

【答案】（1）・・・3/是。0的切线：.AB±BF

9：ABLCD

J.CD//BF

(2)连结3。TAB是直径AZADB=90°

3

・.•ZBCD=ZBADcosZBCD=-

4

AD3

cosZBAD=----二—

AB4

又・.・AZ)=3：.AB=4

・・・。0的半径为2

A

Ap39

(3)VcosXDAE==—AD=3.\AE=—

2.（2011浙江省舟山，22,10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D,

ZACD=ZABC.

（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点,已知8E=6,tanZABC=-,tanZAEC=-,求圆的直径.

33

A

（第22题）

【答案】（1）是直径，?.^BDC=90°,：,ZABC+ZDCB=9Q°,VZACD=ZABC,

：.ZACD+ZDCB=9G°,：.BC±CA,是圆的切线.

5AC53

（2）在RtAAEC中，tan^AEC--,-----=—,EC——AC;

3EC35

2AC23

在RtAABC中，tan^ABC=一，-----=—,BC=—AC;

3BC32

3320

•：BC-EC=BE,BE=6,：.-AC一一AC=6,解得AC=—，

253

320

.-.BC=-x—=10.即圆的直径为10.

23

3.（2011安徽芜湖，23,12分）如图，已知直线PA交。。于A、8两点，AE是。。

的直径，点C为。。上一点，且AC平分NP4E,过C作垂足为D

(1)求证：CD为。。的切线；

(2)若。C+D4=6,。。的直径为10,求AB的长度.

第23题图

【答案】

(1)证明：连接。C,1分

因为点C在。。上，04=OC,所以NOCA=NOAC.因为CD，PA,所以NCZM=90,

有=.因为AC平分NB4E,所以ND4C=NC4O....................3分

所以NDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZCAO=ZDCA+ADAC=90.……4分

又因为点C在。。上，OC为。。的半径，所以。为。。的切线......................5分

(2)解:过。作AB,垂足为F,所以/。8=/84=/。㈤=90,

所以四边形OCDF为矩形所

OC=FD,OF=CD.........................................7分

第23题答案图

因为DC+DA=6,设AD=x，则OF=CD=6-x.

因为。。的直径为10,所以=OC=5,所以AF=5—x.

SRtAAOF中，由勾股定理知+O尸2=°A2.

即（5-x）2+（6-%）2=25.化简得X2-11X+18=0,

解得x=2或x=9.............9分

由知0cx<5,故x=2.......10分

从而AD=2,AF=5—2=3..............11分

因为。尸，A3,由垂径定理知/为A8的中点，所以AB=2Ab=6........12分

4.（2011山东滨州，22,8分）如图，直线切。。于点M直线PO交。。于A、2两

点，弦AC〃PM,连接OM、BC.

求证：（1）AABCsMOM;

⑵20A2=OP.BC.

（第22题图）

【答案】证明：（1）:直线PM切。。于点M,.•./PM0=90°............1分

,弦AB是直径，,\ZACB=90o............2分

ZACB=ZPM0............3分

:AC〃PM,/.ZCAB=ZP............4分

AABC^APOM5分

ABBC八

(z2)x,/AABC^APOM,/.——=....6分

POOM

r2OABC八

又AB=2OA,OA=OM,/.----=——.............7分

POOA

.\2OA2=OP•BC............8分

5.(2011山东荷泽，18,10分)如图，BD为。。的直径，AB^AC,AD交BC于点E,AE=2,

ED=4,

(1)求证：△ABEs^ADB；

(2)求AB的长；

(3)延长。B到R使得BF=BO,连接出，试判断直线刚与。。的位置关系，并说明

理由.

解：(1)证明：-：AB=AC,：.ZABC=ZC,

VZC=ZZ),ZABC=ZD,

又ZBAE=ZEAB,：.AABEsAADB,

ADAJ7

(2)AABEs/\ADB,：________，

ADAB

：.AB2=AD-AE=(AE+ED)-AE=(2+4)x2=n

：.AB=2^3.

(3)直线曲与。。相切，理由如下：

连接OA,为。。的直径，ZBAD=90°,

：.BD=JG+M=J12+(2+4)2=历,

BF=BO=-BD=243,

2

,:AB=2也,：.BF=BO=AB,可证NOAB=90°,

.,.直线曲与。。相切.

6.（2011山东日照，21,9分）如图，AB是。。的直径，AC是弦，CZ）是。。的切线，C

为切点，4。，。于点。.

求证：(1)ZAOC=2ZACD；

(2)AC2=ABAD.

【答案】证明：(1)；CZ>是。。的切线，...NOCZ>=90°,

即乙4。。+乙4。。=90°.…①'：OC=OA,：.ZACO^ZCAO,

：.ZAOC=180°-2ZACO,即工NAOC+NACO=90。.②由①，②，得：

2

ZACD--ZAOC=Q,即ZAOC=2ZACD；

2

(2)如图，连接3c.

'..AB是直径，AZACB=90°.

在RtAACD与4RtACD中，

VZAOC=2ZB,；.NB=NACD,

ACAD

：./A\ACD^/A\ABC,：.——=——，BanPAC2=AB•AD.

7.（2011浙江温州，20,8分）如图，AB是。。的直径，弦COLAB于点E,过点8作。。

的切线，交AC的延长线于点?已知。4=3,AE=2,

⑴求CD的长；

（2）求BF的长.

A

（第20题图）

【答案】解：（1）连结。C,在RMOCE中，CE=yjoc2-OE2=^/9Zl=272.

,：CD1.AB,

：.CD=3CE=4直

FB

(第20题图)

(2)•.,5月是。O的切线，

.•.尸5_L4B,

J.CE//FB,

：./\ACE^/\AFB,

,CE_AE2A/2_2

,•而一耘‘BF~6'

：.BF=6应

8.(2011浙江省嘉兴，22,12分)如图，AA8C中，以BC为直径的圆交A3于点D,

ZACD=ZABC.

(1)求证：CA是圆的切线；

75

(2)若点E是3C上一点，已知3E=6,tanZABC=-,tanZAEC=-,求圆的直径.

33

（第22题）

【答案】(1)是直径，ZBDC=9Q°,AZABC+ZDCB^°,,：ZACD=ZABC,

：.^ACD+^DCB=9Q°,：.BC±CA,；.CA是圆的切线.

5AC53

(2)在RtAAEC中，tanZAEC=~,：.——=-,EC=-AC;

3EC35

2AC23

在RtAABC中，tanNABC=一，-----=一,BC=—AC;

3BC32

3320

'：BC-EC=BE,BE=6,：.-AC一一AC=6AC=—,

253

320

BC=-x——=10.即圆的直径为10.

23

9.(2011广东株洲，22,8分)如图，AB为。0的直径，BC为。0的切线，47交。0于点E,

D为AC上一点，ZA0D=ZC.

(1)求证：0D±AC；

3

(2)若AE=8,tanA=-,求0D的长.

【答案】(1)证明：：BC是。。的切线，AB为。0的直径

AZABC=90°,ZA+ZC=90°,

又：/AOD=NC,

AZA0D+ZA=90°,

.•.ZAD0=90°,

.,.OD±AC.

(2)解：VODXAE,O为圆心，

；.D为AE中点，

/.AD=-AE=4,

2

0

又tanA,3=—,/.OD=3.

4

10.(2011山东济宁，20,7分)如图，AB是。。的直径，AM和8N是它的两条切线，DE

切。。于点E,交AM于点交BN于点、C,尸是CZ)的中点，连接。凡

(1)求证：OD〃BE；

(2)猜想：。F与。有何数量关系？并说明理由.

第20题

【答案】（1）证明：连接OE,

,：AM.是。。的切线，04、OE是。。的半径,

/WO=/EDO,NDAO=NDEO=90°,

1

NAOD=NEOD=—NAOE,

2

1

,?/ABE=-NAOE,：.NAOD=/ABE,

2

：.OD〃BE

（2）OF=-CD,

2

理由：连接OC,

:BC、CE是。。的切线，

/OCB=/OCE

,:AM〃BN,

：.^ADO+^EDO+ZOCB+^OCE^O°

由（1）得NADO=/EDO,

/.2ZEDO+2ZOCE=180°,即4£>O+/OCE=90°

在RrWQOC中，是QC的中点,

1

：.OF=-CD.

2

11.(20H山东聊城，23,8分)如图，是半圆的直径，点。是圆心，点C是OA的中

点，COLOA交半圆于点。，点£是3。的中点，连接O。、AE,过点。作QP〃AE

交BA的延长线于点P,

(1)求NAOD的度数；

(2)求证：P。是半圆。的切线;

第23题图

【答案】(1),点C是。4的中点，：.OC^-OA^~OD,-：CD±OA,：.ZOCD^

22

OC1

90°,在RtAOCf)中，cosZCOD=——=一，：.ZCOD=60°,即NAOD=60°,

OD2

(2)证明：连接。C,点E是BD弧的中点，DEM=BE弧，；./BOE=/DOE=L/DOB

2

(180°—NCOD)=60°,"JOA^OE,；.NEAO=/AEO,又NEAO+NAEO=/EOB

2

=60°,：.ZEAO^30°,'：PD//AE,NP=/EAO=30°,由(1)知NAOD=60°,/.Z

PDO=180°-(ZP+ZPOD)=180°-(30°+60°)=90°,是圆O的切线

12.(2011山东潍坊，23,11分)如图，AB是半圆。的直径，42=2.射线AM、BN为半圆

的切线.在AM上取一点。，连接交半圆于点C,连接AC.过。点作8C的垂线OE,

垂足为点E,与8N相交于点?过。点做半圆的切线。尸，切点为P,与BN相交于点

Q-

(1)求证：AABC^zlOFB；

(2)当/ABD与△BP。的面积相等时，求BQ的长；

(3)求证：当。在AM上移动时(A点除外)，点。始终是线段BF的中点.

【解】(1)证明：为直径，

ZACB=90°,BPAC±BC.

又：OEJ_BC,：.OE//AC,：.ZBAC=ZFOB.

「BN是半圆的切线，故NBCA=N03尸=90°.

:.△ACBs^OBF.

(2)由得NOFB=/DBA,NDAB=/OBF=90°,

AABDsABFO,

当△AB。与△BFO的面积相等时，四△8F0.

1

.•.AZ)=BO=-AB=1.

2

VDAXAB,；.DA为。O的切线.

连接OP,P是半圆。的切线，

；.DA=DP=1,.*.DA=AO=OP=DP=1,

...四边形ADPO为正方形.

DP//AB，二四边形DABQ为矩形.

：.BQ=AD=1.

(3)由(2)知，AABDSABFO,

.••里=处，，BF=Z

OBADAD

:。尸。是半圆。的切线，：.AD=DP,QB=QP.

过点。作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt/\DQK中，DQ2=QK~+DK2,

：.(AD+BQ)2^(AD-BQ)2+22,

上，：.BF=2BQ,；.Q为的中点.

13.(2011四川广安，29,10分)如图8所示.尸是。。外一点.B4是0。的切线.A是切

点.8是。。上一点.且出=P8,连接A。、BO、AB,并延长80与切线用相交于点Q.

(1)求证：尸3是。。的切线；

(2)求证：AQPQ=OQBQ；

4,,,

(3)设/AO0=a.若cos(z=g.OQ=15.求AB的长

图8

【答案】(1)证明：如图，连结OP

'：PA=PB,AO=BO,PO=PO

:.AAPOqABPO：.ZPBO=ZPAO=90°

，尸2是0。的切线

(2)证明：'：ZOAQ=ZPBQ=90°

：.△QPBsAQOA

.PQ_BQ

即AQPQ=OQBQ

"OQ~AQ

(3)解：cosa=^^-=—

：.A0=\2

OQ5

△QPBsAQOAZBPQ=ZAOQ^a

tan/BPQ==—.•.尸8=36PO=12A/W

PB4

-ABPO=OBBP.*.AB=y7i0

2

图8

14.（2011江苏淮安，25,10分）如图，是。。的弦，A8经过圆心O,交。。于点C,

ZDAB^ZB=30°.

（1）直线8。是否与。。相切？为什么？（2）连接C£>,若C£>=5,求AB的长.

【答案】（1）答：直线80与。。相切.理由如下:

如图，连接OD,

•/ZODA=ZDAB=ZB=30°,

ZODB=180°-ZODA-ADAB-NB=180o-300-30o-30°=90°,

即03_L8。,

二直线8£）与OO相切.

ZDOB=ZODA+ZDAB=60°,

又•:OC=OD,

...△。08是等边三角形，

：.OA=OD=CD=5.

又：NB=30°,ZODB=30°,

.•.03=200=10.

15.（20H江苏南通，22,8分）（本小题满分8分）

如图，AM为。。的切线，A为切点，于点。，BD交于C,0C平分/40A

求的度数.

【答案】60°.

16.(20H四川绵阳22,12)如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ZBAD=90°,以为直

径的

半圆。与BC相切.

(1)求证：OB±OC;

⑵若AO=12,ZBCD=60°,与半。O外切，并与BC、CD相切，求。Ch的面积.

【答案】(1)证明：连接OF,在梯形ABCD,在直角AAOB和直角AAOBF中

JAO=FO

'[OB=OB

,.△AOB^AAOB(HL)

同理△COD丝△COF,；.NBOC=90°,即OBJ_OC

⑵过点做OiQOiH垂直DC,DA,：NDOB=60。，AZDCO=ZBCO=30°,设OiG=x，又：

AD=12,.\OD=6,DC=6小,OC=12,CG4x,OiC=6-x,根据勾股定理可知OiG2+GC2=OiC2

x2+3x2=(6-x)2；.(x-2)(x+6)=0,x=2

17.(2011四川乐山24,10分)如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且

ZCDA=ZCBD.

(1)求证:CD是。。的切线；

2

⑵过点B作0的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CDA=-，求BE的长

3

【答案】

⑴证明：连接0D

•.,OA=OD

AZADO=ZOAD

VAB为。O的直径，

AZADO+ZBDO=90°

，在RtAABD中，ZABD+ZBAD=90°

ZCDA=ZCBD

ZCDA+ZADO=90°

；.OD_LCE

即CE为。O的切线

18.（2011四川凉山州，27,8分）如图，已知△ABC,以为直径，。为圆心的半圆

交AC于点F,点E为C尸的中点，连接8E交AC于点M为AABC的角平分线,

且垂足为点

（1）求证：是半圆。的切线;

求3E的长。

⑴证明：连接EC,

•.•BC是直径：.ZE=90

有于H：.ZAHM=90

-：Zl=Z2/.Z3=Z4

•••是△ABC的角平分线

Z4=Z5=Z3

又为C尸的中点

N3=N7=Z5

*/AD_LBE于H

VZ5+Z6=90即N6+N7=90

又「BC是直径...AB是半圆。的切线•••4分

(2)AB=3,BC=4o

由(1)知，ZABC=90,AAC=5o

在△ABM中，4。，5"于"，A。平分NR4C,

AM=AB=3,：.CM=2o

FCMC1

由ACMEsABCE,得▲=」=—。

EBCB2

EB=2EC,

19.(2011江苏无锡,27,10分)(本题满分10分)如图，已知0(0,0)、4(4,0)、8(4,3)。

动点尸从。点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB,BO作匀速运动；

动直线/从位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它

们同时出发，运动的时间为/秒，当点P运动到。时，它们都停止运动。

(1)当尸在线段OA上运动时，求直线/与以点尸为圆心、1为半径的圆相交时/的取值

范围；

(2)当尸在线段AB上运动时，设直线/分别与。4、OB交于C、D,试问：四边形CP2。

是否可能为菱形？若能，求出此时r的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直

线/的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。

【答案】

解：(1)当点尸在线段。4上时，P(3t,0),

(1分)

。尸与x轴的两交点坐标分别为（3f-l,0）、（3r+1,0）,直线/为x=4-f,

⑶一一右

若直线/与。尸相交，则4二1<…4..........（3分）

—t<JL-V1.

35

解得：<t<不......................................................（5分）

（2）点P与直线/运动f秒时，AP=3t-4,AC=t.若要四边形CP8。为菱形，贝|

OB,

ApAC3t—4-t

ZPCA=ZBOA,RtAAPCsRtAABO,=77;,/.~~=7,解得t=

ADAOJ4

y>.......（6分）

止匕时AP=g,AC=牛，/.PC=空，而P8=7-3f='|WPC,

故四边形CPBD不可能时菱形....................................（7分）

（上述方法不唯一，只要推出矛盾即可）

现改变直线/的出发时间，设直线/比点尸晚出发。秒，

ApprAr

若四边形CPBD为菱形，贝UCP//OB,：.AAPCs△ABO,Tp=~pn=77?

/\DDUAO

.3/—4_7-3/_La

**3=5="4",

C3t-4_7—3/r_41

即：上一屋‘，解得"g

I3~4-〔”24

.♦.只要直线l比点P晚出发盘5秒，则当点P运动4若1秒时，四边形CPBD就是菱

形.............（10分）

20.（2011湖北武汉市，22,8分）（本题满分8分）如图，以为。。的切线，A为切点.过

A作。尸的垂线AB,垂足为点C,交。。于点8.延长80与。。交于点。，与孙的延长

线交于点E.

（1）求证：PB为。。的切线；

（2）tanZABE=—,求的值.

2

【答案】(本题8分)(1)证明：连接OA

：PA为。0的切线，

，ZPAO=90°

：OA=OB,OP_LAB于C

；.BC=CA,PB=PA

.'.△PBO^APAO

.•.ZPBO=ZPAO=90°

APB为。O的切线

(2)解法1：连接AD,：BD是直径，ZBAD=90°

由(1)知NBCO=90。

AAD/7OP

.'.△ADE^APOE

EA/EP=AD/OP由AD〃OC得AD=2OC

'/tanZABE=l/2

.•.OC/BC=l/2,设OC=t，则BC=2t,AD=2t由△PBCs^BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t

EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA=2m,EP=5m,贝!|PA=3m

：PA=PB；.PB=3m

；.sinE=PB/EP=3/5

(2)解法2：连接AD,则NBAD=90。由(1)知NBCO=90。：由AD〃OC,.*.AD=2OC

,/tanZABE=l/2,OC/BC=1/2,TSOC=t,BC=2t,AB=4t由△PBCs^BOC,得PC=2BC

=4t,

；.PA=PB=2石t过A作AF_LPB于F,贝l|AF-PB=AB・PC

，AF=Wt进而由勾股定理得PF=

/.smE=sinZFAP=PF/PA=3/5

21.（2011湖南衡阳，24,8分）如图，△ABC内接于。。，CA=CB,且与。4的

延长线交与点D

（1）判断与。。的位置关系并说明理由；

（2）若/AC8=120。，OA=2,求CD的长.

【解】（1）CD与。。的位置关系是相切，理由如下：

作直径CE,连结AE.

是直径，AZ£AC=90°,：.ZE+ZACE^90°,

'：CA=CB,：.ZB=ZCAB,'."AB//CD,

：.ZACD^ZCAB,.：NB=NE,/ACD=NE,

：.ZACE+ZACD=90°,即/DCO=90°,

：.OC±DC,与。。相切.

（2）'：CD//AB,OCLDC,：.OC.LAB,

又/AC8=120°,：.ZOCA^ZOCB=60°,

'：OA=OC,.♦.△OAC是等边三角形，

ZDOA=60°,

DCr-

：.在Rt^DCO中，——=tanZDOA=,

oc

：.DC=A/3OC=A/3OA=26.

22.（2011湖南永州，23,10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是。O上一点（不与

A,B重合），连接AC,BC,过点。作OD〃AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点

E,连接EB,使/OEB=/ABC.

⑴求证：BE是。O的切线；

⑵若OA=10,BC=16,求BE的长.

（第25题图）

【答案】证明：⑴；AB是半圆0的直径AZACB=90°

：OD〃ACAZODB=ZACB=90°ZBOD+ZABC=90°

XVZOEB=ZABC/.ZBOD+ZOEB=90°/.ZOBE=90°

VAB是半圆O的直径/.BE是。O的切线

⑵在RfAABC中，AB=2OA=20,BC=16,：.AC=ylAB2-BC2=A/202-162=12

.BC164.BE4

••tanAA-=—=一••tanNBOE=二一

AC123OB3

441

/.BE=-OB=-xW=13--

333

23.(2011江苏盐城，25,10分)如图，在AABC中，ZC=90°,以A8上一点。为圆心，

。4长为半径的圆与BC相切于点。，分别交AC、A8于点E、F.

(1)若AC=6,AB=10,求。。的半径；

(2)连接OE、ED,DF、EF.若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE

的形状，并说明理由.

【答案】（1）连接设。。的半径为r.

切。。于点。，AODLBC.

'：ZC=90°,：.OD//AC,:.△OBDsAABC.

.ODOBpr10-r15

而，即1rl己=，解得

""ACXT

斤

的半径为宁1.

(2)四边形。阳£是菱形.

四边形BDEF是平行四边形，，/DEF=/B.

11

•?/DEFR/DOB,：./B^/DOB.

'：ZODB=90°,：.ZDOB+ZB=90°,：.ZDOB=60°.

'.'DE//AB,：.ZODE=6Q°.'：OD=OE,，△OOE是等边三角形.

OD=DE.'：OD=OF,DE=OF.：.四边形OFDE是平行四边形.

•/OE=OF,：.平行四边形OFDE是菱形.

3

24.(20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=—x+3的图象是直线

-4

与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线右过点C(