高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)2.1命题、定理、定义(原卷版+解析)

2.1命题、定理、定义TOC\o"1-4"\h\z\u2.1命题、定理、定义 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1命题的定义与分类 2知识点2命题的结构及定理、定义 3二、典型题型 4题型1命题的真假判断 5二、活学活用培优训练 11一．基础知识点知识点1命题的定义与分类：(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为真的语句,假命题：判断为假的语句))例1下列语句为命题的是（

）A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等例2（多选题）下列语句不是命题的有（

）.A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？C． D．例3下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）；（2）能被2和3整除；（3）存在一个，使；（4）至少有一个，能被2和3整除.知识点2命题的结构及定理、定义：1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．例1已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式．①函数y＝2x＋1是一次函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.二．典型题型题型1命题的真假判断解题技巧：(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．例1下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例2（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（

）．A．存在实数，使B．所有的素数都是奇数C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D．三条边都相等的三角形是等边三角形例3判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，是任意实数，则；(2)若，是实数且，则；(3)若，则有两个不相等的实数根；(4)若有两个不相等的实数根，则实数．三．活学活用培优训练一、单选题1．唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（

）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思2．下列语句中不是命题的有（

）①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④3．下列命题是假命题的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么4．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（

）A． B． C． D．5．已知集合，，则下列命题中是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．有以下命题：（1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”；（2）已知，命题“若，则且”；（3）已知，命题“若且，则”.其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题7．给出以下四个命题，其中真命题是:（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”8．下列四个命题中，属于真命题的是（

）A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C．所有质数的平方都不是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是偶数9．下列命题为真命题的是（

）A．集合有两个子集B．若，则C．集合里面有6个元素D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为三、填空题10．命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.11．下列命题：①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根；②如果，那么除以的余数是或；③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数；④已知a，，若，则.其中是假命题的序号为___________.12．已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为___________.（格式正确，描述清楚即可）四、解答题13．判断下列各命题的真假，并简要说明理由：(1)方程有唯一的解；(2)若方程的两实数根同号，则；(3)如果，那么或；(4)合数一定是偶数．14．判断下列命题的真假，并说明理由.(1)如果，那么x与y同号或x､y中至少一个为零；(2)若x，，，，则，.15．已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．2.1命题、定理、定义TOC\o"1-4"\h\z\u2.1命题、定理、定义 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1命题的定义与分类 2知识点2命题的结构及定理、定义 3二、典型题型 4题型1命题的真假判断 5二、活学活用培优训练 11一．基础知识点知识点1命题的定义与分类：(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为真的语句,假命题：判断为假的语句))例1下列语句为命题的是（

）A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等【答案】D【分析】根据命题的定义判断即可.【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D例2（多选题）下列语句不是命题的有（

）.A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？C． D．【答案】ABD【分析】利用命题的概念逐项分析即得.【详解】命题为可以判断真假的陈述句，对于A，不能判断真假，故不是命题；对于B，语句为疑问句，故不是命题；对于C，是错误的，能判断真假，故是命题；对于D，不能判断真假，故不是命题.故选：ABD.例3下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）；（2）能被2和3整除；（3）存在一个，使；（4）至少有一个，能被2和3整除.【答案】（1）（2）都不是命题，（3）（4）是命题；（1）与（3），（2）与（4）之间都没有关系.【分析】（1）利用命题的定义判断得解；（2）利用命题和非命题的定义判断得解.【详解】（1）（2）都不是命题，因为它们都不能判断真假；（3）（4）是命题，因为它们是能判断真假的陈述句.（1）不是命题，（3）是命题，它们没有关系；（2）不是命题，（4）是命题，它们没有关系.知识点2命题的结构及定理、定义：1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．例1已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式．①函数y＝2x＋1是一次函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[解答]例1：一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．:例2：①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.二．典型题型题型1命题的真假判断解题技巧：(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．例1下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】易知A，B，C均为真命题．对于D，当，，时，，但，D为假命题．故选：D．例2（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（

）．A．存在实数，使B．所有的素数都是奇数C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D．三条边都相等的三角形是等边三角形【答案】ACD【分析】举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D.【详解】选项A：当时，成立.判断正确；选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误；选项C：正整数35和70能被5和7整除.判断正确；选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形.判断正确.故选：ACD例3判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，是任意实数，则；(2)若，是实数且，则；(3)若，则有两个不相等的实数根；(4)若有两个不相等的实数根，则实数．【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)假命题【分析】利用特殊值判断（1），根据完全平方数的非负性判断（2），根据一元二次方程根的判别式求出方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，即可判断（3）（4）；(1)解：当时，故命题“若，是任意实数，则；”为假命题；(2)解：因为，是实数所以，，又，所以所以，故命题为真命题；(3)解：若方程有两个不相等的实数根，则，解得，所以当时方程有两个不相等的实数根，故命题“若，则有两个不相等的实数根；”为真命题；(4)解：若方程有两个不相等的实数根，则，解得，故命题“若有两个不相等的实数根，则实数．”为假命题；三．活学活用培优训练一、单选题1．唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（

）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思【答案】A【分析】根据命题的定义可得出结论.【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题；对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题；对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A.2．下列语句中不是命题的有（

）①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】根据命题的概念逐一判断.【详解】能判断真假的陈述句是命题，由此可知：①④没有的范围，故不能判断真假，故①④不是命题；②是疑问句，故不是命题；③是陈述句，且错误，故是命题；故选：C.3．下列命题是假命题的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么【答案】A【分析】由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解【详解】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误；对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确；对于C，若，那么，故C正确；对于D，若，那么，故D正确．故选：A．4．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：若，则必成立；对于B：若，则必成立；对于C：若，则必成立；对于D：由不能得出，所以不可能是.故选：D．5．已知集合，，则下列命题中是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】求出集合、，由集合的包含关系可判断AC选项的正误，利用集合间的运算可判断BD选项的正误.【详解】因为，，则AC选项错误；，或，故B对，D错.故选：B.6．有以下命题：（1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”；（2）已知，命题“若，则且”；（3）已知，命题“若且，则”.其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】（1）根据边角关系判断真假；（2）由可知都不为，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断.【详解】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确；（2）：若，则都不为，即且，故正确；（3）：若且，则，则，故正确；故选：D.二、多选题7．给出以下四个命题，其中真命题是:（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”【答案】ABC【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D.【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.故选：ABC8．下列四个命题中，属于真命题的是（

）A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C．所有质数的平方都不是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是偶数【答案】BD【分析】依次判断每个选项的真假即可.【详解】对A，平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形，故A是假命题；对B，根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故B是真命题；对C，2是质数，但为偶数，故C是假命题；对D，任何奇数的立方都为奇数，故D是真命题.故选：BD.9．下列命题为真命题的是（

）A．集合有两个子集B．若，则C．集合里面有6个元素D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为【答案】AD【分析】A解方程根据解集元素的个数判断正误即可；B当出现矛盾；C注意集合中的分数，若时集合有6个元素，而有无数个元素；D根据点在二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误.【详解】A：，则有2个子集，正确；B：当，则，故错误；C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误；D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确.故选：AD三、填空题10．命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.【答案】真【分析】直接利用两数集的关系判断即可【详解】因为当时，一定成立，所以此命题为真命题，故答案为：真11．下列命题：①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根；②如果，那么除以的余数是或；③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数；④已知a，，若，则.其中是假命题的序号为___________.【答案】③④【分析】在的情况下，利用确定方程均有实根，由此可知①正确；分别在和确定除以的余数，知②正确；通过反例可确定③④错误.【详解】对于①，方程为一元二次方程，；当时，若，则，方程有实根；①正确；对于②，若，则，则除以的余数是；若，则，则除以的余数是；综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确；对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误；对于④，若，则，④错误.故答案为：③④.12．已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为___________.（格式