苏科版九年级数学暑假第06讲圆周角练习(学生版+解析)

第06讲圆周角（核心考点讲与练）【基础知识】1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【考点剖析】一．圆周角定理（共4小题）1．（真题•惠州期末）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．80° B．260° C．100° D．130°2．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AB边是圆O的直径，BC与圆O交于点D，且D是BC的中点，∠BAC＝120°，点E在圆O上，则∠BED的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°3．（真题•天津期末）如图，已知点A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．76° C．62° D．52°4．（2022春•庐阳区校级期中）直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若，AE＝1．求：（1）⊙O的半径；（2）圆心O点到AB距离．二．圆内接四边形的性质（共7小题）5．（真题•炎陵县期末）如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D＝85°，则∠B＝（）A．85° B．95° C．105° D．115°6．（真题•舟山期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°7．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是°．8．（真题•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于．9．（真题•泗阳县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．10．（真题•山西期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．（1）求∠BAC的度数．（2）求∠BAD的度数．11．（真题•南沙区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．三．相交弦定理（共4小题）12．（真题•台江区校级月考）证明：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（真题•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6 B．7 C．12 D．1614．（真题•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（）A．45° B．28° C．56° D．60°2．（2022•无锡模拟）如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16° B．20° C．24° D．32°3．（2021•武都区二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A． B． C．5 D．4．（2022•苍南县二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是AC的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（）A．115° B．116° C．118° D．120°5．（2022•惠山区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°6．（2022•南京一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°二．填空题（共5小题）7．（2021•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2022•南山区二模）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．10．（2022•射阳县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝．11．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．三．解答题（共6小题）12．（2022•邯郸一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是AB上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．（1）求证：△OCF≌△DOE；（2）若C、D是AB的三等分点，：①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．13．（2022•金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．（1）求证：AE＝AB．（2）求FB的长．（3）求OG的长．14．（2022•瑶海区一模）已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．（1）求证：CD＝BD；（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．15．（2022•宿州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．16．（2022•蜀山区一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．（1）证明：AF＝BC；（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．17．（2022春•射阳县校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．第06讲圆周角（核心考点讲与练）【基础知识】1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【考点剖析】一．圆周角定理（共4小题）1．（真题•惠州期末）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．80° B．260° C．100° D．130°【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数．【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，∵∠AOB＝100°，∴∠E∠AOB＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．2．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AB边是圆O的直径，BC与圆O交于点D，且D是BC的中点，∠BAC＝120°，点E在圆O上，则∠BED的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】根据AB边是圆O的直径，推出∠ADB＝90°，再推出△ABC是等腰三角形，所以∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，根据圆周角定理推出∠BED＝∠BAD＝60°．【解答】解：∵AB边是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中点，∴AC＝AB，∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（真题•天津期末）如图，已知点A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．76° C．62° D．52°【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝38°，∴∠BOC＝2∠BAC＝76°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2022春•庐阳区校级期中）直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若，AE＝1．求：（1）⊙O的半径；（2）圆心O点到AB距离．【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，根据勾股定理得出AD＝2，根据题意得到△ACD∽△ADE，相似三角形的性质即可求解；（2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T，根据两平行线间的距离相等求解即可．【解答】解：（1）∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∵DE，AE＝1，∴AD2，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAM交⊙O于D，∴∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴，则AC＝4，∴⊙O的半径是2；（2）连接OD，过点O作OT⊥MN于点T，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥MN，∵DE⊥MN，OT⊥MN，∴OT＝DE，∴圆心O点到AB距离．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．二．圆内接四边形的性质（共7小题）5．（真题•炎陵县期末）如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D＝85°，则∠B＝（）A．85° B．95° C．105° D．115°【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵ABCD为⊙O内接四边形，∠D＝85°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．6．（真题•舟山期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是105°．【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．【解答】解：∵∠BAD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．故答案为：105．【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．（真题•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于55°．【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（真题•泗阳县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．【分析】根据圆周角定理求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：由圆周角定理得，∠ADC∠AOC150°＝75°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC＝∠ADC＝75°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．10．（真题•山西期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．（1）求∠BAC的度数．（2）求∠BAD的度数．【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，则∠ABC＝66°，然后根据三角形内角和计算∠BAC的度数；（2）先根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后计算∠BAC+∠DAC即可．【解答】解：（1）∵，∴∠CBD＝∠ABD＝33°，∴∠ABC＝66°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．11．（真题•南沙区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．【分析】首先利用圆内接四边形的性质求得∠BAD，然后根据等弧对等角求得答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝110°，∴∠BAD＝∠DCE＝110°，∵点C为的中点，∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝55°．【点评】考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的内接四边形的外角等于它的内对角，难度不大．三．相交弦定理（共4小题）12．（真题•台江区校级月考）证明：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．【分析】连AC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠B，∠A＝∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE＝CE：BE，变形有AE•BE＝CE•DE；由此得到相交弦定理．【解答】解：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AE•BE＝CE•DE．证明：连AC，BD，如图，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△AEC∽△DEB，∴AE：DE＝CE：BE，∴AE•BE＝CE•DE；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【点评】本题考查了相交弦定理：圆的两条弦相交，那么这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．13．（真题•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6 B．7 C．12 D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．14．（真题•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（）A．45° B．28° C．56° D．60°【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠AOC＝2∠ABC，代入∠ABC+∠AOC＝84°，求出∠ABC的度数，从而得到∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ABC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝84°，∴3∠ABC＝84°，∴∠ABC＝28°，∴∠AOC＝28°×2＝56°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．2．（2022•无锡模拟）如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16° B．20° C．24° D．32°【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABD的度数，根据∠ABD是△BDE的外角即可出答案．【解答】解：∵∠ABD是所对的圆周角，∴∠ABD∠AOD128°＝64°，∵∠ABD是△BDE的外角，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．3．（2021•武都区二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A． B． C．5 D．【分析】根据题意求出EC，根据相交弦定理计算即可．【解答】解：EC＝AC﹣AE，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE，∴BD＝DE+BE，故选：B．【点评】本题考查的是相交弦定理，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．4．（2022•苍南县二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（）A．115° B．116° C．118° D．120°【分析】设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBD＝90°，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根据等腰三角形两底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度数，进而得到∠BOC＝∠AOB的度数，根据圆周角定理得到∠ACB∠AOB的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度数．【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵B是的中点，∴∠BOC＝∠AOB，∵OA＝OC，∠ACO＝38°，∴∠A＝∠ACO＝38°，∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，∴∠BOC＝∠AOB＝52°，∵∠ACB是所对的圆周角，∴∠ACB∠AOB52°＝26°，∵∠CED是△BCE的外角，∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，遇到弧的中点，经常转化为圆心角相等或圆周角相等，这是解题的关键．5．（2022•惠山区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝50°，∴∠BCD＝130°，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠BCD＝180°是解此题的关键．6．（2022•南京一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°【分析】根据∠B度数求出的度数，再求出的度数，再求出∠CAD的度数即可．【解答】解：∵∠B＝70°，∴的度数是140°，∵D是的中点，∴和的度数都是70°，∴∠CAD70°＝35°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2021•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．【分析】根据相交弦定理列式计算即可．【解答】解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，∴5×4＝3×DP，解得，DP，故答案为：．【点评】本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2022•南山区二模）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是110°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝70°，∴∠ADC＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（2022•射阳县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝2．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE＝BE，根据圆周角定理求出∠AOC，解直角三角形求出OC和OE，再求出答案即可．【解答】解：连接OC，∵OA⊥BC，OA过圆心O，BC＝4，∴∠OEC＝90°，CE＝BE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴sin∠AOC，∴sin60°，解得：OC＝4，∵∠BCO＝90°﹣60°＝30°，∴OEOC＝2，∴AE＝4﹣2＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，能求出CE＝BE是解此题的关键．11．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝4；（2）AC的最大值＝2+2．【分析】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再证明H和C重合即可得到答案；（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．【解答】解：如图1，作BH⊥AC，∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，∴△BAC∽△BPA，∴，∴BA2＝BC•BP，∵AC是△ABP的中线，∴BP＝2BC，∴，∴BC＝4，在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，∴BH＝4，又∵BC＝4，∴点H和点C重合，∴AC＝AH＝4．故答案为4．（2）如图2，∵点P的运动轨迹是圆，∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，∴当AC'经过圆心O'时最大．∵∠P＝45°，∴∠AOB＝90°，又∵AO＝4，OO'＝2，∴AO'＝2，∵O'C'＝2，∴AC'＝2+2，∴AC的最大值为2+2．故答案为2+2．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．三．解答题（共6小题）12．（2022•邯郸一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．（1）求证：△OCF≌△DOE；（2）若C、D是AB的三等分点，：①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．【分析】（1）根据平行可得∴∠COD＝∠ODE，再由于OC＝OD，OF＝DE，即可得证；（2）①先根据C、D是弧AB的三等分点，得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30，∠COG＝60°，再根据全等得到∠OCF＝30°，从而得到∠OGC的值；②利用勾股定理和全等三角形的性质即可得到OG、OF、OE的值，进而可求出GE，BE值，即可判断出大小．【解答】解：（1）∵DE∥OC，∴∠COD＝∠ODE，在△OCF和△DOE中，∴△OCF≌△DOE（SAS）；（2）①∵C、D是的三等分点，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF＝∠DOE＝30°，∵∠COG＝∠COD+∠DOB＝60°，∴∠OGC＝90°；②在Rt△OGC中，∠OCG＝30°，，∴，又∵∠DOE＝30°，∴OF＝2，∵∠OCF＝∠COF＝30°，∴CF＝OF＝2，∵△OCF≌△DOE，∴OE＝CF＝2，∴，，∵，∴BE＞GE．【点评】本题考查圆周角的定理，涉及到全等三角形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用所学几何基础进行推理计算．13．（2022•金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．（1）求证：AE＝AB．（2）求FB的长．（3）求OG的长．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由点D为弧BC中点，可得∠CAD＝∠BAD，则可证明△AED≌△ADB，即可得出答案；（2）根据题意可证明△EDG∽△EFB，则，根据勾股定理可得EF，代入计算即可得出答案；（3）在Rt△EFB中，根据已知条件可算出EF的长，在Rt△EGD中，可算出EG的长，由GF＝EF﹣EG即可算出GF的长，由△EFB∽△ADB，可得，代入计算可算出AD的长，在Rt△ADB中，可算出AB的长，即可算出OB的长，根据OF＝OB﹣FB即可算出OF的长，在Rt△OGF中根据勾股定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵，∴∠CAD＝∠BAD，在△AED和△ADB中，，∴△AED≌△ADB（ASA），∴AE＝AB．（2）∵∠GED＝∠FEB，∠EDG＝∠EFB＝90°，∴△EDG∽△EFB，∴，∵ED＝DB＝2，EF，∴，解得：FB．（3）在Rt△EFB中，∵EB＝4，FB，∴EF，在Rt△EGD中，EG，∴GF＝EF﹣EG，∵△EFB∽△ADB，∴，∴，∴AD＝4，在Rt△ADB中，AB2，∴OB，∴OF＝OB﹣FB，在Rt△OGF中，OG．【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理及相似三角形，熟练掌握圆周角定理，勾股定理及相似三角形相关知识进行求解是解决本题的关键．14．（2022•瑶海区一模）已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．（1）求证：CD＝BD；（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，F为弧EC的中点得到∠OGC＝90°，从而得到OD∥AB，从而根据平行线分线段成比例即可得证；（2）在Rt△OCD中，勾股定理得出OD长，等面积法得到CG长，从而可在Rt△OCG中勾股定理求出OG，即可得GF的长．【解答】（1）证明∵AC是直径，∴∠AEC＝90°，∵F为弧EC的中点，∴OF⊥CE，∴∠OGC＝90°，∴∠AEC＝∠OGC，∴OD∥AB，∴，∴CD＝BD；（2）解：∵AC＝6，∴OC＝3，在Rt△OCD中，OD5，∵，∴CG，在Rt△OCG中，OG，∴GF＝OF﹣OG．【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，难度一般，解题关键是根据90°得到平行．15．（2022•宿州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．【分析】（1）连接AE，BF，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得，CE＝BE，根据矩形的判定方法∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，可得四边形FAEB是矩形，即可得出FA＝CE，由已知条件AF∥BC即可得出答案；（2）根据圆内接四边形性质可得∠AFE+∠ADE＝180°，由邻补角定义可得∠CDE+∠ADE＝180°，即可得出∠CDE＝∠AFE，由（1）中结论可得EF∥AC，可得∠FED＝∠CDE，即可得出∠FED＝∠AFE，再由AF∥BC，可得∠FEB＝∠AFE，即可得出∠BEF＝∠FED，即可得出答案．【解答】证明：（1）连接AE，BF，如图，∵AB是直径，∴∠AEB＝9